高数重要资料

1、00020高等数学一资料1.同角三角函数基本关系式倒数关系：商的关系：平方关系：2.两角和的正弦、余弦、正切公式：3.两角差的正弦、余弦、正切公式：4.倍角公式：积化和差公式6.对数函数有下列性质：设a,b,c,x,y为任意正数，（1，c1），为任意实数； ；。5.特殊角的三角函数值7、数列的极限1.定义 设xn是一数列，如果存在常数a，当n无限增大时，xn无限接近于常数a，则称数列 xn 收敛，a是数列 xn 的极限，或者称数列xn收敛于a，记为。如果数列没有极限，就说数列是发散的。例如，发散收敛于0（1）唯一性:每个收敛的数列只有一个极限。（2）有界性: 对数列xn， 若存在正数M，使得一

2、切自然数n, 恒有|xn|M成立, 则称数列xn有界，否则，称为无界。收敛的数列必定有界。注意：有界性是数列收敛的必要条件。8.级数的收敛与发散<1>.当n无限增大时，如果级数的部分和数列Sn有极限S， 即则称无穷级数收敛,这时极限S叫做级数的和,并写成。如果Sn没有极限，则称无穷级数发散 <2>.等比数列:。当|q|1时,收敛当|q|1时发散 当|q|=1时，级数发散特别地，当q=-1时，级数变为-+-+不存在，级数发散。综上<3>设，则（1）（2）如果lim f(x)存在，而c为常数，则如果lim f(x)存在，而n是正整数，则9.极限求法a.多项式与分

3、式函数代入法求极限；b.因式分解法消去零因子求极限及先变形再求极限c.通分法d.利用左右极限求分段函数极限。E。利用洛必达法则求极限，要注意适用条件。10.无穷小的运算性质：（1）在同一过程中，有限个无穷小的代数和仍是无穷小。2）有限个无穷小的乘积也是无穷小。（3）有界变量与无穷小的乘积是无穷小。11.在同一过程中，无穷大的倒数为无穷小；恒不为零的无穷小的倒数为无穷大。12.小结：当，m和n为非负整数时有13. 反映了同一过程中，两无穷小趋于零的速度快慢，但并不是所有的无穷小都可进行比较.（1）如果，就说是比高阶的无穷小，记作=o（）；（2）如果，就说与是同阶的无穷小；特殊地,如果，则称与是等

4、价的无穷小；记作；14.两个重要极限： 15.等价无穷小的替换：常用等价无穷小：当x0时， 16.一切初等函数在其定义区间内都是连续的. 若函数f（x），g（x）在点处连续，则 在点处连续.二>.导数：1.函数f（x）在点处连续必须满足的三个条件：如果上述三个条件中只要有一个不满足，则称函数f（x）在点处不连续（或间断），并称点为f（x）的不连续点（或间断点）。2.跳跃间断点：如果f（x）在点处左、右极限都存在，但，则称点为函数f（x）的跳跃间断点。3.可去间断点：如果f（x）在点处的极限存在，但处无定义则称点为函数f（x）的可去间断点。4. 无穷间断点:如查f（x）在点处的左、右极限至

5、少有一个不存在，或者是无穷大,则称点为函数f（x）的第二类间断点。无穷间断点5、对于任一，都对应着f（x）的一个确定的导数值，这个函数叫做原来函数f（x）的导函数，记作表示曲线y=f（x）在点处的切线的斜率，即 切线方程为： 法线方程为：小结.1.导数的实质：增量比的极限；2.导数的几何意义：切线的斜率；3.函数可导一定连续，但连续不一定可导；4.5.反函数的导数等于直接函数导数的倒数.6.求导数最基本的方法：由定义求导数.小结：初等函数的求导问题1.常数和基本初等函数的导数公式 导函数的和、差、积、商的求导法则：设u=u（x），v=v（x）可导，则即函数的微分dy与自变量的微分dx之商等于该

