第五、六章导数与微分、微分学基本定理及其应用(全面版)资料

1、第五、六章导数与微分、微分学基本定理及其应用（全面版）资料第五六章导数与微分、微分学基本定理及其应用这两章主要内容包括：导数概念、单侧导数、导函数、导数的几何意义、导数的四则运算；反函数的导数、复合函数的导数、初等函数的导数与微分、一阶微分形式的不变性、微分在近似计算中的应用、高阶导数与高阶微分、隐函数与参数方程求导法则；费马定理、罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、泰勒定理、近似计算、洛比达法则、导数在函数性态研究上的应用等。重点与难点：罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、泰勒定理及其在一些复杂证明、计算中的应用典型例题例1.确定常数a, b使f xax b2x:1在每点

2、可导.解：当x 1时，f X a.当x 1时,x 2x.lim -一12 .x 1 x 1ax b 1ax af x可导，则f x连续.所以a b 1. limlima f 1x 1 x 1 x 1 x 1 a 2. b 1.2例 2. x acost，o t .求史，业yasintdxdxd1 nyddy解:dyy tbcott，adtdxbdxx tdx2dxa2 si nx sin 0 x是连续的.f 0 limx一x 0 x 0tdt例3.yxx xx ( x0），求y .解：yx ln xxx ln xx ee1 xx 1 ln xxx xx 1 In x ln2xx例4.证明函数f

3、x2.1 sinx 00有不连续的导数.0解：lim f x 0x 0例5.解：f x2 . 1x sinx2xsin 丄x是不连续的.x2ax bX。Xocos， lim f xx "为使f X在Xxo处连续且可微，应如何选aXo处连续，则ax0 b2Xof X在X Xo处可微,则f X。xo.f XolimX Xo2 2xXoXXo2xo , fxolimX X)axb x°2xXoax bax0 blimx X0x x02xo, bx(/2x,2Xo .说明:一个函数在某点xo处的右导数f xo不一定是导数在X。处的右极限.2 . 1例.对函数f X x sin；0o

4、，当 Xo11o 时，f x 2xsin- cos，lim fxx x o2.1门x sino不存在.但lim xx o+ x o例6.函数f x在xo>上可微且limxf X存在，由此能否推出lim f XX在？. 2解：不能.如函数f X =在X0,上可微,x 2cosx2. 2 sin x2Xlim f x不存在.X例7.有界函数f x在xo,上可微且lim fxx存在,由此能否推出lim fX存在?解：不能.如f Xcos ln x， f x sin ln X，lim fXx o，但 lim cos ln xX不存在.例8.当a为何值时，y ax2与y In x相切?解:1ax2

5、与y In x相切得2ax -，即x211，也即x2a2aax2将x, y代入yIn x ,In2I1 ln2aIn2，2a例9.写出曲线1a .2ex 2t t2 上t y 3t t21处的切线方程与法线方程31 t，当t1 时，dx3.2解: dy=二3-dx 2 2t切点的坐标是1,2，斜率k 3.故所求切线方程是y 23 x 1，法线方程是y 2- x 13中一致例10.若函数f x于区间a, b内有有界的导数f x，贝U f x于a,b 连续证明：令M 0且对x a,b ， f x M .N，x2 ，x1,x2a,b，为 x2， f x2f fx2 .a,b ，f为 f X2M X2

6、为. 只需取 一，即有当为，X2Mx- x?时有 f 捲 f X2.例11.证明若函数f x于无穷区间x0,内可微且lim f xx1xlim 0xx证明：T limfX 0，0，N1 0，当x N1时有f Xx2取xoN1，XXo，有1:Xf X0fX x0 .N2X。，当XN2时有f x0-x2f XfXqf|x xq|丨X I IX11 x I2 2 .f X lim xX0.例 12. f x在a,上有界，f x存在且limXf x b，求证b 0证明：T limXfXb，对Xn，若 Xn，贝U lim f xnb .X如果 xn使得limXfXn0,则 b 0.n cd n对nn2n

