北师大版必修2精品讲学案：第二章2.2圆与圆的方程

1、精选优质文档-倾情为你奉上第1课时圆的标准方程 核心必知1圆的定义平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆，定点就是圆心，定长就是半径2圆的标准方程(1)圆心为(a，b)，半径是r，圆的标准方程是(xa)2(yb)2r2.(2)当圆心在原点时，圆的方程为x2y2r2.3中点坐标A(x1，y1)，B(x2，y2)的中点坐标为.问题思考1若圆的标准方程为(xa)2(yb)2t2(t0)，那么圆心坐标是什么？半径呢？提示：圆心坐标为(a，b)，半径为|t|.2由圆的标准方程可以得到圆的哪些几何特征？提示：由圆的标准方程可以直接得到圆的圆心坐标和半径讲一讲1写出下列各圆的标准方程(1)圆心在原点

2、，半径为8；(2)圆心在(2,3)，半径为2；(3)圆心在(2，1)且过原点尝试解答设圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2.(1)圆心在原点，半径为8，即a0，b0，r8，圆的方程为x2y264.(2)圆心为(2,3)，半径为2，即a2，b3，r2，圆的方程为(x2)2(y3)24.(3)圆心在(2，1)且过原点，a2，b1，r.圆的方程为(x2)2(y1)25.直接法求圆的标准方程，关键是确定圆心坐标与半径，结合圆的几何性质可简化计算过程练一练1求满足下列条件的圆的标准方程(1)圆心为(2，2)，且过点(6,3)；(2)过点A(4，5)，B(6，1)且以线段AB为直径；(3)圆心在直线x2

3、上且与y轴交于两点A(0，4)，B(0，2)解：(1)由两点间距离公式，得r，所求圆的标准方程为(x2)2(y2)241.(2)圆心即为线段AB的中点，为(1，3)又|AB|2，半径r.所求圆的标准方程为(x1)2(y3)229.(3)由圆的几何意义知圆心坐标(2，3)，半径r，圆的方程为(x2)2(y3)25.讲一讲2已知两点P1(3,6)，P2(1,2)，求以线段P1P2为直径的圆的方程，并判断点M(2,2)，N(5,0)，Q(3,2)在圆上，在圆内，还是在圆外？尝试解答由已知得圆心坐标为C(1,4)，圆的半径r|P1P2|2.所求圆的方程为(x1)2(y4)28.(21)2(24)258

4、，(51)2(04)2328，(31)2(24)28，点M在圆内，点N在圆外，点Q在圆上判定点M(x0，y0)与圆C：(xa)2(yb)2r2的位置关系，即比较|MC|与r的关系：若点M在圆C上，则有(x0a)2(y0b)2r2；若点M在圆C外，则有(x0a)2(y0b)2r2；若点M在圆C内，则有(x0a)2(y0b)2r2.练一练2已知点A(1,2)在圆C：(xa)2(ya)22a2的内部，求实数a的取值范围解：点A在圆内部，(1a)2(2a)22a2，2a50，a，a的取值范围是.讲一讲3求圆心在直线l：2xy30上，且过点A(5,2)和点B(3，2)的圆的方程尝试解答法一：设圆的方程为

5、(xa)2(yb)2r2，则解得圆的方程为(x2)2(y1)210.法二：圆过A(5,2)，B(3，2)两点，圆心一定在线段AB的垂直平分线上，线段AB的垂直平分线方程为y(x4)，由解得即圆心C的坐标为(2,1)r|CA|.所求圆的方程为(x2)2(y1)210.用待定系数法求圆的标准方程的一般步骤：(1)设出圆的标准方程(2)根据条件得关于a，b，r的方程组，并解方程组得a，b，r的值(3)代入标准方程，得出结果练一练3求圆心在直线5x3y8上，且圆与两坐标轴都相切的圆的方程解：设所求圆方程为(xa)2(yb)2r2.圆与两坐标轴相切，圆心满足ab0或ab0，又圆心在直线5x3y8上，5a

