立体几何复习讲义全解

1、圆梦教育1对1个性化辅导讲义学员姓名学校年级及科目教师课题空间点、直线、平面之间的位置关系授课时间教学目标掌握平面的基本性质，在充分理解本讲公理、推论的基础上结合图形理解点、线、面的位 置关系及等角定理.教学内容【基础知识回顾】1.平面的基本性质公理1:如果一条直线上的在一个平面内，那么这条直线在此平面内.公理2 :过的三点，有且只有一个平面.公理3 :如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们过该点的公共直线.2直线与直线的位置关系(1) 位置关系的分类©面盲基相交直线；同一平面內，有且只有一个公共点； 龙(平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线；不同在任何一个平面内.没有公共

2、点。(2) 异面直线所成的角 定义：设a, b是两条异面直线，经过空间任一点0作直线a / a, b / b,把a与b 所成的锐角或直角叫做异面直线a, b所成的角(或夹角).(it 1 范围：0, 1.1 23直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况.4.平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况.5平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.6等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.【方法指导】两种方法异面直线的判定方法：(1)判定定理：平面外一点 A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线.（2）反证法：证明两线不可能平行、相交或证明

3、两线不可能共面，从而可得两线异面. 三个作用（1）公理1的作用：检验平面；判断直线在平面内；由直线在平面内判断直线上的点在平面内.（2）公理2的作用：公理2及其推论给出了确定一个平面或判断直线共面”的方法.（3）公理3的作用：判定两平面相交；作两平面相交的交线；证明多点共线.【考点自测】1 .下列命题是真命题的是 （）.A. 空间中不同三点确定一个平面B. 空间中两两相交的三条直线确定一个平面C. 一条直线和一个点能确定一个平面D. 梯形一定是平面图形2. 已知a, b是异面直线，直线 c平行于直线a,那么c与b（）.A. 定是异面直线B. 定是相交直线C.不可能是平行直线D.不可能是相交直线

4、3. （2013浙江）下列命题中错误的是（）.A. 如果平面a丄平面3那么平面a内一定存在直线平行于平面3B. 如果平面 a不垂直于平面 3,那么平面a内一定不存在直线垂直于平面3C. 如果平面 a丄平面 y平面3丄平面 Y aCl 3=丨，那么I丄平面 丫D. 如果平面a丄平面3那么平面a内所有直线都垂直于平面34. （2014武汉月考）如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线（）.A. 12 对 B . 24 对 C . 36 对 D . 48 对5. 两个不重合的平面可以把空间分成 部分.6. 给出下列四个命题： 垂直于同一直线的两条直线互相平行； 垂直于同一平

5、面的两个平面互相平行； 若直线I1、12与同一平面所成的角相等，则11、12互相平行； 若直线I1、12是异面直线，则与I1、12都相交的两条直线是异面直线.其中假命题的个数（）A. 1B. 2 C. 3D. 47若三个平面两两相交，有三条交线，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成A. 5部分B. 6部分 C 7部分D. 8部分&如下图所示，点 P, Q R, S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与 RS是异面直线的一个图是(AQSB9.三个不重合的平面可以把空间分成n部分，则n的可能取值为 5.如下图所示，正方体 ABC A1B1C1D仲,(1)求A1C1与B

6、1C所成角的大小； 若E、F分别为AB AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小.【考点探究】考点一例1正方体ABCDBCD中，P、Q R分别是AB AD BC的中点，那么，正方体的过 P Q R的截面图形是().A.三角形B 四边形C 五边形D 六边形方:;匸；律门画几何体的截面，关键是画截面与几何体各面的交线，此交线只需两个公共点即可确定作图时充分利用几何体本身提供的面面平行等条件，可以更快的确定交线的位置.【训练1】下列如图所示是正方体和正四面体,考点二异面直线例2如图所示，AB正方体 ABCDBCD中，M N分别是 AB、BC的中点.问:(1) AM和CN是否是异面直线？说明理由；DB

7、和CC是否是异面直线？说明理由.【训练2】 在下图中，G H M N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH MN是异面直线的图形CD上的点，且例4正方体ABCD-1BGD中，E、F分别是 AB和AA的中点.求证:(1) E、G D、F四点共面;CE DF、DA三线共点.【训练4】 如图所示，已知空间四边形 ABCDK E、H分别是边AB AD的中点，F、G分别是边CF CG 2 CB" CDT 3,求证:三条直线EF GH AC交于一点.【作业】知能演练一、选择题1 .已知a, b是异面直线，直线 c/直线a,则c与bA. 定是异面直线B. 定是相交直线C.不可能是平行直

8、线D.不可能是相交直线2 四面体每相对两棱中点连一直线，则此三条直线A.互不相交B.至多有两条直线相交C.三线相交于一点D.两两相交有三个交点3 .若P是两条异面直线I、m外的任意一点，则A.过点P有且仅有条直线与I、m都平行B.过点P有且仅有条直线与I、m都垂直C.过点P有且仅有条直线与I、m都相交D.过点P有且仅有条直线与I、m都异面4.正四棱柱ABCB ABCD中,AA= 2AB则异面直线 AiB与AD所成角的余弦值为1A. 52B.53C.54 D.5、填空题5.如图所示，在三棱锥 C-ABD中, E、F分别是 AC和 BD的中点，若 CD= 2AB= 4, EF丄ABEF 与 CD所