7、nnn2o例13.设f x在0,1上连续,0,1内可导,证对 x-!,x20,1，有 f x1X2证明：, X20,1，若 xX210,2f X2X1X2X1 .1若X1, X2,1也有f2X1X2若X1,X2X2时，可知fx-1fx2X2X21X1f x2x.f x2X1X2X1X21例14.若函数f(1)在闭区间a,b上有二阶导函数f x(2)则在区间 a,b至少存在一点c，4 2说明：涉及到二阶导数的地方，一般用泰勒公式，在特殊点展开，再把x换成特殊值.证明：由泰勒公式得a, x x,b把x 口带入上式得2r a bf 1 b a< a bf2 b aff a，-ff b -222

8、22442两式相减得02max，其中c 1或c 2.a,b ,st.例15.1o,1，求证 0f X dx其中为任意正实证明：把f X在x0处用二阶泰勒公式展开得之间.x dx f0f x例16.设函数f其中M2max fx a,b证明:取Xof x dxabf x dxa1 dx1dxx二阶可微，求证bf x dx baa b""2m224在xo处用二阶泰勒公式展开得f XoXoX XoX Xodx"xXoM224例17.试问如下推证过程是否正确?t2s in1 t0在 0,x上应用拉格朗日定理得2 1x sin xxsin丄cos-，o1 1x.即得 cos

9、2 sin.1xsi nx由上式可知1limcos 0 .0说明:错了 1 limcos 01o，并不代表limcos o .0例18.设f x在a,b内可导，对xoa, b ，求证 Xna,b，使得lim XnnXo且 lim f xnf X).n证明:f yx0lim y X°y X0f Xo.令X01a,b ， X0nyn，则ynXo.Xof ynf x0lim - lim fnXn,Xn介于X0与X0XnXo ,lim f xnf x0 .n例19.x在a,b内一阶可导,a,b内二阶可导,0.证明:(1)存在a, b，使 f(2)存在a, b，使 f证明：(关于(1)般找到两

10、点Xi，X2a,b ， s.t. f x1f X2b同号且都不为零,不妨设Xff alimax a X af X f bf b lim.X b x bf a 0，f b 0,因此存在Xi,X2 a,b , st. A 与f a同号,x1 a丄J2 LL与f b同号.而f a f b 0，因此 “ 2 0.X2 bXi a X2 bf f X20，由介值定理知a,b , s.t. f 0.（2）（对于要证，s.t. ff 及f f 的题，一般建立函数F x f x eX）令 F x f x eX , F a F b 0, F a F b 0.a,b，使得F 0.在a,上应用罗尔定理知i , s.

11、t. F i e 1 f i f i 0, i a,在,b上应用罗尔定理知2,b ， s.t. F 2 e 2 f 2f 20要证ff.令Gxx ef x f x ，则 G xex f x f xf xf xexf x f x . ' f 1 f 1 ， f 2f 2G 1 G 20.1, 2 ， s t. G0，ff.例20.设f x在0,1上连续可导，且f 00 , f 11 ,求证f x f x dx e 1.0证明：（里面出现了 f x f x及e1，因此想到考虑F x exf x ）f x ，x 0,1 .因此令 Fx e x f x ， F x e x f xf X f x

12、| f x xf x ef x ex dxx dxx dx0F Xdx例21.已知f x在0,1上连续,在0,1内可导且f 0f 10，求证0,1 ， s.t. f4f .证明：令 F x e4xf x，f 0f 10.，st. F 0，0,1，F e4 f 4f 0. f 4f .例22.已知f x在0,1上连续，在 0,1内可导且f 10，求证 0,1，st. 4ff .证明：令 F xx4f x，F x4x3f xx4f x，F 0 F 10.0,1 ， s.t. F 0. 4f0. 4f例23.设f x在a,b上连续，在a,b内可导，其中a 0，求证存在 a,b ，st. f b f

