《数值计算方法》精彩试题集及问题详解

1、计算方法期中复习试题、填空题:1、已知f(1)LO,f(2)1.2,f(3)1.3,则用辛普生(辛卜生)公式计算求得31f(x)dx，用三点式求得f答案：2.367,0.252、f(1)1,f(2)2,f(3)1,则过这三点的二次插值多项式中x2的系数为拉格朗日插值多项式为答案：-1,11L2(x)-(x2)(x3)2(x1)(x3)-(x1)(x2)3、近似值x0.231关丁真值x0.229有(2)位有效数字;4、设f(x)可微,求方程xf(x)的牛顿迭代格式是();xnfg)xn1xn答案1f(xn)5、对f(x)x3x1,差商f0,1,2,3(1)f0,1,2,3,4),0)；6、计算方

2、法主要研究(截断)误差和(舍入)误差；n次后的误差限为7、用二分法求非线性方程f(x)=0在区间(a,b)的根时，二分)；8、已知f(1)=2,f(2)=3,f(4)=5.9,则二次Newton插值多项式中x2系数为(0.15);11、两点式局斯型求积公式1i1.310f(x)dx.(0f(x)dx；f(E)、，31f(23),代数精度为(5);1012、为了使计算4(x1)26(x1)3的乘除法次数尽量地少,应将该表,y10达式改写为(3(4,为了减少舍入误差，应将表达式*2001V1999改写为2001.199913、用二分法求方程f(x)x3x10在区间0,1的根,进行一步后根的所在区间

3、为14、0.5,1，进行两步后根的所在区间为0.5,0.75。1计算积分0.5、xdx,取4位有效数字。用梯形公式计算求得的近似值为0.4268,用辛卜生公式计算求得的近似值为0.4309，梯形公式的代数精度为1,辛卜生公式的代数精度为3。15、设f(0)0,f(1)16,f(2)46,则li(x)li(x)x(x2)_,f(x)的二次牛顿16、17、18、插值多项式为N2(X)16x7x(x1)。a求积公式bf(x)dx有(2n1nAkf(xk)k0的代数精度以(高斯型)求积公式为最高，具)次代数精度。已知f(1)=1,f(3)=5,f(5)=-3，用辛普生求积公式求51f(x)dx-(12

4、)。设f(1)=1,f(2)=2,f(3)=0,用三点式求xx40在区间(2.5)。1,2的根精确到三位小数，需对分(10)次。3xS(x)132(x1)a(x1)b(x1)20、已知2a=(3),b=(3),c=(21、l0(x),l(x),ln(x)是以整数点x。*,xnnlk(x)nxklj(xk)k0(1),k0n(X：xC3)lk(x)42k0(xx3)022、区间数。a,b上的三次样条插值函数S(x)在23、改变函数f(x)°x1Jx(xfx119、如果用二分法求方程13x3是三次样条函数，则1为节点的Lagrange插值基函数，则a,b上具有直到2阶的连续导1)的形式，

5、使计算结果较精确24、若用二分法求方程f次Sx25、设2x3,0x3ax2xbx.00在区间1,2的根，要求精确到第3位小数，则需要对分01c,1x2是3次样条函数，则a=3,b=-3,c=1。26、若用复化梯形公式计算°e弓'，要求误差不超过106,利用余项公式估计，至少用477个求积节点。27、若f(x)3x42x1,则差商f2,4,8,16,323。1,2,f(x)dx-f(1)8f(0)f(1)28、数值积分公式19的代数精度为2。选择题1、三点的高斯求积公式的代数精度为(B)A.2B.5C.3D.42、舍入误差是(A)产生的误差。A.只取有限位数B.模型准确值与用数

6、值方法求得的准确值C.观察与测量D.数学模型准确值与实际值3、3.141580是兀的有(B)位有效数字的近似值。A.6B.5C.4D.74、用1+x近似表小ex所广生的误差是(C)误差。A.模型B.观测C.截断D.舍入x5、用1+3近似表示手厂飞所产生的误差是(D)误差。A.舍入B.观测C.模型D.截断6、-324.7500是舍入得到的近似值，它有(C)位有效数字。A.5B.6C.7D.87、设f(-1)=1,f(0)=3,f(2)=4,则抛物插值多项式中x2的系数为(A)。A.-0.5B.0.5C.2D.-28、三点的高斯型求积公式的代数精度为(C)。A.3B.4C.5D.29、(D)的3位

