电磁场电磁波第一章矢量分析()

1、第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波1.4 矢量场的通量与散度矢量场的通量与散度 zzyyxxFeFeFeF d在点在点M处与失量线相切，处与失量线相切， 则它与则它与F共线。共线。意义意义：形象直观地描述了矢量场的空间分形象直观地描述了矢量场的空间分 布状态。布状态。),(d),(d),(dzyxFzzyxFyzyxFxzyx矢量线方程矢量线方程：概念概念：矢量线是这样的一些曲线，其上矢量线是这样的一些曲线，其上每一点的切线方向代表了该点矢量场每一点的切线方向代表了该点矢量场 的方向。的方向。矢量线矢量线OM Fdrrrdrdzedyedxerdzyx 1.4.1 矢

2、量线矢量线 第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波 矢量线不能定量描述矢矢量线不能定量描述矢 量场的大小，但过单位量场的大小，但过单位 曲面积的矢量线的根数曲面积的矢量线的根数 描述了矢量线的多少。描述了矢量线的多少。 引入通量的概念。在场引入通量的概念。在场 区域的某点选取面元，区域的某点选取面元， 穿过该面元矢量线的总穿过该面元矢量线的总 数称为矢量场对于面积数称为矢量场对于面积 元的通量。元的通量。 szyxnF,dz , y, xFsdsd1.4.2 1.4.2 矢量场的通量矢量场的通量问题问题：如何定量描述矢量场的大小？如何定量描述矢量场的大小？ 引入通量的概念

3、。引入通量的概念。 第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波d Sn d s空间面元矢量空间面元矢量：n的指向有两种情况：的指向有两种情况：1对开曲面上的面元，对开曲面上的面元， 的取法要求围成开表面的边界走向与的取法要求围成开表面的边界走向与 满足右手螺旋法则满足右手螺旋法则2对闭合面上的面元，对闭合面上的面元， 一般取外法线方向一般取外法线方向nnn第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波矢量场对于曲面矢量场对于曲面 s 的的通量为曲面通量为曲面 s 上所有上所有小面积元通的叠加：小面积元通的叠加：sFd,dzyxszyxnF,d 第第1 1章章 矢

4、量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波ndddSSFSF eS通量的概念通量的概念nddSe S其中：其中：面积元矢量；面积元矢量；ne面积元的法向单位矢量；面积元的法向单位矢量；dSnddF eS穿过面积元穿过面积元 的通量。的通量。 如果曲面如果曲面 S 是闭合的，则规定曲面的法向矢量由闭合曲面是闭合的，则规定曲面的法向矢量由闭合曲面内指向外，矢量场对闭合曲面的通量是内指向外，矢量场对闭合曲面的通量是),(zyxFSdne面积元矢量面积元矢量SSSeFSFddn第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波0通过闭合曲面有净通过闭合曲面有净的矢量线穿出，的矢量线穿出，有正

5、源（产生场）有正源（产生场）0有净的矢量有净的矢量线进入，有线进入，有负源负源0进入与穿出闭合曲进入与穿出闭合曲面的矢量线相等。面的矢量线相等。则无源则无源矢量场通过闭合曲面通量的三种可能结果矢量场通过闭合曲面通量的三种可能结果 闭合曲面的通量从闭合曲面的通量从宏观上宏观上建立了矢量场通过闭合曲面的通建立了矢量场通过闭合曲面的通量与曲面内产生矢量场的源的关系。量与曲面内产生矢量场的源的关系。通量的物理意义通量的物理意义第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波1.4.3. 矢量场的散度矢量场的散度VSzyxFFdivSVd),(lim0散度：散度：当闭合面当闭合面 S 向某点

6、无限收缩时，矢量向某点无限收缩时，矢量 F 通过该闭合面通过该闭合面S 的的 通量与该闭合面包围的体积之比的极限称为矢量场通量与该闭合面包围的体积之比的极限称为矢量场 F 在该在该 点的散度，以点的散度，以 div F 表示，即表示，即式中式中div 是英文字母是英文字母 divergence 的缩写，的缩写， V 为闭合面为闭合面 S 包围的体积。上式表明，包围的体积。上式表明，散度是一个标量散度是一个标量，它可理解，它可理解为通过包围单位体积闭合面的通量。为通过包围单位体积闭合面的通量。 第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波 矢量场矢量场F在某点的散度在某点的散度d