13、abIna证明：即证丄 La 1(用柯西定理即可)In b In a 1例24.设f x在0,1上连续，在0,1内可导，f 00，求证如果在0,1上不恒为零，则存在0,1，使得ff0.证明：分析 2f xf xf2 x，即证f2 x0.假若f2 x0,则f2 x单调减，当x 0时，f2 x f 0 .又f0 0， f2 x 0 .f x 0.产生矛盾.例25. f x在R上上二次可微，且x尺有f xM(0，f xM2.(1)写出fx h , f x h关于h的带拉格朗日余项的泰勒公式求证对h 0，有f刈¥ 2m2-(3)求证 f x2jM0M2 .解：(1) f x h f x f

14、x h，1介于之间f x h f x f x h产h2，2介于x，x h之间.(2)将(1)中两式相减得f x h f x h f x 2hf x(3)业hMoM0M222时取等号'则h空2M 0 hh 2x2(M0M2 .例26求证：1)2)证 1)令 g(x)2时,1时,21ln(1x)ln(1f(x)g (x)1-)xx2x x(2 x2(x 1)21)x,当(1x2xxg(x)递增而 lim g(x)x0,x(x 0)在(0,)严格单调递减g (x) 0g(x) 0,原证结论成立2) f(x) (1 -)xx因此，匸凶，则 In f (x)(xf (x)f(x) ln(1f (

15、x)g(x)例27.求证:x 0时,证：令F(x)1-)xxr1 -x0 因此f (x)在(0,彳 241 x x飞xx52 41 x x3 5x x x2nx2n 1x1)ln(1-)x1 xln(1 )2 g(x)x x x)上严格单调递减2nx2nx且等号仅当xn1时成立.2n 2x2nx(1 xF (x)n(12n 22n 1、x ) (n 1)(x x )F (x)nx(1 x2n)令 g(x)n(1x ) (n 1)(x x )g(x)(n1)2 nx2n(x 1) x2n 1g (x)(n1)x2n 1(2n 4n2)(x 1)且 g (x)g (x)在 x1取最大值0 , g

16、(x) 0g(1) 0x 1 时 g(x) 0; x 1 时 g(x)0x 1F(x)0x 1 CT x2n 0,x 1)0x 10 ; x000f (x)0 ,所证成立.1 时 g(1) 0.例28 f (x)在a,b上连续且单调增加xa x x证：令 F(t) tf(t)dt - - f(t)dta2 a求证:bxf(x)dxabf (x)dx aF (t)1 xa - a1 xxf(x) a f(t)dtf(x)f(x) a f(t)dt2 a 2 2 2 a1 -1 -f (x)dt - f (t)dt f(x) f(t)dt2 a2 af(x)f(x) f (t)F (t) 0F(a

17、)0, F(x) 0,F (b)0所证成立例29设f(x)在0,1上有连续的一阶导数,且f (x) O,f(x) 0.- 1若 F (x) o f (t)dt.求证:对任意的-(0,1),都有 xF(1) F(x) 2 0 F (t)dt .1 - - 1证：1)证-f (t)dt f (t)dt .令G(x) f (t)dt - f (t)dt0 0 0 01G(x) f(x) 0f(t)dt G (x) f (x) 0G(x)是凸函数.TG(0)G(1) 0 G(x)在-轴上方 G(x) 0xF(1) F(x)- 1 -F (x) f(x)2)证 0 f (t)dt 20F(t)dt. F

18、(x) 0 f(t)dt,F (x) f (x)0 F(x)是凸函数且 F(0)0F(t)dt1尹(0)F(t)dt11FF(1) 1(曲边梯形面积 梯形面积)1 -2 0F(t)dt F(1) q F(t)dt,所证成立.例30设f(x)在0,1上可微且0f (x) 1, x (0,1), f(0) 0, 1 2 1 3 求证：(°f(x)dx)2o f 3(x)dx次-ox o证：令 F(x) ( o f(t)dt)2q f3(t)dtX-F (x) 2f(x) 0 f(t)dt f3(x)f(x)2 0 f(t)dt f2(x)f (x)0. f (0)0 f (x)0Ax2令

