哈工大概率论与数理统计课后习题答案一

1、1.写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点：(1)掷一颗骰子，记录出现的点数.A='出现奇数点；(2)将一颗骰子掷两次，记录出现点数.A='两次点数之和为10',B='第一次的点数，比第二次的点数大2'(3) 一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5;从中同时取出3只球，观察其结果，A='球的最小号码为1'；(4)将a,b两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A='甲盒中至少有一球；(5)记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，A='通过汽车不足5台，B='通过的汽车

2、不少于3台。解(1)S=e1,2©©，号©其中e='出现i点'i=1,2,，6,A=s,63,650(2) S=(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)(2,(1) (2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6)(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)；A=(4,6),(

3、5,5),(6,4)；B=(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)。(3) S=(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5)(2,3,(5) (2,4,5),(1,3,5)A=(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)(4) S=(ab,-,-),(一,ab,-),(-,-,ab),(a,b,-),(a,-,b),(b,a,-),(b,-,a),(-,a,b,),(-,b,a),其中'表示空盒；A=(ab,-,-),(a,b,-),(a,-,b),(b,a,-),

4、(b,-,a)o(5) S=0,1,2,A=0,1,2,3,4,B=3,4,。2.设A,B,C是随机试验E的三个事件，试用A,B,C表示下列事件：(1)仅A发生；(2)A,B,C中至少有两个发生；(3)(4)(5)解(2)(3)(4)(5)A,B,C中不多于两个发生;A,B,C中恰有两个发生；A,B,C中至多有一个发生。(1)ABCABUACUBC或ABCUABCUABCUABC;AUBUC或abcUaBcUAbcUaBCUAbCUAbcUABC；abCaBcAbc；ABAcbc或ABCabcAbcABc；3.一个工人生产了三件产品，以A(i=1,2,3)表示第i件产品是正品，试用A表示下列事

5、件：(1)没有一件产品是次品；(2)至少有一件产品是次品；(3)恰有一件厂品是次品；(4)至少有两件广品不是次品。解(1)AA2A3；(2)AJA2UA3；(3)AA2A3UAA2A3JAA2A3；(4)aAUAAUa2A。4.在电话号码中任取一个电话号码，求后面四个数字全不相同的概率。5.(1)(2) 解P(A)=_4-P0126104250=0.504一批晶体管共40只，其中3只是坏的，今从中任取5只，求5只全是好的的概率；5只中有两只坏的的概率。(1)设A='5只全是好的，则C5P(A)=*B0.662；C；。设B='5只中有两只坏的，则P(B)=cIcslB0.0354

6、.C06.袋中有编号为1到10的10个球，今从袋中任取3个球，求(1)(2) 解3个球的最小号码为5的概率；3个球的最大号码为5的概率.(1)设A='最小号码为5',则cfP(A)=*,a3。12设人='任取一电话号码后四个数字全不相同，则(2)设B='最大号码为5',则P(B)=C42CO1207. (1)教室里有r个学生，求他们的生日都不相同的概率;(2)解房间里有四个人，求至少两个人的生日在同一个月的概率(1)设A='他们的生日都不相同，则R1P(A)=T；设8='至少有两个人的生日在同一个月'P(B)=C4C12P2+cG

7、+c：p2+c;124,则41=一；96-p4P(B)=1-P(B)=1一在41968.设一个人的生日在星期几是等可能的，求期中的某两天，但不是都在同一天的概率.6个人的生日都集中在一个星解设人='生日集中在一星期中的某两天，但不在同一天P(A)=Cy(26-2)76=0.01107.365r9 .将C,C,E,E,I,N,S等7个字母随机地排成一行，那么恰好排成英文单词SCIENCE的概率是多少？解1设A='恰好排成SCIENCE'将7个字母排成一列的一种排法看作基本事件，所有的排法：2字母C在7个位置中占两个位置，共有C7种占法，字母E在余下的5个位置中占两个位置，

8、共有C；种占法，字母I,N,C剩下的3个位置上全排列的方法共3!种，故基本事件总数为C"C；3!=1260,而A中的基本事件只有一个，P(A)=112601一2一2C7C53!解2七个字母中有两个E,两个C,把七个字母排成一排，称为不尽相异元素的全排列。一般地，设有n个元素，其中第一种元素有n1个，第二种元素有n2个，第k种元素有个(n+rb+必=n),将这n个元素排成一排称为不尽相异元素的全排列。不同的排列总数为n!n1!n2!nk!对于本题有P(A)=7!417!"12602!2!0或5',A3=10 .从0,1,2,，9等10个数字中，任意选出不同的三个数字，

