第一部分第一章垂直关系的性质

1、第一章 立体几何初步6垂直垂直关系关系理解教材新知应用创新演练知识点一6.2垂垂直直关关系系的的性性质质把握热点考向考点一考点二考点三知识点二 问题问题1：在大路的两侧有许多树木，这些树木垂直于：在大路的两侧有许多树木，这些树木垂直于地面，那么这些树木所在直线是怎样的位置关系呢？地面，那么这些树木所在直线是怎样的位置关系呢？ 提示：提示：平行平行 问题问题2：在长方体：在长方体ABCDA1B1C1D1中，棱中，棱AA1、BB1、CC1、DD1都垂直于平面都垂直于平面ABCD，它们之间有什么位置关系，它们之间有什么位置关系呢？呢？ 提示：提示：平行平行 问题问题3：垂直于同一平面的两条直线是否平

2、行呢？：垂直于同一平面的两条直线是否平行呢？ 提示：提示：平行平行 问题问题4：垂直于同一直线的两直线是否平行呢？：垂直于同一直线的两直线是否平行呢？ 提示：提示：不一定，若在同一平面内，则平行，若在不一定，若在同一平面内，则平行，若在空间中，可能平行，相交，也有可能异面空间中，可能平行，相交，也有可能异面直线与平面垂直的性质定理直线与平面垂直的性质定理ab垂直于一个平面垂直于一个平面 问题问题1：黑板所在平面与地面所在平面垂直，能黑板所在平面与地面所在平面垂直，能否在黑板上画一条直线与地面垂直？否在黑板上画一条直线与地面垂直？ 提示：提示：能，画一条直线垂直于交线能，画一条直线垂直于交线 问

3、题问题2：如图长方体：如图长方体ABCDABCD中，平面中，平面AADD与平面与平面ABCD垂直，垂直，平面平面AADD内的直线内的直线AD、AA与平面与平面ABCD垂直吗？平面垂直吗？平面AADD内的直线满足什么条件时才与平面内的直线满足什么条件时才与平面ABCD垂直？垂直？ 提示：提示：AA与平面与平面ABCD垂直；垂直；AD与平面与平面ABCD不垂不垂直平面直平面AADD内的直线与内的直线与AD垂直时才与平面垂直时才与平面ABCD垂垂直直平面与平面垂直的性质定理平面与平面垂直的性质定理laal交线交线 1.线面垂直的性质定理提供了证明线线平行的重线面垂直的性质定理提供了证明线线平行的重要

4、依据，也是由垂直转化为平行的重要方法要依据，也是由垂直转化为平行的重要方法. 2.面面垂直的性质定理可简记为面面垂直的性质定理可简记为“面面垂直，则线面面垂直，则线面垂直面垂直”.但但“线线”必须同时满足两个条件，即在其中一个必须同时满足两个条件，即在其中一个平面内且垂直于交线，平面内且垂直于交线，“在平面内在平面内”不能舍去不能舍去. 例例1如图，已知如图，已知ADAB，ADAC，AEBC交交BC于于E，D是是FG的中点，的中点，AFAG，EFEG. 求证：求证：BCFG. 思路点拨思路点拨证明证明BC平面平面ADE，FG平面平面ADE，可得可得BCFG.精解详析精解详析连接连接DE.ADA

5、B，ADAC，AD平面平面ABC.又又BC平面平面ABC，ADBC，又，又AEBC.BC平面平面ADE.AFAG，D为为FG的中点，的中点，ADFG.同理同理EDFG，ADEDD.FG平面平面ADE.BCFG. 一点通一点通 1线面垂直的性质给我们提供了证明线线平行的方法线面垂直的性质给我们提供了证明线线平行的方法. 2证明线线平行的方法证明线线平行的方法 (1)ac，bcab. (2)a，a，bab. (3)，a，bab. (4)a，bab.1如图，正方体如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，中，M是是 棱棱DD1的中点，则过的中点，则过M且与直线且与直线AB和和B1C1 都垂直的直线有都