9、成的角是4个顶点，这些几何体是 .(写出所有正6 在正万体上任意选择 4个顶点，它们可能是如下各种几何体的 确结论的编号). 矩形 不是矩形的平行四边形 有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体 每个面都是等边三角形的四面体 每个面都是直角三角形的四面体三、解答题7 有一矩形纸片ABCD AB= 5, BC= 2, E, F分别是 ABCD上的点，且 BE= CF= 1，如下图现在把纸片沿EF折成图形状，且/ CFD= 90 °DF CAE B口CAE(1) 求BD的距离；(2) 求证：AC BD交于一点且被该点平分.高考模拟预测1.正方体ABCB ABCD的棱上到异面

10、直线 AB CC的距离相等的点的个数为A. 2B. 3C. 4D. 52. 已知三棱柱 ABC-ABC的侧棱与底面边长都相等，A在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线 AB与B. 543D.4CC所成的角的余弦值为A. C.47 3已知正四棱柱 ABCDAiBiCD中，AA = 2AB, E为AA中点，则异面直线 BE与CD所成角的余弦值为4A.1010B.5D.4 空间四边形 ABC中，各边长均为1,若BD= 1，则AC的取值范围是立体几何知识点:1、柱、锥、台、球的结构特征（1）棱柱:几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截

11、 面是与底面全等的多边形。（2）棱锥几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。（3）棱台：几何特征：上下底面是相似的平行多边形侧面是梯形侧棱交于原棱锥的顶点（4） 圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转，其余三边旋转所成几何特征：底面是全等的圆；母线与轴平行；轴与底面圆的半径垂直；侧面展开图是一个矩形。（5） 圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴，旋转一周所成几何特征：底面是一个圆；母线交于圆锥的顶点；侧面展开图是一个扇形。（6） 圆台：定义：以直角梯形的垂直与底边的腰为旋转轴，旋转一周所成几何特征：上下底面是两个圆；侧

12、面母线交于原圆锥的顶点；侧面展开图是一个弓形。几何特征：球的截面是圆;（7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体球面上任意一点到球心的距离等于半径。4、柱体、锥体、台体的表面积与体积（1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。（2） 特殊几何体表面积公式（c为底面周长，h为高，h为斜高，I为母线）S直棱柱侧面积=chS圆柱侧二2二rh S正棱锥侧面积ch'2S圆锥侧面积=rl1 (S正棱台侧面积=2 (ci c2) hS圆柱表=2二r r I(3)柱体、锥体、台体的体积公式2V柱=ShV圆柱=Sh =二 rS圆台侧面积-(r R)二1S圆锥表二-T r

13、 1S圆台表-： r2 rl RlR2V台 J(s' + Js'S +S)hV圆台3(4)球体的表面积和体积公式：1hV锥Sh3= ；（s'、SS S）h二V 球=tjiR331 2 V圆锥=-r h31 2 2二（r2 rR R2）h 32；S球面=4二R圆锥1、平面及基本性质 公理 1 A 三 I, B ：= I, A 三：£, B : =T 二：: 公理 2 若 P 三：；，P ：=,则:-":=a 且 P e .：公理3不共线三点确定一个平面(推论 1直线和直线外一点,2两相交直线,3两平行直线)2、空间两直线的位置关系共面直线：相交、平行(

14、公理4)异面直线3、异面直线(1) 对定义的理解：不存在平面：，使得a二：且b =:(2) 判定：反证法(否定相交和平行即共面)( 3)求异面直线所成的角：平移法即平移一条或两条直线作出夹角，再解三角形向量法 cosB =| cos <a, b a|=丨$ 21|a|b|(注意异面直线所成角的范围(吒)(4)证明异面直线垂直，通常采用三垂线定理及逆定理或线面垂直关系来证明;向量法 a _ b ：= a 2=0(5)求异面直线间的距离：大纲仅要求掌握已给出公垂线或易找出公垂线的有关问题计算9.2直线与平面的位置关系1、直线与平面的位置关系a - ：ja ： ,a： = A2、直线与平面平行

15、的判定b <Z a（1）判定定理：b/a »二ba （线线平行，则线面平行）a c a/ I-一一（2） 面面平行的性质：=a/ :（面面平行，则线面平行）a u a J3、直线与平面平行的性质a/ 】,a 二"二a/b （线面平行,则线线平行4、直线与平面垂直的判定一 I 丄 G ,（1 ）直线与平面垂直的定义的逆用、二I丄aa匚a J丨丄m, I丄n'（2） 判定定理：m,n= I _（线线垂直，则线面垂直）mn 二 Aa/b '（3）a 丄 a b丄m Jo（丄 0（4） 面面垂直的性质定理：=1丄P （面面垂直，则线面垂直）a u c（, a丄

16、丨（5）面面平行是性质:5、射影长定理 6、三垂线定理及逆定理线垂影=线垂斜9.3 两个平面的位置关系1、 空间两个平面的位置关系相交和平行2、两个平面平行的判定a/o（ b/«1（1） 判定定理：'一./-（线线平行，则面面平行）a,bu E,acb = PI（2）一 ： / ：垂直于同一直线的两个平面平行I -:（3）/ =平行于同一平面的两个平面平行3、两个平面平行的性质(1)(2)面面平行的性质定理:J/Q 咐=a, 一：二 b= a/b （面面平行，则线线平行）(3)性质2: : /卩,丨.I性质 1 ： 、； / I', a ： = a/ '4、两个平面垂直的判定与性质(1)判定定理：a ,a - . = ：.1（线面垂直，则面面垂直）（2）性质定理：面面垂直的性质定理:a丄P （面面垂直，则线面垂直）a 二：；，a _ I 9.4 空间角1、异面直线所成角22、斜线与平面所成的角（0,）2（1）求作法（即射影转化法）：找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足（2）向量法：设平面:-的法向量为n，则直线AB与平面所成的角为二，则|AB n |. 二sin）-：|cos ： AB, n |（0,）I A