19、 g(x) 2 0 f (t)dt f (x), g(0)0g(x) 2f(x)1f(x)0(0 f (x)1)g(x) g(0)0 F (x)0,F(0)0 F(x) F(0) F F (0)所证成立例31.设f(x) 0在0,1上连续，f(1) 0 .求证：存在 (0,1),使得 f( )0 f(x)dxx1证明：令 F(x) f(x) q f (t)dt, F(0) f (0) , F(1) q f(t)dt 01)若f(0) 0,则F(0) F(1) 0,则由介值定理可得存在(0,1),使得F( )0,因此要证明得结论成立.2)若f (0)0,则f (0)0若f(Xm)M是f (x)在

20、0,1上的最大值.F(Xm)f(xm)口1风，其中1是0,1上某一点，因此有F)f( )0 f(x)dx.F(1) 0.因此由介值定理可以知道存在(0,1)使得例32.设f(x)在0,1上连续，使得f (x)0 求证:a1dta f(t)2)对于任意自然数n ,存在唯一的Xn(0,1)使得Xn1 f (t)dtn1 1Xnf(t)dt 且1)存在唯一的a (0,1)使得o f(t)dtlim Xn a .nX证明:1)令 F(x)0 f(t)dt1 丄 dt,x f(t)F (x) f(x)F(x)单调 F(0)0,F(1)0存在唯一的a (0,1)使得 F(a) 0a1 10f(t)dtaf

21、(t)dtxin f (t)dtn“ fk)dt12) Fn( ) Fn(1) 0 人使得n其中&(X)1 f(t)dtn询dt.下面说明的增减性.Fn i(x) Fn(x)0所以 Fn (X)对 n 是增的.Fni(Xni)0,Fn i(Xn)Fn(Xn)Fn l(Xn)Fn 1(Xn 1)Xn1XnXn单调有界令Hm XnX1n f (t)dtn1 1dt且积分上下限函数连x f (t)b0f(t)dt冷由1)知ba (唯一的a).例33.设0x 1,求证:xe证：两边取对数有：InxIn x1-,即证2lnx1-0(0 x 1)x令 F(x) 2I nx x 1x(x)1 2x

22、x1 -2 2XXF(x) , F(x) F(1)0,F(x) 0得证.利用凸凹性来证明不等式例34. 1)设f(x)是在R上得凹函数,f (x)可微且f (x)0,求证:对 ”，X2,必 R 有：f(X1)f(X2)f(Xn)f(2)求证:当Xk 0(k 1,2,n)时，有证:1) f(x)f (X0)f (X°)(X X0)f(x)f (X0)f(X0)(X X0)令X0X1x2yXn令XXn时成立.(X X0时取等号)nX1 X2nf ()2当 X-!X2f(<) f (X0) f(X0)(A X0)xn(X X0)2XiX2n色)等号当且仅n'X1 X2 Xnf

23、(xj nf(x°) f (x°)(Xi n X。)n f(x°),所以得证2)只需要证InX1X2xnnIn XiIn x2In xnn例35.令 y ln x y 0In x1In x2In xnn,x1x2xn In %Inny是凹函数XnInX1 x2nInx21nxn得证. n2求证：1)当0 x时，有sin x x22)如果 ABC是锐角三角形，那么sin A sinBsin C1) y sin x f (x), ysin x 0曲线凸,sin x sin( 222)利用1)的结论:x) sin 2x (1 -x)220 -xf(2)x) f (0)-

24、xsin A -A2sin B B sin A sin B sin C2(A B C)sinC -C例36.求证:方程x2 xsi nx cosx恰好只有两个不同的实根.证：令 f (x) x2 xsinx cosx , f (x)为偶函数,f(0)2lim f (x) lim x (1xxsin x cosx2 )xf (x)至少有两根当 x 0时，f (x)2xsin xxcosx sin x 2x x cosx 0当 x 0 时，f (x)只有两根.例37.设x 0时，方程kx1二1只有一个解,求k的取值范围.x1解：y(x) kx 2 1x2y (x) k 3x1) k 0 g (x)

