大一微积分复习资料

1、大学的考试比较简单，主要以书本为主，下面的复习指导可作提引作用。1011学年第一学期“微积分”期末复习指导第一章函数.本章重点复合函数及分解，初等函数的概念。.复习要求1、能熟练地求函数定义域；会求函数的值域。2、理解函数的简单性质，知道它们的几何特点。3、牢记常函数、哥函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等六类基本初等函数的表达式，知道它们的定义域、值域、性质及图形特点。其中,对于对数函数y=lnx不仅要熟记它的运算性质，还能熟练应用它与指数函数y=eX互为反函数的关系，能熟练将哥指函数作如下代位小一七vvvlnu数运算：u=e.对于常用的四个反三角函数，不仅要熟习它们的定义域、值

2、域及简单性质，还要熟记它们在特殊点的函数值.4、掌握复合函数，初等函数的概念，能熟练地分解复合函数为简单函数的组合。5、知道分段函数，隐函数的概念。.三.例题选解例1.试分析下列函数为哪几个简单函数(基本初等函或基本初等函数的线性函数)复合而成的？msin2X.y=e-1.y=arctan(2)1x分析：分解一个复合函数的复合过程应由外层向里层进行，每一步的中间变量都必须是基本初等函数或其线性函数(即简单函数)。解：.y=eU,u=v2,v=sinx12.y=arctanu,u=,v=x1.v例2.y=arccotx的定义域、值域各是什么？ar(cot1=?答：y=ar80txMy=cotx,

3、xw(0,)的反函数，根据反函数的定义域是原来函数的值域，反函数的值域是原来函数的定义域，可知y=arccotx的定义域是Df=(3,0),值域为Zf=(0,).五arccot1=一4四.练习题及参考答案1. f(x)=arctanx则f(x)定义域为，值域为f(i)=;f(0)=.2. f(x)=arcsinx则f(x)定义域为,值域为3f(i)=;f()=.23. 分解下列函数为简单函数的复合：.y=e"x.y=ln(x31)答案：JJlJT1. (-0°+°°),(-,一)，一，02242. 1-1,1,三1，=，J2223.3.y=eu,u=_3

4、x.y=Inu,u=x31.自我复习：习题一.(A)55.、;习题一.(B).11.(I).limx0sinx(n).lim(1+)x=e=lim(1+x)：x_Jxx>0记住它们的形式、特点、自变量的变化趋势及扩展形式(变形式).并能熟练应用其求极限，特别是应用重要极限(n)的如下扩展形式求13c型未定式极lim(1xfk、x-)xxk)xx知道结论：初等函数在分段函数在定义区间内函数f(x)在分段点x0x0点极限存在且等于第二章极限与连续一.本章重点极限的计算；函数的连续及间断的判定；初等函数的连续性。二.复习要求1 .了解变量极限的概念，掌握函数f(X)在X0点有极限的充要条件是：

5、函数在X0点的左右极限都存在且相等。2 .理解无穷小量与无穷大量的概念和关系，掌握无穷小量的运算性质，特别是无穷小量乘以有界变量仍为无穷小。例如：1=lim(1kx)xx.01-kx)x5.掌握函数连续的概念，其定义区间内都是连续的，的不连续点只可能是分段点。处连续的充要条是：函数在f(%)，即:sinxlimX一"xlimf(x)=f(x°)x>x01limxsin=0,x0x3.会比较无穷小的阶。在求无穷小之比的极限时，利用等价无穷小代换可使运算简化，常用的等价无穷小代换有：当分段函数在分段点X0的左右两边表达式不相同时，函数f(x)在分段点X0处连续的充要条件则

6、是:当ct(x)0时，有:limf(x)=limf(x)=f(x0).x>xx>Xo-sinu(x)a(x)；tanu(x)a(x)6.掌握函数间断点及类型的判定。函数的不连续点称为间断点，函数f(x)在e(x)-1：(x)；%点间断，必至少有下列三种情况之一发生:ln(1+a(x)a(x);c(x)n1：(x)T1.cos：(x)一(参见教材P79)4.掌握两个重要极限、f(x)在X0点无定义；、limf(x)不存在；x>X0、存在limf(x),但limf(x)#f(x0).x>X0x>Xo若x0为f(x)的间断点，当lim+f(x)及X>x0lim_f