6、垂直的直线有_条条 () A1B2 C3 D无数条无数条解析：解析：显然显然DD1是满足条件的一条，如果还有一条是满足条件的一条，如果还有一条l满满足条件，则足条件，则lB1C1，lAB，又，又ABC1D1，则，则lC1D1，B1C1C1D1C1，l平面平面B1C1D1.同理同理DD1平面平面B1C1D1，则，则lDD1.又又l与与DD1都过都过M.这这是不可能的，因此只有是不可能的，因此只有DD1一条满足条件一条满足条件答案：答案：A2如图，在正方体如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点中，点E、F 分别在分别在A1D、AC上，且上，且EFA1D，EFAC. 求证：求证：EFBD1.证

7、明：证明：如图所示，连接如图所示，连接AB1、B1C、BD.DD1平面平面ABCD，AC平面平面ABCD，DD1AC.又又ACBD，且，且BDDD1D，AC平面平面BDD1B1.BD1平面平面BDD1B1，BD1AC.同理可证同理可证BD1B1C，又，又ACB1CC，BD1平面平面AB1C.EFA1D，A1DB1C，EFB1C.又又EFAC，且，且ACB1CC，EF平面平面AB1C，EFBD1. 例例2如图，如图，A，B，C，D为空间四点，在为空间四点，在ABC中，中，AB2，ACBC .等边三角形等边三角形ADB以以AB为轴转动为轴转动 (1)当平面当平面ADB平面平面ABC时，求时，求CD

8、； (2)当当ADB转动时，是否总有转动时，是否总有ABCD？证明你的结论？证明你的结论. 思路点拨思路点拨(1)取取AB的中点的中点E，连接，连接DE，CE，由于平，由于平面面ADB平面平面ABC，故由面面垂直的性质定理得，故由面面垂直的性质定理得DECE，从而在从而在RtDCE中，可求中，可求CD. (2)分分D是否在平面是否在平面ABC内进行讨论内进行讨论(2)当当ADB以以AB为轴转动时，总有为轴转动时，总有ABCD.证明：当证明：当D在平面在平面ABC内时，内时，因为因为ACBC，ADBD，所以所以C，D都在线段都在线段AB的垂直平分线上，即的垂直平分线上，即ABCD.当当D不在平面

9、不在平面ABC内时，由内时，由(1)知知ABDE.又因又因ACBC，所以，所以ABCE.又又DECEE，所以，所以AB平面平面CDE.又又CD平面平面CDE，得，得ABCD.综上所述，总有综上所述，总有ABCD. 一点通一点通 1面面垂直的性质定理，为线面垂直的判定提供面面垂直的性质定理，为线面垂直的判定提供了依据和方法所以当已知两个平面垂直的时候，经常了依据和方法所以当已知两个平面垂直的时候，经常找交线的垂线这样就可利用面面垂直证明线面垂直找交线的垂线这样就可利用面面垂直证明线面垂直 2证明线面垂直主要有两种方法，一种是利用线证明线面垂直主要有两种方法，一种是利用线面垂直的判定定理，另一种是

10、利用面面垂直的性质定理，面垂直的判定定理，另一种是利用面面垂直的性质定理，应用此定理时要注意以下三点：两个平面垂直；直应用此定理时要注意以下三点：两个平面垂直；直线在一个平面内；直线垂直于交线，缺一不可线在一个平面内；直线垂直于交线，缺一不可3(2011郓城高一模块测试郓城高一模块测试)如图，已知如图，已知PA平面平面ABC， 平面平面APB平面平面BPC. 求证：求证：ABBC. 证明：证明：平面平面PAB平面平面CPB，且，且PB为交线为交线如图，在平面如图，在平面PAB内，过内，过A点作点作ADPB，D为垂为垂足，则足，则AD平面平面CPB，又，又BC平面平面CPB，所以所以ADBC.因

11、为因为PA平面平面ABC，BC平面平面ABC，所以，所以PABC，又，又PAADA，所以，所以BC平面平面PAB，又又AB平面平面PAB，所以，所以ABBC.4已知平面已知平面PAB平面平面ABC，平面，平面PAC平面平面ABC， AE平面平面PBC，E为垂足为垂足 (1)求证：求证：PA平面平面ABC； (2)当当E为为PBC的垂心时，求证：的垂心时，求证：ABC是直角三角是直角三角形形.证明：证明：(1)如图，在平面如图，在平面ABC内取一点内取一点D，作，作DFAC于点于点F，平面平面PAC平面平面ABC，且交线为，且交线为AC，DF平面平面PAC.又又PA平面平面PAC，DFAP.作作