6、3b8.解方程组或得或圆心坐标为(4,4)或(1，1)可得半径r|a|4或r|a|1.所求圆方程为(x4)2(y4)216或(x1)2(y1)21.已知实数x，y满足(x2)2y23，求x2y2的最大值和最小值巧思x2y2可以看成圆(x2)2y23上的点到原点的距离的平方妙解方程(x2)2y23表示以(2,0)为圆心，为半径的圆，x2y2表示圆上的点到原点距离的平方，由平面几何知识知在原点与圆心连线与圆的两个交点处分别取得最大值和最小值，又圆心到原点的距离为2，半径为，故(x2y2)max(2)274.(x2y2)min(2)274.1圆心为点(3,4)且过点(0,0)的圆的方程是()Ax2y

7、225 Bx2y25C(x3)2(y4)225 D(x3)2(y4)225解析：选C半径r5，圆的方程是(x3)2(y4)225.2点A(1,1)在圆(xa)2(ya)24的内部，则a的取值范围是()A1a1 B0a1Ca1或a1 Da±1解析：选A点A(1,1)在圆(xa)2(ya)24的内部(1a)2(1a)24，解得1a1.3已知一圆的圆心为点(2，3)，一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上，则此圆的方程是()A(x2)2(y3)213 B(x2)2(y3)213C(x2)2(y3)252 D(x2)2(y3)252解析：选A设直径两端点为A(x,0)，B(0，y)，则圆心(2

8、，3)为直径中点，即A(4,0)，B(0，6)r|AB|×.圆的标准方程为(x2)2(y3)213.4圆C：(x2)2(y1)2r2(r0)的圆心C到直线4x3y120的距离为_解析：由圆C的方程知圆心C的坐标为C(2，1)，再由点到直线的距离公式得：d.答案：5圆心在y轴上，半径为5，且过坐标原点的圆的标准方程为_解析：由题意可设圆的方程为x2(yb)225.则将(0,0)坐标代入，得b225，b±5.所求圆的方程为x2(y5)225或x2(y5)225.答案：x2(y5)225或x2(y5)2256如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2,0)，AB边所在直线的方程

9、为x3y60，点T(1,1)在AD边所在直线上(1)求AD边所在直线的方程；(2)求矩形ABCD外接圆的方程解：(1)因为AB边所在直线的方程为x3y60，且AD与AB垂直，所以直线AD的斜率为3.又因为点T(1,1)在直线AD上，所以AD边所在直线的方程为y13(x1)，即3xy20.(2)由解得点A的坐标为(0，2)因为矩形ABCD两条对角线的交点为M(2,0)所以M为矩形ABCD外接圆的圆心又|AM| 2.从而矩形ABCD外接圆的方程为(x2)2y28.一、选择题1已知圆C：(x2)2(y3)24，则P(3,2)()A是圆心B在圆C外C在圆C内 D在圆C上解析：选C由圆C的方程知圆心C(

10、2,3)，半径r2，故排除A.又|PC|2r，P在圆C内部2圆(x3)2(y4)21关于直线xy0对称的圆的方程是()A(x3)2(y4)21B(x4)2(y3)21C(x4)2(y3)21D(x3)2(y4)21解析：选B对称后，圆的半径不变，只需将圆心关于xy0的对称点作为圆心即可已知圆的圆心(3，4)关于xy0的对称点(4，3)为所求圆的圆心，所求圆的方程为(x4)2(y3)21.3在方程(x1)2(y2)2m29(mR)表示的所有圆中，面积最小的圆的圆心和半径分别是()A(1,2)，3 B(1，2)，3C(1,2), D(1，2), 解析：选B当m0时，圆的半径最小且为3，这时圆的面积

11、最小，圆心为(1，2)4方程y表示的曲线是()A一条射线 B一个圆C两条射线 D半个圆解析：选D由y，知y0，两边平方移项，得x2y29.原方程等价于表示圆心在原点，半径为3的圆的上半部分5设M是圆(x5)2(y3)29上的点，则M到3x4y20的最小距离是()A9 B8C5 D2解析：选D圆心(5,3)到直线3x4y20的距离d5，所求的最小距离是532.二、填空题6圆心在x轴上，且过点A(5,2)和B(3，2)的圆的标准方程为_解析：法一：设圆的方程为(xa)2(yb)2r2.则解得所求圆的方程为(x4)2y25.法二：圆过A(5,2)，B(3，2)两点，圆心一定在线段AB的中垂线上AB中