7、有效数字是0.236X102。(A)0.0023549X103(B)2354.82X10-2(C)235.418(D)235.54X10-110、用简单迭代法求方程f(x)=0的实根,把方程f(x)=0表示成x=(x),则f(x)=0的根是(B)。(A)y=(x)与x轴交点的横坐标(C)y=x与x轴的交点的横坐标(B)y=x与y=(x)交点的横坐标(D)y=x与y=(x)的交点11、拉格朗日插值多项式的余项是(B)，牛顿插值多项式的余项是(C)(A)f(x,x0,x1,x2,xnX(X)(xx2)-(xxn1)(xxn),Rn(x)f(x)(B)f(n1)()R(x)(n1)!(C)f(x,x

8、0,x1,x2,xn)(x)(xx1)(xx2)-(xxn1)(xxn),f(n1)()Pn(x)Mn1(x)(n1)!Rn(x)f(x)(D)12、用牛顿切线法解方程f(x)=0，选初始值x0满足(A)，则它的解数列xnn=0,1,2,一定收敛到方程f(x)=0的根。(A)f(x°)f(x)0(B)f(x°)f(x)0(C)f(x°)f(x)0(D)f(x°)f(x)013、为求方程x3x2-1=0在区间1.3,1.6的一个根，把方程改写成下列形式，并建宜相应的迭代公式，迭代公式不收敛的是(A)。2x(A)1，迭代公式：xk1x11xk1x(B)12x

9、k3(C)xx2,迭代公式:xk1(12、1/3xk)3x(D)x2,迭代公式：xk12xkbaf(x)dx14、在牛顿-柯特斯求积公式：公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当(使用。(1)n8,(2)n7,(3)n10,23、有下列数表(ba)Ci(n)f(xi)(n)0中，当系数Ci是负值时,)时的牛顿-柯特斯求积公式不x00.511.5212.5f(x)-2-1.75-10.2524.25(4)n6,o(4)五次所确定的插值多项式的次数是(1)二次；(2)三次；731.732计算x(必1)15、取(3)四次；,下列方法中哪种最好？(16(A)2816出;S(x)26、已知(B)(42&

10、#39;3)2；3x32(x1)3a(x2)(C)0b2(423)2；2_16_(D)(31)4。(A)6,6;(B)6,8;(C)8,6;(D)8,8。16、由下列数表进行Newton插值，所确定的插值多项式的最高次数是(xi11.522.533.5f(xi)-10.52.55.08.011.5(A)5；(B)4;(C)3；(D)2017、形如bf(x)dxA1f(x1)aA2f(x2)A3f(x3)的局斯(Gauss)型求积公式的代数精度为()(A)9;(B)7;(C)5;(D)3018、计算V3的Newton迭代格式为()xk3xk3xk2xk3xk1(A)xk12xk；(B)22xk；

11、(C)k12xk1xk；(D)3xk0100在区间1,2】的实根，-10319、用二分法求方程x4x对分次数至少为()要求误差限为2,则(A)10;(B)12;(C)8;(D)9。9kli(k)(A)5;(B)4;(C)6;(D)3。3x0x2S(x)八3，fb221、已知2(x1)a(x2)x4是三次样条函数，则a，b的值为()(A)6,6;(B)6,8;(C)8,6；(D)8,8。35、已知方程x32x50在x2附近有根，卜列迭代格式中在x。2不收敛的是i；()(C)至少具有(D)1。)次代数精度(A)x;(B)k;33、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式,Q1L，9)为节点的20、设li(x

12、)是以xkk(kLagrange插值基函数，则(B)xk(D)2x3523xk2卜ox0|1234f(x)1243-5Xk1(A)Xk122、由下列数据奴5.253xk；(C)xk1xkxk5；确定的唯一插值多项式的次数为()(A)4;(B)2;(C)1;(D)3。23、5个节点的Gauss型求积公式的最高代数精度为()(A)8;(B)9;(C)10;(D)11o三、是非题(认为正确的在后面的括弧中打，否则打)n次拟合多项式Pn(x)时,1、已知观察值(xi，yi)(i°"，2，'m),用最小二乘法求Pn(x)的次数n可以任意取。2、用1-2近似表示cosx产生舍入

13、误差。(xX0)(XX2)3、（X1X0）（XiX2）表示在节点X1的二次（拉格朗日）插值基函数。（4、牛顿插值多项式的优点是在计算时，高一级的插值多项式可利用前一次插值的结果。5、矩阵A=311253125具有严格对角占优。四、计算题:1、求A、B使求积公式11f(X)dXAf(rr1r11)f(1)Bf()f()/2刀的代数精度尽量高，并求其代数精度；利用此公式求】dXX（保留四位小数）。2A2A2B2Bg，B81f（x）dx求积公式为11)f(1)2)1f(-)当f（x）X23时，公式显然精确成立；当f(x)2时，左=5,1右=3。所以代数精度为3。2x1dt【1t3913811391/