25、0 时，f(x)时,f(x)k 0时只有一个解.2)k 0,g(x) 0 k 7当 x 彳2 时，g (x) 0(x0)x n2 时,g (x)0g(x)在 32处取得极小值.若只有一个解 ，令 g(32)k2 1k22In 3 (In2 In k) In 23332In kIn 2 (In 3) In(飞)232In 3 2 In k3k 293在k 0及k詈时原方程只有一个解-例38.已知p(x)是n 1次函数(p(x)不恒为零)P(x)nanXa1x a0 且a的根.证：p(x) p(a) p(a)(x a)n!p(n)(a) ()n(x a)若p(x)不恒为零，则k,使得p(k)(a)

26、 0(0k n)p(a) 0, p (a) 0,，p(n)(a) 0.求证：p(x)没有大于p(x)欝(x Ak!例 39. fn (x) xn xn 1x2 x.求证:1)对任意自然数1方程fn(X)2)如果 Xn (f,1),fn(Xn)1,则 nim1在(丄,1)内只有一个根.21人21 1证:g(x)1 2(1 莎)fn(x) 1 g(1) n 1 0g(-) 11 02 1 1g (x)0只有一实根介于1(J)内.n 1Xn1nXn12Xn1Xn1Xn有界lim Xn存在并令其为anXn(1n、X )1 XnXnXia 而 lim an 0nlim x：0n例40.设f(x)在0,1

27、上连续，在(0,1)内二阶可导,且M是f(x)在0,1上得最大值,f(0)f(1)0, f (X)0 (x (0,1).求证：1)存在唯一得X：(0,1)使得f (Xn)2) lim xn 存在且 lim f (xn) Mnnf (a)f (lim Xn)Hm( f (x：)nlimMn n证:令F(x)f (x)MX0nMXnM (1 丸)n令 f(X0)M (X00,1)0F(x。)MF(1)0n使得F(n)0,而 F(0)0 .且n0Xn (0, n)使得F ( n)0Xn使得f(x°)Mn由于f (X)单调，因此Xn是唯-一存在的M厂 MMf (x)0 f (x)f (X)且

28、-nn 1nf (Xn 1)Mf(Xn)xn 1xnn1Xn有界.Hm Xn存在.而f (x)连续，令lnimXnaf(X0) M f (x。)0而 f (x) 0 f (x)单调, a x。而 f(x°) M ,Hm f (Xn) f (Hm x：)f(x°) M .练习:1. yxxaxaax （ a 0,x0），求 y .2. f x可微,fx/ ex f x! e ，求 y .3.设函数f x处连续;1xn sin -( x 0)及 f 0 x(b)在x 0处可微；(c)在x 0处导函数连续.0 ,问在什么条件下f(x) (a)在x 04.x a x，其中x在x a

29、处是连续的，求f5.tarcsin 1忙，求证dy1dxarccosJ1 t2sgnt （ t 0）.6.ar如 x|n *y2，求黑7.44ny sin x cos x,求 y .8.f x exsinx,求 f9.x 2t t3, 求 d4（y 3t t3 dx10.f x在0,1上连续,在 0,1内可导,0, f -1.求证211.0,1使得f函数f x在闭区间a,b连续，在 a,b内二阶可导,并且曲线和连接a, f a 与b, f b的直线段在 a, b内相交,求证a,b s.t f0.12.设函数x在a,b上可导,求证存在c a,b，使得13.设 f x在0,1上有二阶导数,b ,其

30、中a,b非负.求证对 c 0,12a -214求证：当x 0时,不等式ln(1 x)x1x成立.tan xln(1 x) ln(1 x) ln(1 0)xC求证:xm015设0 x 求证2sin xx16. 设 p,q 0且1 ,又设 a 0,b0 .求证：ab ap bq .p qp q17. 设f (x)是非负函数，在a, b上二阶可导 且f (x)0 .求证力程f(x) 0在(a,b)内如果有根，只能有一个根.18. 求方程x3 3px q(p 0)恰有三个实根的条件.19已知三次方程x3 3a2x 6a2 3a 0只有一个实根是正的，求a的范围.20由拉格朗日中值定理 对于x 1,(0