12、垂线的方程为y(x4)，令y0，得x4.即圆心坐标C(4,0)，r|CA| ，所求圆的方程为(x4)2y25.答案：(x4)2y257已知圆C1的方程(x3)2(y2)25，圆C2与圆C1是同心圆且过点A(5,0)，则圆C2的标准方程为_解析：由圆C1的方程知圆心C1(3,2)，因为C2与C1是同心圆，所以C2的圆心也为(3,2)可设C2的方程为(x3)2(y2)2r2.又由C2过点A(5,0)，所以(53)2(02)2r2，r268.故圆C2的方程为(x3)2(y2)268.答案：(x3)2(y2)2688设点P(x，y)是圆x2(y4)24上任意一点，则的最大值为_解析：理解的几何意义，即

13、为动点P(x，y)到定点(1,1)的距离因为点P(x，y)是圆x2(y4)24上的任意一点，因此表示点(1,1)与该圆上点的距离易知点(1,1)在圆x2(y4)24外，结合图易得的最大值为22.答案：2三、解答题9已知直线l与圆C相交于点P(1，0)和点Q(0,1)(1)求圆心所在的直线方程；(2)若圆C的半径为1，求圆C的方程解：(1)PQ的方程为xy10.PQ中点M，kPQ1，所以圆心所在的直线方程为yx.(2)由条件设圆的方程为：(xa)2(yb)21.由圆过P，Q点得：解得或所以圆C方程为：x2y21或(x1)2(y1)21.10已知圆C的圆心坐标为C(x0，x0)，且过定点P(4,2

14、)(1)求圆C的方程；(2)当x0为何值时，圆C的面积最小，并求出此时圆C的标准方程解：(1)由题意，得圆C的方程为(xx0)2(yx0)2r2(r0)圆C过定点P(4,2)，(4x0)2(2x0)2r2(r0)r22x12x020.圆C的方程为(xx0)2(yx0)22x12x020.(2)(xx0)2(yx0)22x12x0202(x03)22，当x03时，圆C的半径最小，即面积最小此时圆C的标准方程为(x3)2(y3)22.第2课时圆的一般方程核心必知1圆的一般方程的定义当D2E24F0时，称二元二次方程x2y2DxEyF0为圆的一般方程2方程x2y2DxEyF0表示的图形(1)当D2E

15、24F0时，方程表示以为圆心，以为半径的圆(2)当D2E24F0时，方程表示一个点.(3)当D2E24F0时，方程不表示任何图形问题思考1方程x2y22x2y30是圆的一般方程吗？为什么？提示：此方程不表示圆的一般方程D2E24F22(2)24×340.此方程不表示任何图形2方程Ax2BxyCy2DxEyF0表示圆时需要具备什么条件？提示：需同时具备三个条件：AC0；B0；D2E24AF>0.讲一讲1判断下列方程是否表示圆，若是，化成标准方程(1)x2y22x10；(2)x2y22ay10；(3)x2y220x1210；(4)x2y22ax0.尝试解答(1)原方程可化为(x1)

16、2y20，它表示点(1,0)，不表示圆(2)原方程可化为x2(ya)2a21，它表示圆心在(0，a)，半径为的圆，标准方程为x2(ya)2()2.(3)原方程可化为：(x10)2y2210，故方程不表示任何曲线，故不能表示圆(4)原方程可化为(xa)2y2a2.当a0时，方程表示点(a,0)，不表示圆；当a0时，方程表示以(a,0)为圆心，半径为|a|的圆，标准方程为(xa)2y2a2.对形如x2y2DxEyF0的二元二次方程可以通过配方变形成“标准”形式后，观察是否表示圆；也可以由圆的一般方程的定义判断D2E24F是否为正，确定它是否表示圆练一练1求下列圆的圆心和半径(1)x2y2xy0；(