7、ivF，可表示为哈密顿微分算子，可表示为哈密顿微分算子与矢量与矢量F的标量积，的标量积， 即即 FFdivzFyFxFeFeFeFzeyexeFzyxzzyyxxzyx)(zeyexezyx第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波圆柱坐标系圆柱坐标系)(sin1)(sinsin1)(122FrFrFrrrFrzFFFFz)(球坐标系球坐标系zFyFxFFzyx直角坐标系直角坐标系散度的表达式散度的表达式：散度的有关公式散度的有关公式：GFGFfFFfFfkFkFkfCfCCCC)()(为常量)()()()为常矢量(0第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁

8、波直角坐标系下散度表达式的推导直角坐标系下散度表达式的推导 令以令以M点为顶点的微体积点为顶点的微体积 V 为一直平行六面体，如图所示。则为一直平行六面体，如图所示。则oxy在直角坐标系中计算在直角坐标系中计算zzxyFSdFSdFS下上右左后前zyzyxFSdFzyzyxxFSdFxx),(),(后前 根据泰勒定理根据泰勒定理zyxxzyxFzyzyxFdSFxxzyxFzyxFzyxxFxxxxx),(),(),(),(),(前第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波根据定义，则得到直角坐标系中的散度根据定义，则得到直角坐标系中的散度 表达式为表达式为zFyFxFVSF

9、FzyxSVdlim0zyxzFzyxyFzyxxFSFzyxSd 则穿出前、后两侧面的净通量值为则穿出前、后两侧面的净通量值为zyxzzyxFSdFzyxyzyxFSdFzyxxzyxFSdFzx),(),(),(y下上右左后前第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波1.4.41.4.4、 散度定理散度定理VSSdFdVF 从数学角度可以认为高斯定理建立了面积分和体积分的关从数学角度可以认为高斯定理建立了面积分和体积分的关系。从物理角度可以理解为高斯定理建立了区域系。从物理角度可以理解为高斯定理建立了区域 V 中的场和包中的场和包围区域围区域 V 的闭合面的闭合面 S 上

10、的场之间的关系。因此，如果已知区域上的场之间的关系。因此，如果已知区域 V 中的场，根据高斯定理即可求出边界中的场，根据高斯定理即可求出边界 S 上的场，反之亦然。上的场，反之亦然。第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波n1=-n2n1n2散度定理的证明散度定理的证明：将闭合面将闭合面S包围的体积包围的体积V分成许分成许多体积元多体积元dV1、dV2、，计算，计算每个体积元的小闭合面每个体积元的小闭合面Si上上(i=1,2 )穿出的穿出的F的通量，然的通量，然后叠加。后叠加。 VSiSSSSdVFdVFdVFSdFidVFSdFSdFSdFSdF21)2 , 1(21第第

11、1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波1.5 矢量场的环流与旋度矢量场的环流与旋度 1.5.1 矢量场的环流与旋涡源矢量场的环流与旋涡源 不是所有的矢量场都由通量源激发。不是所有的矢量场都由通量源激发。存在另一类不同于通量源的矢量源，它所存在另一类不同于通量源的矢量源，它所激发的激发的矢量场的力线是闭合的矢量场的力线是闭合的，它对于任，它对于任何何闭合曲面闭合曲面的通量为零。但在场所定义的的通量为零。但在场所定义的空间中空间中闭合路径闭合路径的积分不为零。的积分不为零。第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波 如磁场沿任意闭合曲线的积分与通过闭合曲线所围曲

12、面的电如磁场沿任意闭合曲线的积分与通过闭合曲线所围曲面的电流成正比，即流成正比，即SCSzyxJIlzyxBd),(d),(00上式建立了磁场的环流与电流的关系。上式建立了磁场的环流与电流的关系。 第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波q 如果矢量场的任意闭合回路的环流恒为零，称该矢量场为如果矢量场的任意闭合回路的环流恒为零，称该矢量场为无无旋场旋场，又称为，又称为保守场保守场。ClzyxFd),(环流的概念环流的概念 矢量场对于闭合曲线矢量场对于闭合曲线C 的的环流环流定义为该矢量对闭合定义为该矢量对闭合曲线曲线C 的线积分，即的线积分，即q 如果矢量场对于任何闭合曲线