6、函数的导数，导数也叫“微商”.6.基本初等函数的微分公式： 7.函数和、差、积、商的微分法则：函数f（x）在x0点可导是f（x）在该点可微的充要条件，对于一元函数，两者是等价的。 第四章：1.罗尔定理：如果函数f(x)在闭区间a，b上连续，在开区间（a，b）内可导，且在区间端点的函数值相等，即f(a)=f(b)，那么在（a,b）内至少有一点，使得函数f(x)在该点的导数等于零，即。2.设函数y=f(x)在a,b上连续，在（a,b）内可导:（1）如果在（a,b）内f(x)0，那么函数y=f(x),在a,b上单调增加；（2）如果在（a,b）内f(x)0，那么函数y=f(x)在a,b上单调减少。如何

7、判断其单调性: 导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点方法：用方程f(x)=0的根及f(x)不存在的点来划分函数f(x)的定义区间，然后判断区间内导数的符号3.函数极值的求法：（必要条件）设f(x)在点处具有导数，且在处取得极值，那么必定f()=0。使导数为零的点（即方程f(x)=0的实根）叫做函数f(x)的驻点。注意：可导函数f(x)的极值点必定是它的驻点和不可导点，但函数的驻点却不一定是极值点。（第一充分条件）设函数f(x)在点的一个邻域上连续，在去心邻域上可导。（1）如果，有f(x)0；而，有f(x)0，则f(x)在处取得极大值。（2）如果，有f(x) 0；而，有f(x)0，则

8、f(x)在处取得极小值。（3）如果当及时，f(x)符号相同，则f(x)在处无极值。求极值的步骤:（1）求定义域；（2）求导数f(x)及导数不存在的点；（3）求驻点，即方程f(x)=0的根；（4）检查f(x)在驻点左右的正负号，判断极值点；（5）求极值。（第二充分条件）设f(x)在x0处具有二阶导数，且f()=0，f()0，那么（1）当f()0时，函数f(x)在处取得极大值；（2）当f() 0时，函数f(x)在处取得极小值。4求最值步骤:1.求驻点和不可导点；2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,大的为最大值,小的是最小值；若目标函数只有唯一驻点，则该点的函数值即为所求的最大（或最小

9、）值。5. 如果f(x)在a,b上连续，在（a,b）内具有二阶导数:（1）f(x)0，则f(x)在a,b上的图形是上凹的；（2）f(x)0，则f(x)在a,b上的图形是上凸的。连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点。拐点的求法：拐点只可能是二阶导数为零的点以及二阶导数不存在的点:（1）x0两侧f（x）变号，点（x0,f(x0)）即为拐点；（2）x0两侧f(x)不变号，点（x0,f(x0)）不是拐点。求拐点时要特别注意，拐点为坐标，即（X，Y）形式。6在任意点的弹性记为，它作为x的函数称为y=f(x)的弹性函数，需求价格弹性函数为：第五章：1.结论：微分运算与求不定积分的运算是互逆的。2. 基本积

10、分公式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）；（13）；3.不定积分的性质（1）；（2）（k是常数，k0）如何计算不定积分:方法一,凑微分法,即通过变形等方法化成基本积分公式形式.方法二:三角代换。三角代换的目的是化掉根式。一般规律如下：当被积函数中含有（1）可令x=asint；（2）可令x=atant；（3）可令x=asect。4.凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程。例如：5.微分方程的阶: 微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称之微分方程的阶.6.微分方程的解的分类：（1）通解: 微分方程的解中含有任意常数,且任

11、意常数的个数与微分方程的阶数相同。例y=y，通解y=cex；y+y=0，通解y=c1sinx+c2cosx；（2）特解：确定通解中任意常数以后的解。初始条件：用来确定任意常数的条件。初值问题：求微分方程满足初始条件的解的问题。7.一阶线性微分方程的标准形式：当，上方程称为齐次的；否则称为非齐次线性齐次方程。齐次方程的通解为。非齐次线性微分方程:8.函数f（x）在区间a,b上可积的必要条件是f（x）在a,b上有界。定理2如果f（x）是区间a,b上的连续函数，则f（x）在区间a,b上可积。定理3设函数f（x）在区间a,b上有界，且只有有限个间断点，则f（x）在区间a,b上可积。（1）当a=b时，；