14、23970.692861402、已知Xif(Xi)2654分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求f(X)的三次插值多项式P3(X),并求f(2)的近似值(保留四位小数)。(X3)(X4)(x5)(x1)(x4)(x5)L3(x)26:案(13)(14)(15)(31)(34)(35)(x1)(x3)(x5)(x1)(x3)(x4)54(41)(43)(45)(51)(53)(54)差商表为Xiyi一阶均差二阶均差三阶均差1236245-1-154-10141P3(x)N3(x)22(x1)(x1)(x3)-(X1)(x3)(x4)4f(2)P3(2)5.55、已知Xi-2-1012f(Xi)421

15、35求f(x)的二次拟合曲线P2(X)，并求f(0)的近似值答案：解：iXiyi2Xi3Xi4XiXiyi2Xiyi0-244-816-8161-121-11-2220100r0P003131113342548161020015100343415a。10a21510a13正规方程组为10a。34a241/、103P2(x)=X710112一X1410a0,a1,、3P2(X)103，a21011一X71114f(0)p2(0)106、已知sinx区间0.4,0.8的函数表xi0.40.50.60.70.8Yi0.389420.479430.564640.644220.71736如用二次插值求s

16、in0.63891的近似值，如何选择节点才能使误差最小？并求该近似值。答案：解：应选三个节点，使误差M3|R2(X)|侦3(X)|尽量小，即应使13(X)|尽量小，最靠近插值点的三个节点满足上述要求。即取节点0.5，0.6,0.7最好，实际计算结果Sin0.638910.596274,Sin0.638910.59627413!(0.638910.5)(0.6389190.6)(0.638910.7)X7、构造求解万程e10X20的根的迭代格式Xn1(Xn),n0,1,2,讨论其收敛性，并将根求出来，|xn1xn|1040答案：解：令f(x)ex10x2,f(0)20,f(1)10e0.40.5

17、503210且f(x)ex100对x(),故f(x)0在(0,1)有唯一实根.将方程f(x)°变形为则当x(0,1)时x(2e)10(x)110(2ex)1(x)lxe1031故迭代格式xn1(2e'n10)收敛。取X。0.5,计算结果列表如下:n0123xn0.50.1278720.0964247850.877325n4567xn0.0905959930.0905173400.0905259500.0905250086且满足|x7x6|0.0000009510所以x0.09052500810、已知下列实验数据xi1.361.952.16f(xi)16.84417.37818

18、.435试按最小二乘原理求一次多项式拟合以上数据1解：当0<x<1时，f(X)ex,则f(x)e,且0edx有一位整数.要求近似值有5位有效数字，只须误差R1(f)210.R(n)(ba)3R(n)(ex)e12n2e12n210即可，解得e10267.30877所以n68,因此至少需将0,168等份。12、取节点x00，x10.5,X21,求函数f(x)ex在区间0,1上的二次插值多项式P2（X）,解:并估计误差OPz(x)e(x0.5)(x1)(00.5)(01)0.5e(x0)(x1)(0.50)(0.51)(x0)(x0.5)f(x)ex,f(10)(10.5)一05_1_

19、0.5)(x1)4e.x(x1)2ex(x0.5)2(x(x)ex,M3max|f(x)|x0,11故截断误差x|R2(x)|e1P2(x)|3|x(x0.5)(x1)|o14、给定方程f（x）(x1)ex11）分析该方程存在几个根;2）用迭代法求出这些根，精确到5位有效数字;3）说明所用的迭代格式是收敛的解：1）将方程(x1)ex(1)改写为作函数f1（x）1f2(x)的图形(略)(2)有唯一'根x(1,2)o构造迭代格式xk1x。11.5xkek(k0,1,2,)计算结果列表如下:k123456789xk1.223131.294311.27409)1.279691.278121.2

20、785>61.278441.278471.278463)(x)1e(x)ex当x1,2时,(x)(2),(1)1I(x)|e11所以迭代格式Xk1(xk)(k0,1,2,)对任意Xo1,2均收敛。15、用牛顿(切线)法求后的近似值取xo=1.7,计算三次，保留五位小数。解：后是f(x)x230的正根,f(X)2x牛顿迭代公式为x23xn1xnxn1壹京(n°,1,2)n123xn1.732351.732051.732052xn取xo=1.7,列表如下:16、已知f(-1)=2,f(1)=3,f(2)=-4,求拉格朗日插值多项式L2(x)及f(1,5)的近似值,取五位小数。解:L