9、试求下列事件的概率：A='三个数字中不含0和5',4='三个数字中不含'三个数字中含0但不含5'C315P(A2)=C83上C0一行P(A)=/C10-C814P(AJ=1-p(A2)=1-g=一,2C；015P(A3)=C2_7_C130-3011.将n双大小各不相同的鞋子随机地分成堆各成一双的概率.解n双鞋子随机地分成n堆属分组问题,n堆，每堆两只，求事件A='每不同的分法共(2n)!2!2!2!_(2n)!(2!)n'每堆各成一双共有n!种情况，故P(A)2nn!而12.设事件A与B互不相容，P(A)=0.4,P(B)=0.3,求P

10、(AB)与P(AB)解P(AB>=1-P(A勺1P(A)P(用0.3因为A,B不相容，所以AnB,于是P(AB)=P(A)=0.613 .若P(AB)=P(Ab)且P(A)=P,求P(B).解P(AB>=1-P(AB)=1P(A)P(B)P(AB)由P(AB)=P(AB)得P(B)=1-P(A)=1_p14 .设事件A,B及AUB的概率分别为p,q,r,求P(AB)及P(AUB)解P(AB)-P(A)P(B)-P(AB)-pq-rP(AB)二P(A)P(B)-P(AB);P(A)1-P(B)-P(A)P(AB)=1_qpq_r=1pr.15 .设P(A)+P(B)=0.7,且A,B

11、仅发生一个的概率为0.5,求A,B都发生的概率。解1由题意有_0.5=P(ABAB)=P(AB)P(AB)=P(A)-P(AB)P(B)-P(AB)=0.7-2P(AB),所以P(AB)=0.1.解2A,B仅发生一个可表示为aUb-AB,故0.5=P(AB)-P(AB)=P(A)P(B)-2P(AB),所以P(AB)=0.1.16 .设P(A)=0.7,RABl=0.3PBf0.2，求P(AB)与P(AB).解0.3=PAB尸P(A)P(AB90.7PAB所以P(AB)=0.4,P(AB)=0.6；0.2=P(B)-P(AB)=P(B)-0.4.所以P(B)=0.6P(AB)=1-P(AB)=

12、1-P(A)-P(B)P(AB)=0.117 .设ABC,试证明P(A)+P(B)P(C)<1证因为ABUC,所以P(C)-P(AB)=P(A)P(B)-P(AB)-P(A)P(B)-1P(A)+P(B)P(C)<1,证毕.18 .对任意三事件A,B,C,试证P(AB)P(AC)-P(BC),P(A).证P(AB)十P(AC)P(BC)<P(AB)+P(AC)-P(ABC)=P(ABUAC)=PA(BUC)<P(A).证毕.口人1八19 .设A,B,C是三个事件，且P(A)=P(B)=P(C)=,P(AB)=P(BC)=0,41P(AC)=,求A,B,C至少有一个发生的

13、概率。8解P(ABCuPAPBPCPABPAC(PB)C(PABC因为0EP(ABC)ERA5,所以P(ABC)=0,于是P(ABC)=3_J=_548820 .随机地向半圆0<y<，2ax-x2(a为正常数)内掷一点，点落在园n/4的概率.解：半圆域如图y内任何区域的概率与区域的面积成正比，求原点与该点的连线与x轴的夹角小于设人='原点与该点连线与x轴夹角小于n/4,由几何概率的定义1_212上L；：a2a()半园的面积122二a221 .把长为a的棒任意折成三段，求它们可以构成三角形的概率解1设A='三段可构成三角形，又三段的长分别为x,y,a-x-y,解2则0

14、<x<a,0<y<a,0<x+y<a,不等式构成平面域S._a_aA发生之0<x<一,0<y<一,22A的面积1()S的面积4不等式确定S的子域A,所以设三段长分别为x,y,z,则0Mxca,0<y<a,0czMa且x+y+z=a,不等式确定了三维空间上的有界平面域S.z不等式确定S的子域A,所以P(A)=A的面积S的面积22 .随机地取两个正数x和y,这两个数中的每一个都不超过1,试求x与y之和不超过1,积不小于0.09的概率.解0MxM1,0yM,1不等式确定平面域S.A='x+yM1,xy之0.09'