17、2)x2y22ax2aya20.(a0)解：(1)原方程可化为22，圆心坐标为，半径为.(2)原方程可化为(xa)2(ya)2a2.圆心坐标为(a，a)，半径为|a|.讲一讲2已知ABC三个顶点的坐标为A(1,3)，B(1，1)，C(3，5)，求这个三角形外接圆的方程尝试解答法一：设所求圆的方程为x2y2DxEyF0(D2E24F0)，此圆过A、B、C三点，解得圆的方程为x2y24x4y20.法二：设圆的方程为(xa)2(yb)2r2，则、得解得a2，b2.r210.圆的方程为(x2)2(y2)210.法三：AB的中垂线方程为y1(x0)，BC的中垂线方程为y2(x2)，联立解得圆心坐标为(2

18、,2)设圆半径为r，则r2(12)2(32)210，圆的方程为(x2)2(y2)210.法四：由于kAB2，kAC，kAB·kAC1，ABAC，ABC是以A为直角的直角三角形，外接圆圆心为BC的中点，即(2,2)，半径r|BC|，圆的方程为(x2)2(y2)210.待定系数法是求圆的一般方程的常用方法，先设出圆的一般方程，再根据条件列出方程组求出未知数D，E，F，当已知条件与圆心和半径都无关时，一般采用设圆的一般方程的方法练一练2求过点A(2，2)，B(5,3)，C(3，1)的圆的方程解：设所求圆的方程为x2y2DxEyF0.由题意，得解之得所以所求圆的方程为x2y28x10y440

19、.已知定点A(a,2)在圆x2y22ax3ya2a0的外部，求a的取值范围错解点A在圆外，a242a23×2a2a0，a2.错因本题错解的根本原因在于没有把握住圆的一般式方程的定义二元二次方程x2y2DxEyF0表示圆时，需D2E24F0，所以，本题除了点在圆外的条件以外，还应注意方程表示圆这一隐含条件正解点A在圆外，即2a，a的取值范围是.1圆x2y22x6y80的周长等于()A. B2C2 D4解析：选C圆的方程配方后可化为(x1)2(y3)22，圆的半径r，周长2r2.2方程x2y24x2y5m0表示圆，则m的范围是()A0m1 Bm1Cm0 Dm1解析：选D方程x2y24x2

20、y5m0表示圆，须42(2)24×5m0，即m1.3如果过A(2,1)的直线l将圆x2y22x4y0平分，则l的方程为()Axy30 Bx2y40Cxy10 Dx2y0解析：选A由题意知直线l过圆心(1,2)，由两点式可得l的方程为，即xy30.4以点A(2,0)为圆心，且经过点B(1,1)的圆的一般方程是_解析：由题知r|AB|，圆的标准方程为(x2)2y210，化成一般方程为：x2y24x60.答案：x2y24x605圆x2y22x4y110关于点P(2,1)对称的圆的方程是_解析：由x2y22x4y110得(x1)2(y2)216.圆心(1,2)关于P(2,1)的对称点为(5,

21、0)所求圆的方程为(x5)2y216.答案：(x5)2y2166圆心在直线2xy70上的圆C与y轴交于A(0，4)，B(0，2)两点，求圆C的一般方程解：设圆C的方程为x2y2DxEyF0(D2E24F>0)，则圆心C在直线2xy70上，2×70，即D70，又A(0，4)，B(0，2)在圆上，由、解得D4，E6，F8，圆的方程为x2y24x6y80.一、选择题1若圆x2y22x4y0的圆心到直线xya0的距离为，则a的值为()A2或2B.或C2或0 D2或0解析：选C由圆的方程得圆心坐标为(1,2)再由点到直线的距离公式得，解得a2或a0.2已知圆C的半径长为2，圆心在x轴的正

22、半轴上，直线3x4y40与圆C相切，则圆C的方程为()Ax2y22x30 Bx2y24x0Cx2y22x30 Dx2y24x0解析：选D设圆心为(a,0)，且a0，则(a,0)到直线3x4y40的距离为2，即23a4±10a2或a(舍去)，则圆的方程为(x2)2(y0)222，即x2y24x0.3圆x2y22x2y10上的点到直线xy2的距离的最大值是()A2 B1C2 D12解析：选B圆的方程变为(x1)2(y1)21，圆心为(1,1)，半径为1，圆心到直线的距离d，所求的最大值为1.4已知圆C：x2y2mx40上存在两点关于直线xy30对称，则实数m等于()A8 B4C6 D无法