31、,1),使得21.设y f (x)在(1,1)内具有二阶连续导数，且f (x)0 .求证:1)对于x ( 1,1),x0,存在唯一的(x)(0,1),使得第六章非线性微分方程和稳定性研究对象二阶驻定方程组(自治系统)dx dt dy dtX(x,y)Y(x,y)1)稳定性考虑方程组dxdtf (t,x)dx1X1dt(t;X1,X2,Xn)x2其中X,dx dtdx 2dt，f(X)f2(t;X1,X2,Xn)xndXn dtfn(t;X1,X2,Xn)1基本概念(6.1)总假设f(t,x)在D上连续，且关于 x满足局部李普希兹条件,区域0满足t t0满足X°的j n D Rn, f

32、 (t,0)0, |x、Xi2。V i 1如果对任意给定的0,存在 ()0 (般 与t0有关)，使得当任一 xX。 S时，方程组(6.1 )满足初始条件x(t。) X。的解x(t)，均有x(t) £对一切成立，则称方程组(6.1)的零解x 0为稳定的。如果方程组(6.1)的零解x 0稳定，且存在这样的 0 0,使当x05)时,初始条件x(t0) x0的解x(t)均有im x(t) 0,则称零解x 0为渐近稳定的如果x 0渐近稳定，且存在域D0 ,当且仅当x0 D0时满足初始条件x(t0)解均有lim x(t) 0，则称域D°为(渐近)稳定域或吸引域；如果稳定域为全空间，即论

33、 0怎样小，总有一个x0满足x0|使得由初始条件x（t0） x0所确定的解x（t）,至少存在某个ti to使得|x（ti）5则称方程组（6.1）的零解x 0为不稳定的。注：非零解的稳定性可以通过平移变换后转化为零解稳定性问题来讨论。2）相平面与轨线考虑二阶非自治微分方程组(6.2)X(t;x,y) dtY(t;x,y)dt它的解x x（t）, y y（t）在以t,x, y为坐标的（欧氏）空间中决定了一条曲线，这条曲线称为积分曲线。如果把时间t当作参数，仅考虑 x, y为坐标的（欧氏）空间，此空间称为方程组（6.2） 的相平面，若方程组是含三个以上未知函数的，则称为 相空间。在相平面（相空间）中

34、方程组的解所确定的曲线称为轨线。3）奇点与常点如果方程组（6.2）是驻定方程组（或称为自治系统），即其右端函数不显含时间t。此时（6.2）式变成爭 X(x,y)(6.3)dt鱼 Y(x, y)dt满足方程组X（x,y） 0的点（X*, y*）,即满足X2（x*, y*） Y2（x*, y*）0的点，称为方Y（x,y） 0程组（6.3）的奇点（或平衡点）,否则称为常点。4）周期解、闭轨和极限环平面自治系统（6.3）的周期解在相平面上对应的轨线称之为闭轨线，简称闭轨。若在闭轨C的充分小的邻域中，除C之外，再无其它闭轨，称 C为孤立闭轨。如果在孤立闭轨 C的充分小的邻域中出发的非闭轨线，当t（或t）

35、都分 别盘旋地趋于闭轨 C，则称它为系统（6.3）的极限环。极限环C将平面分为两个区域：内dVdt,Xn)称为V(x)关于系统(6.4)的对时间t的全导数，记为dt (6.4)，特别地，如果系统已明确(或不易混淆)，符号晋的下标可略去。(6.4)域和外域。当极限环附近的轨线均正向 (即t时)趋近于它时，称此极限环为稳定的。如果轨线均负向(即t时)趋近于此极限环时，则称它为不稳定的。当此极限环的一侧轨线正向趋近于它，而另一侧轨线负向趋近于它时，此极限环称为半稳定的。5)李雅普诺夫(Liapunov)函数(V函数)考虑非线性的自治微分方程组dx f (x) f (0) 0(6.4)dt假设f (x

