数学北师大版选修11 22 最大值最小值问题二 作业1

1、基础达标1.内接于半径为R的半圆中的矩形，周长最大的矩形边长为()A.和R B.R和RC.R和R D. 以上都不对解析：选B.设矩形一边长为x，则另一边长为2，则l2x4(0<x<R)，l2 .令l0，解得x1R，x2R(舍去)当0<x<R时，l>0，当R<x<R时，l<0，当xR时，l取最大值，即周长最大的矩形的边长为R，R.2.某厂生产某种产品x件的总成本：C(x)1 200x3，产品单价的平方与产品件数x成反比，生产100件这样的产品的单价为50元，总利润最大时，产量应定为()A25件 B20件C15件 D30件解析：选A.设产品单价为a元

2、，产品单价的平方与产品件数x成反比，即a2xk，由题知k250 000，则a2x250 000，所以a.总利润y500x31 200(x>0)，yx2.由y0，得x25，当x(0，25)时，y>0；当x(25，)时，y<0，所以x25时，y取最大值3.内接于半径为R的球且体积最大的圆锥的高为()AR B2RC.R D.R解析：选C.设圆锥高为h，底面半径为r，则R2(Rh)2r2，r22Rhh2，Vr2hh(2Rhh2)Rh2h3，VRhh2.令V0得hR或h0(舍去)当0<h<R时，V>0；当<h<2R时，V<0.因此当hR时，圆锥体积最

3、大4.如图，在等腰梯形ABCD中，CD40，AD40，梯形ABCD的面积最大时，AB等于()A40 B60C80 D120解析：选C.设BAD，则AB402×40cos ，梯形高h40sin .从而梯形面积S1 600(1cos )sin .故S1 600(cos cos 2)令S0，得cos 1(舍)，cos ，即，此时AB80，即当AB80时，梯形有最大面积1 200.5.设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V，则其表面积最小时，底面边长为()A. B.C. D2解析：选C.设直棱柱的底面边长为a，高为h.则a2·hV，h.则表面积S(a)3aha2a2.S(a)a.令S

4、(a)0，得a.当0a时，S(a)0；当a时，S(a)0.当a时，S(a)最小6.用总长为14.8 m的钢条制作一个长方体容器的框架，若所制作容器的底面的一边比高长0.5 m，则当高为_米时，容器的容积最大解析：由题意直接列出函数表达式，再用导数求最值，设高为x米，则Vx(x0.5)(3.22x)，V6x24.4x1.60，解15x211x40，得x1，x(舍去)答案：17.电动车是现在比较流行的交通工具之一，电动自行车的耗电量y与速度x之间有如下关系：yx3x240x(x>0)，为使耗电量最小，则速度应为_解析：由yx239x400，得x1或40，由于0<x<40时，y&l

5、t;0；当x>40时，y>0.所以，当x40时，y有最小值答案：408.已知函数f(x)xln x若对于任意x不等式2f(x)x2ax3恒成立，则实数a的取值范围为_解析：由题意知，2xln xx2ax3，则a2ln xx.设h(x)2ln xx(x0)，则h(x)1.当x时，h(x)0，h(x)单调递减；当x(1，e时，h(x)0，h(x)单调递增由h23e，h(e)2e，hh(e)2e40，可得hh(e)所以当x时，h(x)的最大值为h23e.故a23e.答案：23e，)9.一矩形铁皮的长为8 cm，宽为5 cm，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，问小正方

6、形的边长为多少时，盒子容积最大？解：设小正方形的边长为x cm，则盒子底面长为(82x) cm，宽为(52x) cm.V(82x)(52x)x4x326x240x(0<x<)，V12x252x40，令V0，得x1或x(舍去)V极大值V(1)18，在定义域内仅有一个极大值，Vmax18.即小正方形边长为1 cm时，盒子容积最大为18 cm3.10.某商品每件成本5元，售价14元，每星期卖出75件如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数m与商品单价的降价值x(单位：元，0x<9)的平方成正比，已知商品单价降低1元时，一星期多卖出5件(1)将一星期的商品销售利润y表示

7、成x的函数；(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？解：(1)依题意，设mkx2，由已知有5k·12，从而k5.m5x2.y(14x5)(755x2)5x345x275x675(0x<9)(2)y15x290x7515(x1)(x5)由y>0得1<x<5，由y<0得0x<1或5<x<9.可知函数y在0，1)上递减，在(1，5)递增，在(5，9)上递减，从而函数y取得最大值的可能位置为x0或是x5.y(0)675，y(5)800，当x5时，ymax800.所以商品每件定价为9元时，可使一个星期的商品销售利润最大能力提升1.函数ln

8、 xxem2m1对任意的正实数x恒成立，则m的取值范围是()A(，01，) B0，1Ce，2e D(，e)2e，)解析：选A.由题意知em2m1在(0，)上恒成立，设f(x)(x>0)，f(x)，当x(0，e)时，f(x)>0，当x(e，)时，f(x)<0，f(x)最大f(e)，em2m1e1，m2m11，即m2m0，解得m0或m1.2.要做一个底面为长方形的带盖的箱子，其体积为72 cm3，其底面两邻边边长之比为12，那么长为_，宽为_，高为_时，可使表面积最小解析：设体积为V，相邻两边长分别为x cm，2x cm，高为y cm，则V2x2·y，y，S2(2x2x

9、y2xy)4x26xy4x2.S8x，令S0，得x3.长为6 cm，宽为3 cm，高为4 cm时可使表面积最小答案：6 cm3 cm4 cm3.已知f(x)2ax，是否存在正数a，使对任意x1，x2，1，|f(x1)f(x2)|<1都成立？解：f(x)2a，x，1，a>0，f(x)>0，即f(x)在上是增函数f(x)的最大值为f(1)2a1，f(x)的最小值为fa4.由已知，得得a<2，与a是正数矛盾，故不存在这样的正数a.4. 如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2，短半轴长为1，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上，记|CD|2x，梯形的面积为S.(1)求面积S以x为自变量的函数解析式，并写出其定义域；(2)求面积S的最大值解：(1)依题意，以AB的中点O为原点，AB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则点C(x，y)满足方程x21，且x>0，y>0，y2(0<x<1)S(2x2)·22(x1)(0<x<1)(2)令f(x)S24(x1)2(1x2)(0<x