13、的环流不为零，称该矢量场为如果矢量场对于任何闭合曲线的环流不为零，称该矢量场为有旋矢量场有旋矢量场，能够激发有旋矢量场的源称为，能够激发有旋矢量场的源称为旋涡源旋涡源。电流是。电流是磁场的旋涡源。磁场的旋涡源。第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波 矢量场的环流给出了矢量场与积分回路所围曲面内旋涡源矢量场的环流给出了矢量场与积分回路所围曲面内旋涡源宏观联系。为了给出空间任意点矢量场与旋涡源的关系，引入宏观联系。为了给出空间任意点矢量场与旋涡源的关系，引入矢量场的旋度。矢量场的旋度。 SCMFn1.5.2. 矢量场的旋度矢量场的旋度（ ） F （1）环流面密度）环流面密度C

14、SlFSFd1limrot0n称为矢量场在点称为矢量场在点M 处沿方向处沿方向 的的环流面密度环流面密度。n特点特点：其值与点：其值与点M 处的方向处的方向 有关。有关。n 过点过点M 作一微小曲面作一微小曲面 S ，它的边界曲线记为，它的边界曲线记为C，曲面的法，曲面的法线方向线方向 与曲线的绕向成右手螺旋法则。当与曲线的绕向成右手螺旋法则。当 S0 时，极限时，极限n第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波概念概念：矢量场在矢量场在 M 点处的旋度为一矢量，其数值为点处的旋度为一矢量，其数值为M 点的环点的环流面密度最大值，其方向为取得环量密度最大值时面积元流面密度最大

15、值，其方向为取得环量密度最大值时面积元 的法线方向，即的法线方向，即 物理意义物理意义 环流面密度矢量环流面密度矢量旋涡源密度矢量。旋涡源密度矢量。 性质性质：（2）矢量场的旋度）矢量场的旋度maxnnrotrotFeFFFeFnnrot 矢量的旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数矢量的旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数。 点点M的旋度的大小是该点环流密度的最大值。的旋度的大小是该点环流密度的最大值。 点点M的旋度的方向是该点最大环流密度的方向。的旋度的方向是该点最大环流密度的方向。第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波而而 推导推导 的示意图如图所示的示意图如图所示。rotx

16、F 直角坐标系中直角坐标系中 、 、 的表达式的表达式rotxFrotyFrotzF41321dddddllllClFlFlFlFlF)()(4321zFyFzFyFzyzyyyFMFFMzzz)(2zzFMFFMyyy)(3)(1MFFyy)(4MFFzzoyz yCMzx1234计算计算 rot F第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波于是于是 同理可得同理可得故得故得zyzFyFlFyzC)(dzFyFSlFFyzCSxdlimrot0 xFzFFzxyrotyFxFFxyzrot)()()(rotyFxFexFzFezFyFeFroteFroteFroteFxyz

17、zxyyzxzzyyxx利用算符利用算符，可将，可将rotrotF F 表示为：表示为：FFeFeFezeyexerotFzzyyxxzyx)()(第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波yFxFexFzFezFyFeFxyzzxyyzx旋度的计算公式旋度的计算公式: :zzFFFzeeeF1FrrFFrerererFrrsinsinsin12 直角坐标系直角坐标系 圆柱坐标系圆柱坐标系 球坐标系球坐标系zyxzyxFFFzyxeee第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波旋度的有关公式旋度的有关公式：矢量场的旋度矢量场的旋度的散度恒为零的散度恒为零标量场的梯度标量场的梯度的旋度恒为零的旋度恒为零FfFfFf)(CfCf)(0CGFGF)(GFFGGF)(0)(F0)(u第第1 1章章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波1.5.3 1.5.3 斯托克斯定理斯托克斯定理 因为旋度代表单位面积的环量，因此矢量场在闭合曲线因为旋度代表单位面积的环量，因此矢量场在闭合曲线