36、)在某区域 D : x A( A为正常数)内具有连续一阶偏导数。设函数V(x) V(x1 ,x2, ,xn)在域D1 :HA上具有连续偏导数，且 V(0) 0,a)若在D1上，恒有V(x) 0，则称函数V(x)为常正的；b )若在D10 :0|xHA上,V(x)0,则称函数V(x)为定正的；c)若在D1上，恒有V(x) 0,则称函数V(x)为常负的；d )若在D10:0HA 上,V(x)0,则称函数V(x)为定负的；e)若V(x)在原点O(0,0, ,0)的任一邻域内既可取正值又可取负值，则称V(x)为变 号函数。常正、常负函数统称为常号函数；定正、定负函数统称为定号函数。以上定义的函数为李雅

37、普诺夫函数(V函数)。6)全导数设函数V(x)在原点O的邻域内连续可微，把函数Vfi (X1, X2,1 Xi2基本理论与基本方法1) 平面系统的奇点分类二维线性自治系统的一般形式为dxdtdydtax bycx dy它的系数矩阵其特征方程是将特征方程改写为(6.5)其中ptr A (a高阶奇点。2 (ad) (ad bc) 0。d),qdet A adbe。0 , 0(0,0)是(6.5)的唯一奇点,我们主要研究初等奇点的性态。定理6.1对于系统(6.5),当q点(简称为奇点)，1 , 2为矩阵A同情况将奇点O(0,0)分为以下类型:称0(0,0)为初等奇点，q 0时，称0(0,0)为ad

38、bc 0时，O(0,0)是它的唯一初等奇bd的不为零的特征根，则可以根据特征根的不a)若2都是实数，且10，则当10, 20时，O(0,0)为稳定结点;1 °,20时，O(0,0)为不稳定结点。b )若2都是实数，且1 20，则O(0,0)为鞍点。c)若12，则当入 i 0时，O(0,0)为稳定奇结点或退化结点，当入 0时，O(0,0)为不稳定奇结点或退化结点。d )1, 2为一对共轭复根，则Re 10时，0(0,0)为中心。注：奇结点(也称临界结点)是它周围的轨线均沿确定的方向趋于(或远离)它，且不同轨线切向也异。若特征根12的初等因子的次数为 1,则对应临界结点，初等因子的次数为

39、2，则对应退化结点。定理6.2设0(0,0)为方程组dxdtdydtax by X (x, y)ex dy Y(x, y)(6.6)的孤立奇点，若 X(x, y)，Y(x, y)满足条件a)在奇点0(0,0)的邻域内有连续的一阶偏导数;i 22b) X(x, y) o(r)，Y(x, y) o(r)， r .x y。则如果0(0,0)是对应线性系统(6.5)的结点、焦点或鞍点，那么0(0,0)也是非线性系统(6.6) 的同类型奇点。2) 稳定性定理与方法方法1常系数线性系统稳定性判定般地，n维常系数线性微分方程组dxdtAx(6.7)其中A为n阶常数矩阵。方程组(6.7)的特征方程为(6.8)

40、。det(A 入E) 0定理6.3若特征方程(6.8)的根均具有负实部，则方程组(6.7)的零解是渐近稳定的。 若特征方程(6.8)具有正实部的根，则方程组(6.7)的零解是不稳定的。若特征方程(6.8) 没有正实部的根，但有零根或具零实部的根，则方程组(6.7)的零解可能是稳定的也可能是不稳定的，这要看零根或具零实部的根其初等因子的次数是否等于1而定。定理6.4设给定常系数的n次代数方程a0 貝a-i£ 1a2其中a。0，作行列式1a1 , 2a1ao00a3a2a10na2n 1a2n 2a2n 3a2n 4a1a。0a1 a0,3a3a2a1a?a5a4a3an 1 入 an0