7、(x)都存在时，称Xo为f(x)的第一类间断xlx。点，特别limf(x)=limf(x)时(即limf(x)x/0x0-xJx0存在时)，称X0为f(x)的可去间断点；limf(x)丰limf(x)时称x0为f(x)的跳xr跃间断点。不是第一类间断点的都称为第二类间断点。7 .了解连续函数的运算性质及闭区间上连续函数的性质，特别要知道闭区间上的连续函数必有最大值与最小值。8 .能够熟练地利用极限的四则运算性质；无穷小量、无穷大量的关系与性质；等价无穷小代换；教材P69公式(2.6);两个重要极限；初等函数的连续性及洛必达法则(第四章)求函数的极限。tanxlimf(x)=lim一xp-x0_

8、x即D也不对，剩下的I.由于一二期f(x)B就是正确答案。lim二2口J0sinx代换limx102x222x应选择D.例3.求极限：lim1n(2)x>01-cosxx2vlim(2)xx:x-5.例题选解例1.单项选择题下列极限中正确的是sinx.A.lim=1x二xB.limx0二.1sinx1当xt0时，有ln(1-x2)(-x2),1一cosxC.D.limx)0tanx,-；二1lim(1x:二2sinxlimx-px当xT0时，Ji+2x2-1是sin2x的()A.低阶无穷小；B.高阶无穷小；C.同阶无穷小，但不是等价无穷小；D.等价无穷小；分析与解：.A与C显然都不对，对

9、于D,tanx记f(x)=1一,lx2、2ln(1-x)xlimlim-2-=-2x01-cosxx>0x2此极限为10c型，可用重要极限(11卜lim(2)x=lim(1+-)xx-5x二x-5八x-533一)3x-5x-5tanxI则f(x)=xtanx一xx0x:03=lim1(1+)3x*x-1x-5e3.(lim3x-:x-53xx=limx'二x-5=3)tanxlimf(x)=limx0x0x的间断点，并x-9例2.判断函数y二-2x2-x-6判断其类型解：由于y=2,x-9(x-3)(x+3)x2-x-6(x-3)(x2).期:(”x=3,x=2是函数y无定义的点

10、，因而是函数y的间断点。xcos(3x)-1tanlim-2x3x>0(e-1)ln(15x)lim(x3)(x3)xx3)(x2)limUx3x22.单项选择题.x=3为函数y的可去间断点;.设丫u(t3)(x-2),下面说法正确的是x-5x6lim(x-3)(x3)limx1(x-3)(x2)x-2x2x=-2为函数y的第二类(无穷型)间断。A.点x=3,x=2都是可去间断点;B.例3.函数C.f(x)=1x一cos22xkD.点x=2是跳跃间断点，点点；点x=2是可去间断点，点点；点x=2是可去间断点，点点；下面正确的是在点x=0处连续，求常数分析与解：由于分段函数f(x)在分段点

11、x=0的A.tanxIT；B.左右两边表达式相同，因此f(x)在x=0连续的充要条件是C.limx0anx不存在;D.3是无穷间断3是无穷间断3是跳跃间断limxsin-x>0tanxlimx,0x四f(x)=f(0)=k.答案：1.同阶而不等价的-2;.e；20呵f(x)7m°x一cos代换2_limx02x_8_2x2.(D.C;.B.自我复习.习题二(A)11.(4).24.，(4)，.27.(1).(4).28.，.30.37.，.习题二(B).14.第三章导数与微分.当xt0时，(ex1)sin2x与.本章重点.导数的概念，导数及微分的计算.复习要求(V1+x-1)l

12、n(1+2x)相比，是1.掌握函数以x怖x0处可导的定义，并能熟练应无穷小;用导数的定义式求分段函数在分段点的导数。导数是一个逐点概念，/(x)在x0处的导数的定义式常用的有如下种形式本题为哥指函数求导，必须用取对数求导法f(x0)=lim0x>0f(X0x)-f(X0)原方程两边取对数:.limf(x0h)-f(x0)h.Phlny=3xInx上式两边对x求导，视y为中间变量：:limf(x)f(x0)x-x。x-x031Inx''3x'一2、3xx2.知道导数的几何意义，会求八X声Xq处的切线方程。3 .熟记基本求导公式及求导的运算法则，熟练掌握下列求导方法，