23、确定解析：选C因为圆上两点A，B关于直线xy30对称，所以直线xy30过圆心，从而30，即m6.5圆的方程为x2y2kx2yk20，当圆面积最大时，圆心坐标为()A(1,1) B(1，1)C(1,0) D(0，1)解析：选D方程变形为2(y1)21k2，r21k2，当k0时，r有最大值圆心坐标为(0，1)二、填空题6过点(，2)的直线l经过圆x2y22y0的圆心，则直线l的倾斜角大小为_解析：由x2y22y0，得x2(y1)21，圆心为(0,1)，k.直线的倾斜角为60°.答案：60°7若直线3x4y120与两坐标轴交点为A，B，则以线段AB为直径的圆的一般方程为_解析：依

24、题意A(4,0)，B(0,3)，AB中点C的坐标为，半径r|AC| ，圆的方程为(x2)222，即x2y24x3y0.答案：x2y24x3y08若点(a1，a1)在圆x2y22ay40的内部(不包括边界)，则a的取值范围是_解析：点(a1，a1)在圆x2y22ay40内部，即2a2，a1.答案：(，1)三、解答题9若点A(1，1)，B(1,4)，C(4，2)，D(a,1)共圆，求a的值解：设圆的方程为x2y2DxEyF0，将A，B，C三点坐标代入，整理得方程组解得D7，E3，F2.圆的方程为x2y27x3y20.又点D在圆上，a217a320.a0或a7.10求经过A(4,2)、B(1,3)两

25、点，且在两坐标轴上的四个截距之和是2的圆的方程解：设所求圆的方程为x2y2DxEyF0，令y0得x2DxF0，圆在x轴上的截距之和为x1x2D.令x0得y2EyF0，圆在y轴的截距之和为y1y2E.由题设x1x2y1y2(DE)2.DE2.又A(4,2)，B(1,3)在圆上，1644D2EF0，19D3EF0.由解得D2，E0，F12.故所求圆的方程为x2y22x120.第3课时直线与圆的位置关系核心必知直线AxByC0与圆(xa)2(yb)2r2位置关系及判断位置关系相交相切相离公共点个数2个1个0个判定方法几何法：设圆心到直线的距离ddrdrdr代数法：由消元得到一元二次方程的判别式000

26、问题思考1直线AxByC0与圆(xa)2(yb)2r2相交时，方程组的解和的几何意义是什么？，呢？提示：该方程组的解恰好是直线与圆的交点P、Q的坐标，即有P(x1，y1)，Q(x2，y2)，而恰为弦PQ的中点坐标2是否任意直线与圆的位置关系的判定都可以用几何法与代数法这两种方法？提示：是几何法与代数法是从不同的方面进行判断的，几何法侧重于“形”，代数法侧重于“数”讲一讲1判断下列直线与圆的位置关系，若有公共点求出公共点的坐标(1)直线：xy0，圆：x2y22x4y40；(2)直线：yx5，圆：x2y22x4y30；(3)直线xy3，圆：x2y24x2y40.尝试解答(1)圆的方程x2y22x4

27、y40可化为(x1)2(y2)29，圆心(1，2)，半径3.圆心到直线的距离d<3，直线与圆有两个公共点消去y得x2x20，解得x11，x22，y11，y22，交点A(1,1)，B(2，2)(2)圆的方程可化为(x1)2(y2)22，圆心(1,2)，半径，圆心到直线的距离d，直线与圆相切，有一个公共点，消去y得x24x40，x2，y3，切点(2,3)(3)圆的方程化为(x2)2(y1)21，圆心(2，1)，半径长为1，圆心到直线的距离d>1，直线与圆相离解决此类问题的关键是搞清直线与圆的位置和直线与圆的公共点的个数间的等价关系在处理直线与圆的位置关系时，常用几何法，即比较圆心到直线