12、DGAB于点于点G，同理可证同理可证DGAP，DG、DF都在平面都在平面ABC内且交点内且交点为为D，PA平面平面ABC.(2)连接连接BE并延长，交并延长，交PC于点于点H.E点是点是PBC的垂心，的垂心，PCBE.又已知又已知AE是平面是平面PBC的垂线，的垂线，PCAE.又又BEAEE，PC面面ABE.PCAB.又又PA平面平面ABC，PAAB.PAPCP，AB平面平面PAC.ABAC，即，即ABC是直角三角形是直角三角形 例例3 如图，正方形如图，正方形ABCD所在平面与平面四所在平面与平面四边形边形ABEF所在平面互相垂直，所在平面互相垂直，ABE是等腰直是等腰直角三角形，角三角形，

13、ABAE，FAFE，AEF45.(1)求证：求证：EF平面平面BCE；(2)设线段设线段CD、AE的中点分别为的中点分别为P，M，求证：，求证：PM平面平面BCE. 思路点拨思路点拨 (1)要证明要证明EF平面平面BCE，只须，只须EFBE, EFBC即可，由面面垂直的性质定理和即可，由面面垂直的性质定理和FEAAEB90很容易证明很容易证明 (2)要证明要证明PM平面平面BCE，只须证明，只须证明PM平行于平平行于平面面BCE内的一条直线，取内的一条直线，取BE的中点的中点N，易知，易知PMCN.精解详析精解详析(1)因为平面因为平面ABEF平面平面ABCD，BC平面平面ABCD，BCAB，

14、平面平面ABEF平面平面ABCDAB，所以，所以BC平面平面ABEF.所以所以BCEF.因为因为ABE为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，ABAE，所以，所以AEB45.又因为又因为AEF45，所，所以以FEB90，即，即EFBE.因为因为BC平面平面BCE，BE平面平面BCE，BCBEB，所以，所以EF平面平面BCE. 一点通一点通线面平行和线面垂直是立体几何中经常线面平行和线面垂直是立体几何中经常考查的位置关系之一，当已知线面、面面垂直考查的位置关系之一，当已知线面、面面垂直(平行平行)时时可考虑性质定理，要证明线面、面面垂直可考虑性质定理，要证明线面、面面垂直(平行平行)时考虑时考虑判定

15、定理判定定理5(2011南昌第一次模拟南昌第一次模拟)已知已知、是平面，是平面，m、n 是直线，给出下列命题：是直线，给出下列命题： 若若m，m，则，则； 若若m，n，m，n，则，则； 若若m，n ，m、n是异面直线，那么是异面直线，那么n与与相交；相交； 若若m，nm，且，且n ，n ，则，则n且且n. 其中正确命题的个数是其中正确命题的个数是 () A1 B2 C3 D4解：解：由面面垂直的判定可知正确；中没有说明由面面垂直的判定可知正确；中没有说明m与与n的关系，故不正确；中的关系，故不正确；中n与与有可能平行，有可能平行，故不正确；由线面平行的判定定理可知正确故不正确；由线面平行的判定

16、定理可知正确答案：答案：B6在斜三棱柱在斜三棱柱ABCA1B1C1中，侧面中，侧面ACC1A1 平面平面ABC，ACB90. (1)求证：求证：BCAA1； (2)若若M，N是棱是棱BC上的两个三等分点，求证：上的两个三等分点，求证：A1N 平面平面AB1M. 证明：证明：(1)因为因为ACB90，所以，所以ACCB， 又侧面又侧面ACC1A1平面平面ABC， 且平面且平面ACC1A1平面平面ABCAC， BC平面平面ABC，所以，所以BC平面平面ACC1A1， 又又AA1平面平面ACC1A1，所以，所以BCAA1.(2)连接连接A1B，交，交AB1于点于点O，连接，连接MO，在在A1BN中，中，O，M分别为分别为A1B，BN的中点，的中点，所以所以