13、并能熟练应用它们求函数的导数：运用基本求导公式及求导的四则运算法则求导；复合函数求导法；隐函数求导法；取对数求导法。4 .理解高阶导数的概念，能熟练求函数的二阶导y=y、x-Inx1_2311nxix2L13x弓1nx、.3x2(1)2.-1x3x)xo5 .理解微分的概念，能应用微分基本公式及运算法则求函数的微分。6 .掌握函数可微，可导及连续的关系。.例题选解注：本题除此方法外，也可以:3xlnxy=e3xInx1y=e(3In2.3x例i.求下列函数的导数:.y'=etanx(tanx)tanx二e2secx.y=f(1+x2),求y,y".tanx2dy=esecxd

14、x.y1x3(4).解:得:设y=etanx,求dyy=ln(1x3)，求y6x(1x3)-3x23x2(1x3)23x(2-x3)(1x3)2、本题为抽象函数求导，由复合函数求导法,例2.设/(X而x=1处可导，且尸(1)=2.(4-3x)-1y=f(1+x2)(1+x2)2=f(1x2)2x分析：将x)在x1处的导数的定义式理解为结构式：=2xf(1x2).yu2f(1x2)2xf(1x2)2x(1)=则(1)-(1)=2f(1攵)&f(1x)其中认,为Ax=x-1或Ax的函数.且当Axt0时，wT0即可.解：(2)讨论f(x)在x=0处的可导性。lim(4-3x)-x1x-1li

15、mX1分段函数在分段点的导数必须用定义求：，Cf(x)f(0)f(0)=lim-x0x-0-3(x-1)-x2e-1.-0=limxx>0x-0例3.求曲线x3+y3-3axya/点(0,a)处的切线方程。2一xlim-2-二-1x>0x22x代换=lime2-2二x>0x2解：显然，点(0,a)在曲线上,即存在f(0)=-1现求切线的斜率，即y(0,a)四.练习题及参考答案1 .单项选择题曲线方程两边对x求导:3x23y2y-3ay-3axy=0.设f(x)=<ln(1-x2)I2x2解得y=ay_xy-axy'(0,a)=i切线方程为：y-a=x即y-x=a

16、-x2e-1-1卜面说法正确的是(A.f(x)在x=0不连续;B.C.D.f(x)在x=0连续,f(x)在x=0可导,f(x)在x=0可导,但不可导;f'(0)=T；f(0)-0.2.填空题例4、设f(x)=j试讨论f(x)在x=0处的连续性及可导性。分析与解:由已知，f(0)=0;(1)讨论f(x)在x=0处的连续性。f(x)在x=x0处可导,(1)limh>0f'(x°)=-1，则f(x。h)-f(x0-h)3.求函数的导数或微分:1y=xx,求ylimx.0代换(x)=limx.02xlimx一,0x0=f(0).f(x)在x=0处连续。y=fln(1-x

17、)1y=lnJx2-1,4.设y3(x1),求dy.x+cos(xy)确定y是x的函数，求dy,并求出函数在点(0,1)的切线方程。dx5、证明：(1)若f(x)是偶函数且可导，那么f'(x)是奇函数，(2)若f(x)是奇函数且可导，那么f(x)是偶函数，答案：I.D.2.-2123.yxxx(1-lnx)1(2).y=flin(1-x)；x-11y=2fln(1-x)1(x-1)21.12fAn(1-x)1(x-1)x.dy=dx.x-1dy1-ysin(xy)4.一=-2；dx3yxsin(xy)切线方程：3y-x=3.自我复习:习题三(A)13;21,，;24.，;25;26.，