21、2(x)2(x1)(x2)(11)(13(x1)(x2)4(x1)(x1)2)(11)(12)(21)(21)*1)(x342)-(x1)(x2)-(x1)(x1)23,1f(1.5)L2(1.5)0.041672417、n=3,用复合梯形公式求1e'dx0的近似值(取四位小数)，并求误差估计。:e'dxT3Me。解：023132(e231e)e1.7342f(x)ex,f(x)(x)Ie|R|exT3Ie1232e0.0250.05108至少有两位有效数字。xi1925303820、(8分)用最小二乘法求形如y2a成的经验公式拟合以下数据:解:Atyi19.032.349.0

22、73.3一2】span(1,x)111119.032.349.073.3Ty192解方程组252312382AtACAtyAtA其中4339133913529603ATy173.6179980.7C解得：0.92555770.0501025所以0.9255577,b0.05010251exdx0e时，试用余（或复化Simpson公式）计算Simpson公式）计算出该积分的近似解：明门|"，（）112h7T(8)-f(a)2f(xk)f(b)2k18的复化梯形公式n8的复化梯形公式（或复化21、（15分）用n项估计其误差。用值。土e0116110.0013027682(0.882496

23、90.77880080.606530660.53526140.472366550.41686207)0.367879470.63294343,22、（15分）万程xx10在x1.5附近有根，把方程写成三种不同的等价形式(DMx1对应迭代格式1x31对应迭代格式xn13x1、n1vXn1;（2）Vx对应迭代格式x31。判断迭代格式在x01.5的收敛性,1;.xn;（3）选一种收敛格解：（1）1.5附近的根，精确到小数点后第三位。1、2（x）-（x1）33，(1.5)0.181,故收敛;(3)选择(x)(x)3x2112x2x,(1.5)(1.5)31.52(1)：x。1.5x1x51.32476

24、25、数值积分公式形如0.171,故收敛;1.3572x2x61.324721,故发散。1.3309x31.3259x41.3249?1oxf(x)dxS(x)Af(0)Bf(1)Cf(0)Df度尽量高；(2)设f(x)c4°,1，推导余项公式(1)试确定参数a,b,c,d使公式代数精1oxf(x)dxS(x)R(x)并估计误差。20，B310，D解：将f(x)1,x,x2,x3分布代入公式得：AH3W)5)构造Hermite插值多项式H3(x)满足H3(xi)f(xi)'0,1其中x01200,x11则有:1oxH3(x)dxS(x)f(4)()22f(x)H3(x)二rx

25、(x1)R(x)10xf(x)S(x)dx")()4!f(4)(x1)2dx(27、(10分)1f(4)()3,n2.x(x1)dx4!f(4)()1440)4!60已知数值积分公式为:f(x)dxhf(0)f(h)h2f'(0)f'(h)02，试确定积分公式中的参数，使其代数精确度尽量高，并指出其代数精确度的次数。解：f(x)1显然精确成立；f(x)f(x)x时，x2dxhxdx032加h21hh20h212h123.xdxhl4h3112h203h2；4.xdx5h4112h204h3f(x)2hh0h0h02.x时,3.x时,3。"6；112；4.x时

26、，其代数精确度为28、(8分)已知求焰30)的迭代公式为:f(x)所以,1/xk1-(xk)xkx00k0,1,2证明：对一切k1,2,从而迭代过程收敛。1,xk1j(xk，xk次是单调递减的,证明:故对一切a、1八)2xk2k1,2,xkaxkxk-a、ak0,1,2鱼1（1乂。2迭代过程收敛11(11)12所以xk1Xk,即序列Xk是单调递减有下界，从而29、（9分）数值求积公式其代数精度是多少？f（x）dx3f（1）f（2）0是否为插值型求积公式？为什么?解：是。因为f(x)在基点33p(x)dx3f02x2x1p(x)f(1)f(2)1、2处的插值多项式为1221f(2)其代数精度为1

27、。30、（6敛性。分）写出求方程4xcosx1在区间0,1的根的收敛的迭代公式，并证明其收Xn114cosXn，n=0,1,2,1'Xsinx(6分)Xn1-对任意的初值X。0,1,迭代公式都收敛。31、（12分）以100,121,144计误差。用Newton插值方法：差分表:为插值节点，用插值法计算床的近似值，并利用余项估1001012111144120.04761900.0434783-0.000094113611510+0.0476190(115-100)-0.0000941136(115-100)(115-121)=10.72275553f'''x-x8f'''3!135100268115100115121115144156290.00163I32、（10分）用复化Simpson公式计算积分1sinx,dx0x的近似值，要求误差限为Si0.94614588S2124f2f4ff10.94608693S215S20.39310-5S20.94608693sinx或利用余项:3!5!7!9!1575af、4b2!f(4)x94!28805n4f(4)x0.510533、(10分)用Gau