15、则A发生的充要条件为0MxyM1,1_xy_0.09不等式确定了S的子域A,故P(A)=A的面积S的面积0.90.10.9(1-x-)dxx=0.4-0.18ln3=0.223.(蒲丰投针问题)在平面上画出等距离a(a>0)的一些平行线，向平面上随机地投掷一根长l(l<a)的针，求针与任一平行线相交的概率.解设A='针与某平行线相交，针落在平面上的情况不外乎图中的几种,设x为针的中点到最近的一条平行线的距离。为针与平行线的夹角，则a0<x<-,0M中cn,不等式确定了平面上2的一个区域S.A发生。xWLsin平，不等式确定S的子域A21二I21故P(A)=一si

16、n：d=a.02aJL21.假设一批产品中一、二、三等品各占发现它不是三等品，求它是一等品的概率.解设A='任取一件是i等品'i60%,30%,10%,从中任取一件,=1,2,3所求概率为因为所以P(AM=符A=AA2P(3)=P(A)P(2A)0.60=30.9P(AA尸RA)0.66P(AIA3)=92 .设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件中有一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率.解设人='所取两件中有一件是不合格品'Bi='所取两件中恰有i件不合格i=1,2.A=B1B2P(A)=P(B)P(B2)c4c6十C2C120

17、cr所求概率为P(B2|A)=P(B2)C：P(A)-c4c6c43.袋中有5只白球6只黑球,求这颜色是黑色的概率.从袋中一次取出3个球，发现都是同一颜色,解设人='发现是同一颜色'A=B+C,所求概率为全是白色，C全是黑色，则P(C|A)=P(AC)_P(C)33C6/C11P(A)P(BC)C；/C；1C；/C；134.从52张朴克牌中任意抽取5张，求在至少有3张黑桃的条件下，5张都CC113333C15C15C15C15C；55285915:0.089.是黑桃的概率.解设人='至少有3张黑桃'，Bi='5张中恰有i张黑桃，i=3,4,5,则A=B3

18、+B4+B5,所求概率为5P(AB5)P(B5)C139p(Be|A)二二二;孱;:t=.p(a)p(B3十B4十B5)c135c39+c143c39+c；316865,设P(A)=0.5,P(B)=0.6,P(B|A)=0.8求P(aUb)与P(B-A).解P(AUB)=R伊RB)RAB1-1P(A)P(B4A)1.1=0P(B-A)=P(B)-P(AB)=0.6-0.4=0.2.6 .甲袋中有3个白球2个黑球，乙袋中有4个白球4个黑球，今从甲袋中任取2球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，求该球是白球的概率。解设人='从乙袋中取出的是白球，B='从甲袋中取出的两球恰有i个白球i=

19、0,1,2.由全概公式P(A)=P(B0)P(A|B0)P(B)P(A|B1)P(B2)P(A|B2)c24上C3c21C；613C；10C；2C；10257 .一个盒子中装有15个乒乓球，其中9个新球，在第一次比赛时任意抽取3只，比赛后仍放回原盒中；在第二次比赛时同样地任取3只球，求第二次取出的3个球均为新球的概率。解设人='第二次取出的均为新球，Bi='第一次取出的3个球恰有i个新球i=0,1,2,3.由全概公式P(A)=P(B)P(A0B)耳(B)P(A|B)P(B)PQA|B)3P(B)P(A|B)312321333C9C9C6C8C9C6C7C9C61IT-1I,-1

20、IT8 .电报发射台发出和的比例为5:3,由于干扰，传送()时失真的概率为2/5,传送'时失真的概率为1/3,求接受台收到：时发出信号恰是的概率。解设A='收到B='发出：由贝叶斯公式5385=35331-48583P(B|A)=P(Bi)P(A|B)P(A)c3c2/c5J213251526P(B|A=P(B)P(A|B)P(B)P(A|B)P(B)P(A|B)9 .在第6题中，已知从乙袋中取得的球是白球，求从甲袋中取出的球是白一黑的概率.事件如第6题所设，所求概率为10 .已知一批产品中96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率是0.02,一个次品被

21、误认为是合格品的概率是0.05,求在检查后认为是合格品的产品确是合格品的概率。解设人='任取一产品，经检查是合格品，B='任取一产品确是合格品，A=BABAP（A）=P（B）P（A|B）P（B）P（A|B）=0.96父0.98+0.04丈0.05=0.9428,所求概率为P(B|A)=P(B)P(A|B)P(A)0.960.980.9428=0.998.11 .假设有两箱同种零件：第一箱内装50件，其中10件一等品；第二箱内装30件其中18件一等品，现从两箱中随意挑出一箱，然后从该箱中先后随机取出两个零件（取出的零件均不放回），试求：（1）先取出的零件是一等品的概率；（2）在先