12、（2）当ab时， 。定积分的性质:性质1性质2（k为常数）性质3假设acb性质4性质5如果在区间a,b上f（x）0，则。（ab）性质6设M及m分别是函数f（x）在区间a,b上的最大值及最小值，则性质7（定积分中值定理）:如果函数f（x）在闭区间a,b上连续，则在积分区间a,b上至少存在一个点，使 。9.积分上限函数的性质:如果f（x）在a,b上连续，则积分上限的函数在a,b上具有导数，且它的导数是10.牛顿莱布尼茨公式:如果F（x）是连续函数f（x）在区间a,b上的一个原函数，牛顿莱布尼茨公式:表明：一个连续函数在区间a,b上的定积分等于它的任意一个原函数在区间a,b上的增量。由求定积分问题转

13、化为求原函数的问题。11.当f（x）在-a,a上连续，且有f（x）为偶函数，则；f（x）为奇函数，则。12.设函数u（x）、v（x）在区间a,b上具有连续导数，则有。小结1、采用换元法，要注意换元就要换限2、对于对称区间上的定积分，要观察其奇偶性。3、一个重要内容：积分上限函数。4、定积分的换元积分法会用到证明题中13.设函数f（x）在区间a,+）上连续，取ba,如果极限存在，则称此极限为函数f（x）在无穷区间a,+）上反常积分，记作。当极限存在时，称反常积分收敛；当极限不存在时，称反常积分发散。类似地，设函数f（x）在区间（-，b上连续，取ab，如果存在，则称此极限为函数f（x）在无穷区间（

14、-，b上反常积分，记作。当极限存在时，称反常积分收敛；当极限不存在时，称反常积分发散.第六章：1、多元函数的定义:设D是平面上的一个点集，如果对于每个点P（x,y）D，变量z按照一定的法则总有确定的值和它对应，则称z是变量x,y的二元函数，记为z=f（x,y）（或记为z=f（P）当n2时，n元函数统称为多元函数。多元函数中同样有定义域、值域、自变量、因变量等概念.2多元函数的连续性定义: 设二元函数f（P）的定义域为点集D，p0且p0D，如果 则称二元函数f（P）在点P0处连续。一般地，求时，如果f（P）是初等函数，且P0是f（P）的定义域内的点，则f（P）在点P0处连续，于是。3设函数z=f

15、（x,y）在点（x0,y0）的某一邻域内有定义，当y固定在y0而x在x0处有增量x时，相应地函数有增量。如果存在，则称此极限为函数z=f（x,y）在点（x0,y0）处对x的偏导数，记为偏导数.4函数z=f（x,y）的二阶偏导数为纯偏导混合偏导定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数。5.定理:多元函数的各偏导数存在并不能保证全微分存在,如果函数z=f（x,y）的偏导数存在，且在点（x,y）连续，则该函数在点（x,y）可微分。记全微分为计算结果要记得加上DX，DY.全微分的定义可以推广到三元及三元以上函数:。6链式法则：定理如果函数都在点t可导，函数z=f（u,v）在对应点（u,v）具有连续

16、偏导数，则复合函数在对应点t可导，则：7.二元函数极值的定义:设函数z=f（x,y）在点（x0,y0）的某邻域内有定义，对于该邻域内异于（x0,y0）的点（x,y）：若满足不等式f（x,y）f（x0,y0），则称函数在（x0,y0）有极大值；若满足不等式f（x,y）f（x0,y0），则称函数在（x0,y0）有极小值；极大值、极小值统称为极值。使函数取得极值的点称为极值点。8.多元函数取得极值的条件:（必要条件）设函数z=f（x,y）在点（x0,y0）有偏导数，且在点（x0,y0）处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：fx（x0,y0）=0，fy（x0,y0）=0<充分条件）:设函数z=f（x,y）在点（x0,y0）的某邻域内连续，有一阶及二阶连续偏导数，又fx（x0,y0）=0, fy（x0,y0）=0,令fxx（x0,y0）=A，fxy（x0,y0）=B,fyy（x0,y0）=C,。则f（x,y