18、；27.;29.,，；47.，.54.习题三(B)1;3;11.第四章中值定理与导数的应用1 .本章重点求未定式极限的洛必达法则；应用导数判定函数的单调性，求函数的极值和最值；应用导数确定曲线的凹向与拐点；对经济问题作边际分析；2 .复习要求1知道罗尔定理、拉格朗日中值定理的条件和结论，会求定理中的掌握拉格朗日定理推论的意义。注意：洛必达法则只能直接用于求“-”型或0“三”型未定式的极限，对于其他类型的未定式noo极限，必须将其转化为“-”型或“一”型未定0式才能使用法则。洛必达法则可以连续使用，当再次使用法则时，一定要检验法则的条件是否成立，当条件不满足时必须停止使用，改用其他求极限的方法计

19、算.在求未定式极限时，将洛必达法则和等价无穷小代换等其它方法结合使用，可使运算更简便。3 .掌握用一阶导数判定函数单调性的方法，并能利用函数的单调性证明不等式。4 .掌握函数极值的概念及求函数极值方法.5 .掌握最值的概念及其与极值的关系，能熟练求闭区间上连续函数的最大、最小值；会求经济应用问题的最值.如求最大总收入，最大总利润等.6 .掌握函数的凹向，拐点的概念及求曲线凹向，拐点的方法.例题选解例1.求下列极限(1).exsinx-2x-1xln(1x)2sinx(2) .limxx.011(3) .limIfJxln(1+x)解：exsinx-2x-1limx0xln(1x)(0)代换=l

20、imx0exsinx-2x-1xecosx-2limx02x吟)2 .熟练掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。洛e-sinx=limxo2（不是未定式）例2.求函数y=x丁的单调区间和极值，凹凸区1x间和拐点。解：函数xy二2的正义域为（一七,二）1x（2）原式为哥指型不定式（0°型），利用代数变换：uvlnu=e，得:(1y二22x)-2xx1-x(1x2)2221(1x2)2limxx_02sinxlim2sinx=ex0.2sinxlnxlimex_0lnx2.2(-2x)(1x)-2(1x)2x(1-x)24(1x)其中lim2sinxx_0Inx(0二)22x(x2-3)(

21、1x2)3=lim2xInxx0-（代换）(1-x)(1x)22(1x)2lnx=!*斤"洛.=limx01一2xx（-0°,一1）-1(-1,1)1(1,y)Fy0+0yW极小极大Wx=1；无不可导点。两驻点分定义域为三个子区间，列表讨论如下:=lim(-2x)=0x_0,2x(x-3)(x3)23(1x)1lim一txln(1+x)得x=0,x=±J3,无y”不存在的点。曲线的ln(1x)-xxln(1x)（通分化为0型）ln(1x)-x（代换）x(-0°,-/3)p5(-73,0)0?加75)石(£,FFy-0+0-o+yn拐点u拐点n拐

22、点u凹向及拐点列表讨论如下:由上面的讨论看出:1二lim1-xx02x（洛必达）x一一.一函数y=2的单减区间为（一叼1）5（1,"）；1x2=limx02x(1x)1单增区间为1,1。极小值是y（1）=12一，一1极大值ZEy(1)=o227.1F(x)=arctanx_1arcsinx由拉格朗日定理的推论，若能证明曲线y的凸区间是(一二，_、.3)(0,.3)1xF'(x)=0则=F(x)三c,再确定凹区间是(60)3聒±)。jic=即可。2曲线y=的拐点有三个：(底当,1x4证：当x之1时,(0,0),(凡F(x)=1(.x2-1)2(x2-1)(1)x例3.

23、证明不等式12(1x)ln(1x)xx2(x0)11x2-12x2x2-1分析与证：证明不等式的方法很多,利用函数的单12x12，x1x调性或最值证明不等式是常用的方法之一。这里用单调性来证明。即令=0xx2-1xxx2-112f(x)=(1x)ln(1x)-x-xF(x)=c则问题转化为证f(x)0=f(0)(x0)n-F(1)=arctan0arcsinl=一2即证在x>0时，f(x)单减。jic=一,证毕!21xf(x)=ln(1x)x-11x例5求出函数y=x55x4+5x3+1在区间=ln(1x)-x-2,1上的最大、最小值。f(x)=解：显然函数y=x55x4+5x3+1在闭区间x>0时，f'(x)单减，有-2,1上连续，因而必存在最大、最小值。f(x)f(0)=0y=5x4-20x315x2=5x2(x-1)(x-3)，f(x)也单减，有f(x)<f(0)=0