22、取的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍然是一等的概率解设人='第i次取出的零件是一等品，i=1,2.Bi='取到第i箱，i=1,2.则_1132（1）p（aj=p（Bi）p（a|Bi）+p（B2）p（a|B2）=t（i+;）=7.2555(2)P(A2|A)=P(AA)P(AABAA2B2)P(A)P(A)P(B)P(AiA2|Bi)P(B2)P(AiA2|B2)一P(A)1 C10,C182 11c50C30951=4=0.485624929512.玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0,1,2只残次品的概率分别为0.8,0.1,0.1,一顾客欲购一箱玻璃杯，售货员随

23、意取一箱，顾客开箱随意地察看四只，若无残次品，则买下该箱，否则退回。试求:(1)顾客买下该箱的概率支；(2)在顾客买下的一箱中，确无残次品的概率P.解设人='顾客买下该箱，B='箱中恰有i件残次品，i=0,1,2,(1)u=P(A)=P(B0)P(A|B0)+P(B)P(A|B)+P(B2)P(A|B2)G：c48=0.8+0.1mT9+0.1MT8-0.94;C20C20：=P(&|A)=P(A&)P(A)0.80.940.85.13.设有来自三个地区的各10名，15名和25名考生的报名表，其中女生报名表分别为3份、7份和5份，随机地取一个地区的报名表，从中先

24、后取出两(1)求先取到的一份为女生表的概率p;(2)已知后取到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率q.解设人='先取到的是女生表，B='后取到的是男生表，Ci='取到第i个地区的表'，i=1,2,3.(1)p=P(G)P(A|Ci)+P(C2)P(A|C2)+P(C3)P(A|C3)137529=-I十一十=；3I11015259029(2)因为先取出的是女生表的概率为所以先取出的是男生表的概率为9061,按抓阉问题的道理，后取的是男生表的概率p(B)=61.9090于是q=P(A|B)=P(AB)P(ABC1ABC2ABC3)P(B)P(B)1八-八-

25、P(AB|Ci)P(ABC)P(AB|C3)=3P(B)13778520_310915142524=20一61-61'9014 .一袋中装有m枚正品硬币，n枚次品硬币(次品硬币的两面均印有国徽)从袋中任取一枚，已知将它投掷r次，每次都得到国徽，问这枚硬币是正品的概率是多少?解设A='任取一枚硬币掷r次得r个国徽，B='任取一枚硬币是正品，则A=BA+Ba,所求概率为P(B|A)=P(B)P(A|B)P(B)P(A|B)P(B)P(A|B)m1)m+n12J_mm1_1*nm+n2rmn2mn15 .甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为0.6和0.5,现已知

26、目标被击中，求甲击中的概率解设人='目标被击中，Bi'第i个人击中i=1,2,所求概率为P(Bi|A)=P(BiA)P(A)P(Bi)P(Bi)P(BiB2)1-P(BiB2)0.61-0.40.5=0.75.11116 .三人独立地破译一个密码，他们能译出的概率分别是-，-，一，求他们534将此密码译出的概率.解1设人='将密码译出，B='第i个人译出i=1,2,3.P(A)=P(B1&&)=P(B1)正岛)P(B3)-P(B1B2)-PB&)-P(B2B3)P(BB2B3)3=0.6.事件如上所设，则-=0.6.42P(A)=1-P(

27、A)=1-P(B1B2B3)=1-5317.甲、乙、丙三人向一架飞机进行射击，他们的命中率分别为0.4,0.5,0.7。设飞机中一弹而被击落的概率为0.2,中两弹而被击落的概率为0.6,弹必然被击落，今三人各射击一次，求飞机被击落的概率解设人='飞机被击落，Bi='飞机中i弹i=1,2,.3则P(A)=P(B1)P(A|B1)P(B2)P(A|B2)P(B3)P(A|B3)=0.2P(B1)0.6P(B2)P(B3)设G='第i个人命中，i=1,2,3,则P(B1)=P(GC2c3)P(CC2c3)PC2c3)=0.4M0.5M0.3+0.6M0.5M0.7+0.6父0

