23数学归纳法(第二课时)

1、第二课时第二课时1 1、什么是数学归纳法？、什么是数学归纳法？一、温故知新一、温故知新递推基础不可少归纳假设要用到结论写明莫忘掉2 2、数学归纳法适用于证明与自然数有关的命题、数学归纳法适用于证明与自然数有关的命题(1)(1)证明证明当当n取第一个值取第一个值n0 0( (n0 0N*) )时，时，命题成立命题成立；(2)(2)假设假设nk( (kN*且且kn0 0) )时时命题成立命题成立，证明证明nk1 1时时命题也成立命题也成立( (应用假设证明应用假设证明) )；(3)(3)结论：结论：由由(1)(2)(1)(2)，对于命题从，对于命题从n0 0开始的开始的所有自然数所有自然数n都成立

2、都成立221111(1)1n1_nnaaaaaa、用数学归纳法证明：，在验证 时，左端计算所得项为(A)1(B)1a2(C)1aa23(D)1 aaa 111122 44 66 82n(2n2)nkk1_4(n1)、用数学归纳法证明：时，从 到 时左边需要增添的项为) 2)(1( 41kkC C235n 13nN1 2 22231n 1_kk 1_ 、用数学归纳法证明：当时，是的倍数，当 时，原式为，从 到 时左边需增添的项是4322222145352515522222kkkkk例1.已知数列 计算 ,根据计算的结果,猜想 的表达式,并用数学归纳法进行证明.n nS S1 12 23 34 4

3、S S , ,S S , ,S S , ,S S1 11 11 11 1, , , , , ,1 14 4 4 47 7 7 71 10 0( (3 3n n - -2 2) )( (3 3n n+ +1 1) )n nn n猜想：s =猜想：s =3n+13n+1121324311n1S14412n2SS47713n3SS7 101014SS10 1313当时，当时，当时，当n=4时，.解：下面我们用数学归纳法证明这个猜想。下面我们用数学归纳法证明这个猜想。111S43 1 14 1n（1）当n=1时，左边=，右边=，3n+1猜想成立。猜想成立。（2）假设当）假设当n=k 时猜想成立，即时猜

4、想成立，即*kN )（1111k1 44 77 10(3k2)(3k1)3k1，那么，那么，111111 44 77 10(3k2)(3k1)3(k1)23(k1) 1k3k11+(3k+1)(3k+4)23k4k1(3k1)(k1)(k1)(3k1)(3k4)(3k1)(3k4)(3k4)根据根据(1)和（和（2）,可知猜想对任何可知猜想对任何 都成立。都成立。*nN、用数学归纳法证明：例2)() 1() 13(10372412*Nnnnnn证明：(1)1n 当时,4214412，右边左边等式成立(2)nk假设当时等式成立时则当1 kn2) 1() 13(1037241kkkk即 1) 13

5、)1(1037241k(k)43() 1()1(kkkk)44)(1(2kkk2)2)(1(kk2 11)(1()kk时等式也成立当1kn*Nn可知，对于任何由)2)(1 (等式都成立) 13(kk) 133)(1(kk2) 1( kk( (一一) )利用数学归纳法证明恒等式利用数学归纳法证明恒等式用数学归纳法证明：练习、 . 1) 12()2() 12(4321222222nnnn证：时当1(1)n332122，右边左边等式成立时假设当kn (2)等式成立) 12()2() 12(4321222222kkkk即时则当1 kn22222)22(4321k)484() 144()2(222kkk

6、kkk3522kk) 32)(1(kk 1) 1(2)1(kk时等式也成立当1kn*Nn可知，对于任何由)2)(1 (等式都成立2) 12(k2)2( k2) 12(k22)22() 12(kk) 12(kk整除能被、求证：例1)( 15x*Nnxn整除能被时，当证：111) 1 (xxn时命题成立，假设当kn (2)时，则当1 kn1kxx1xxxxk) 1() 1(xxxk整除，能被由假设得11xxk整除，能被1) 1(xxxk整除能被11) 1(xxxxk时命题也成立当1kn命题都成立可知，对于任何由*Nn(1)(2)命题成立11kx.xxk整除能被即11( (二二) )利用数学归纳法证

7、明整除问题利用数学归纳法证明整除问题整除能被72221132n明：练习、用数学归纳法证证：时当1(1)n时假设当kn (2)时则当1 kn整除能被7命题成立命题成立整除能被即72221132k整除整除能被能被由假设由假设72221132k时，命题也成立时，命题也成立当当1kn*Nn可知，对于任何由(1)(2)命题都成立1322221n222171)1(322221k132kk32132k)221 (2)2221 (23132kkkk313227)2221 (整除整除能被能被又又7273k整除整除能被能被72222123132kk 22211,1 1 2431121 1112132 -11111

8、2211 111121 132 -1212121222(1) 12122(22)()( 2(1) 1)21nnkkkknkkkkkkkkkkkkk 证明：左右，不等式成立.假设时不等式成立，即（） （）（）当时，左 （） （）（） （）（）欲证不等式左 右，只需证 (21)(23)102121112kkkknknN 左 右所以，当时，不等式也成立由、 可知，不等式对恒成立。11,111121321nNnn例3.求证:(） （）（）题型三利用数学归纳法证明不等式问题题型三利用数学归纳法证明不等式问题nnnNn12131211, 1,222 求证：练习、恒成立。，）可知，不等式对）、（由（时，不等式也成立所以，