41、an n 1，这里 ai 0,( i n)。那么，所给代数方程的一切根均有负实部的充分必要条件是下列不等式同时成立:a°0，1 0，2 0，, n 1 0， n 0。注意：这是霍维兹（Hurwitz ）定理，用来判别代数方程根的实部是否均为负。方法2 一次（线性）近似系统稳定性判定若非线性微分方程组dxAx R（x）（ 6.9）dt满足条件卑単0，当|x|0时。lxl显然x 0是方程组（6.9）的解。方程组（6.9）对应的线性方程组dx Ax（ 6.7）dt称为方程组（6.9）的一次近似系统（或线性近似系统）。定理6.5 若特征方程（6.8）没有零根或零实部的根，则非线性方程组（6.

42、9）的零解的稳定性与其线性近似系统（6.7）的零解的稳定性态一致。这就是说，当特征方程（6.8）的根均具有负实部时方程组（6.9）的零解是渐近稳定的，而当特征方程具有正实部的根时，其零解是不稳定的。方法3李雅普诺夫第二方法（V函数法）不必求出方程组的解，而通过构造一个具有特殊性质的函数V（x）（李雅普诺夫函数或V函数）及其通过方程组的全导数dV（x）的性质，来确定方程组解的稳定性。这种方法称dt为李雅普诺夫第二方法。以下两个定理是这个方法的具体实现。定理6.6 （李雅普诺夫稳定性定理）对于微分方程组dx不 f(x),f(0) 0(6.4)如果有定正函数V（x）,-J /其通过（6.4 ）的全导

43、数d-为常负函数或恒等于零，则方程组dt（6.4）的零解是稳定的;如果有定正函数V（x），其通过（6.4）的全导数dV为定负函数，则方程组（6.4）的dt零解是渐近稳定的;如果存在函数 V（x）和某非负常数，而通过（6.4）的全导数咚可以表示为dtdVdtV W（x），且当0时W为定正函数，而当0时W为常正函数或恒等于零;又在x0的任意小邻域内都至少存在某个x，使V（X）0，则方程组（6.4）的零解是不稳定的。定理6.7如果存在定正函数 V（X），其通过（6.4）的全导数竺为常负函数，但使得6.4 ）的整条正半轨线，则方程对于二阶驻定微分方程组（6.3），dt在0的点x的集合中除零解之外并不包

44、含方程组（ dt组（6.4）的零解是渐近稳定的。3）极限环存在性定理定理6.8 （庞加莱一班狄克生（bendixson ）环域定理） 设其右端函数X,Y在相平面的某区域 G内有一阶连续偏导数。如果G内存在有界的环形闭域D，在其内不含有方程组 （6.3）的奇点，而（6.3）的经过域D上点的解x x（t）, y y（t），当t t。（或t t。）时不离开该域，则或者其本身是一个周期解（闭轨线），或者它按正向（或负向）趋近于 D内的某一周期解（闭轨线）。X y定理6.9（班狄克生准则）如果于G内存在单连通域 D*，在其内函数不变x y号且在D*内的任何子域上不恒等于零，则方程组（6.3）在域D*内不

45、存在任何闭轨，更不存在任何极限环。定理6.10 对于林纳得（Lie nerd）方程组dxy F(x)dt(6.10)dy g(x)dtx其中F(x) q f (x)dx。假设a) f (x)及g(x)对一切x连续，g(x)满足局部利普希兹条件；b) f (x)为偶函数，f(0) 0, g(x)为奇函数，当x 0时，xg(x) 0 ；c) 当x时，F(x)，F(x)有唯一正零点 x a，且对x a， F(x)是单调增加的，那么，方程组(6.10)有唯一、稳定的极限环。第六章 非线性微分方程和稳定性 教学目标 1. 理解解的稳定性、零解稳定性及零解渐进稳定性的概念。2. 掌握平面初等奇点的分类方法。3. 了解拟线性近似决定微