28、.5父0.3=0.36,P(B2)=P(GC2c3)P(cC2c3)Pc2c3)=0.40.50.30.40.50.70.60.50.7=0.41,P(B3)=P(c1c2c3)=0.40.50.7=0.14,所以P(A)=0.20.360.60.410.14=0.458.18 .某考生想借一本书，决定到三个图书馆去借，对每一个图书馆而言，有无这本书的概率相等；若有，能否借到的概率也相等，假设这三个图书馆采购、出借图书相互独立，求该生能借到此书的概率解1设人='该生能借到此书，Bi='从第i馆借到'i=1,2,3.P(Bi)=P(B2)=P(B3)=P(第i馆有此书且能

29、借到)111=一=224111P(BiB2)=P(B1B3)=P(B2B3),4416于是PB1B2B3)44464P(A)=P(BB2B3)=P(B)P(B2)P(B3)-P(BB2)-P(B1B3)-P(B2B3)PB1B2B3)331416643764337解2P(A)=1P(A,-1P1(B2B3B)-1二百彳解3事件如解1多设，贝L_a=b1+Bb2+目B2b3,故P(A)=P(B1)HB1B2)P(BBzB3)13133137=+X+xX=4444446419 .设P(A)a0,P(B)刈，证明A、B互不相容与A、B相互独立不能同时成立.证若A、B互不相容，则AB=4,于是P(AB

30、)=0#P(A)P(B)a0所以A、B不相互独立.若A、B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B)>0,于是AB，即A、B不是互不相容的.注：从上面的证明可得到如下结论：1)若A、B互不相容，则A、B又是相互独立的uP(A)=O或P(B)=0.2)因A=BA+BA,所以P(A)=P(BA)+P(BA)如果P(B)=1则P(BA)=O,从而P(AB)=P(A)=P(A)P(B)可见概率是1的事件与任意事件独立，自然，必然事件与任意事件独立如果P(B)=O,则P(AB)=O=P(A)P(B),即概率是零的事件与任意事件独立，自然，不可能事件与任何事件独立。20 .证明若三事件A,B,C相互独

31、立，则aUb及A-B都与C独立。证P(AB)C>P(ACB母PAQ(P-B)C(pABC=P(B)P(C)P(B)P(C)-P(A)P(B)P(C)二P(A)P(B)-P(AB)P(C)=P(AB)P(C)即aUb与C独立.P(A-B)C=P(AB()PAPBP=qPABPC=P(A-B)P(C)即A-B与C相互独立.21 .一个教室里有4名一年级男生，6名一年级女生，6名二年级男生，若干名二年级女生，为要我们在随机地选择一名学生时，性别和年级是相互独立的，教室里的二年级女生应为多少名？解设还应有N名二年级女生，A='任选一名学生为男生，B='任选一名学生为一年级，则P(

32、A)=0一,P(B)N1610N164_410N16欲性别和年级相互独立，即P(AB)=P(A)P(B),41010=«N16N16N16所以N=9,即教室里的二年级女生应为9名。22 .图中1,2,3,4,5表示继电器接点，假设每一继电器接点闭合的概率均为p,且设各继电器闭合与否相互独立，求L至R是通路的概率.解设A='LR是通路，Bi='第i个接点闭合i=1,2,3,4,5,则A=B1B2B4B5B1B3B5B4B3B2RA)=P(BB)R4B5用P1B3B5BQBB)B(PBB-BB(PBB)BB-P(BB2B4B5)-P(BiB2B3B5)-P(BiB3B4B

33、5)-P(BiB2B3B4B5)P(BB2B3B4B5)P(BiBzB3B4B5)RB1B2B3B4B5)P(BB2B3B4B5)-P(BiBB3B4B5)=2p22P3-5p42p5.23.一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为80/8i,求该射手的命中率。解设该射手的命中率为p,由题意8044ii=i-(i-p),(i-p),i-p=-8i8i32所以p二一.324 .设一批晶体管的次品率为0.0i,今从这批晶体管中抽取4个，求其中恰有一个次品和恰有两个次品的概率。解R(i)=C4(0.0i)(0.99)3=0.0388.P4(2)=C：(0.0i)2(0.99)2=0.000588.25 .考试时有四道选择题，每题附有4个答案，其中只有一个是正确的。一个考生随意地选择每题的答案，求他至少答对三道题的概率。i解答对每道题的概率为一，所求概率为4门仙4i3P4P4=C4744二藐.26 .设在伯努里试验中，成功的概率为p,求第n次试验时得到第r次成功的概率.解设人=&