28、的距离和半径的大小，而不用代数法练一练1已知圆的方程是x2y22，直线yxb，当b为何值时，圆与直线相交、相切、相离？解：如图，圆心O(0,0)到直线yxb的距离为d，圆的半径r.当dr，|b|2，即b2或b2时，圆与直线相切b为直线的截距，数形结合可知，当2b2时，直线与圆相交，当b2或b2时，直线与圆相离.讲一讲2求直线l：3xy60被圆C：x2y22y40截得的弦长尝试解答法一：由直线l与圆C的方程，得消去y得x23x20.设两交点A，B的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系有x1x23，x1·x22，|AB|.弦AB的长为.法二：圆C：x2y22y4

29、0可化为x2(y1)25.其圆心坐标为C(0,1)，半径r，点C(0,1)到直线l的距离为d，所以半弦长 .所以弦长|AB|.1代数法(1)将直线与圆的方程联立，解得两交点，然后利用两点间距离公式求弦长(2)设直线的斜率为k，直线与圆联立，消去y后所得方程两根为x1，x2，则弦长d|x2x1|.2几何法设弦长为l，弦心距为d，半径为r，则有2d2r2，故l2，即半弦长、弦心距、半径构成直线三角形，数形结合利用勾股定理得到练一练2已知关于x，y的方程C：x2y22x4ym0，(1)当m为何值时，方程C表示圆；(2)若圆C与直线l：x2y40相交于M，N两点，且|MN|，求m的值解：(1)方程C可

30、化为(x1)2(y2)25m.显然5m0，即m5时，方程C表示圆(2)圆的方程化为(x1)2(y2)25m圆心C(1,2)，半径r.则圆心C(1,2)到直线l：x2y40的距离d.|MN|，|MN|.根据圆的性质有r2d22，5m22，得m4.讲一讲3已知圆的方程为x2y22x4y40，求经过点(4，1)的圆的切线方程尝试解答设切线l的斜率为k，则其方程为y1k(x4)，即kxy4k10.圆的方程可化为(x1)2(y2)29.圆心为(1,2)，半径为3.l是圆的切线，3，8k215k0.k0或k，代入kxy4k10并整理，得切线方程为y1或15x8y520.经过圆内一点的圆的切线不存在；经过圆

31、上一点的圆的切线有一条；经过圆外一点的圆的切线有两条，若只求出一条，则说明另一条切线的斜率不存在，切线为xx0的形式练一练3若直线l过点P(2,3)，且与圆(x1)2(y2)21相切，求直线l的方程解：若直线l的斜率存在，设l：y3k(x2)因为直线l与圆(x1)2(y2)21相切，所以1，所以k.所以直线l的方程为y3(x2)，即12x5y90.若直线l的斜率不存在，则直线l：x2也符合要求所以直线l的方程为12x5y90或x2.方程 k(x2)3有两个不等实根，求k的取值范围巧思将方程解的个数问题转化为y和yk(x2)3图像的交点个数问题妙解在同一坐标系中，分别作出曲线y和yk(x2)3.

32、如图所示，曲线y表示圆心在原点，半径为2的上半圆，yk(x2)3表示经过定点P(2,3)，斜率为k的动直线，易得kPA，切线PM的斜率为kPM.当动直线介于直线PM与PA之间时，与半圆有两个交点，即所给方程 k(x2)3有两个不等实根所以实数k的取值范围是.1(安徽高考)若直线xy10与圆(xa)2y22有公共点，则实数a的取值范围是()A3，1B1,3C3,1 D(，31，)解析：选C欲使直线xy10与圆(xa)2y22有公共点，只需使圆心到直线的距离小于等于圆的半径即可，即，化简得|a1|2，解得3a1.2直线2xy10被圆(x1)2y22所截得的弦长为()A. B.C. D.解析：选D圆

33、心为(1,0)，半径为，圆心到直线的距离d，弦长l22.3(天津高考)已知过点P(2,2) 的直线与圆(x1)2y25相切， 且与直线axy10垂直， 则a()A B1C2 D.解析：选C由切线与直线axy10垂直，得过点P(2,2)与圆心(1,0)的直线与直线axy10平行，所以a，解得a2.4圆心在原点且与直线xy20相切的圆的方程为_解析：由题意可知，原点到直线xy20的距离为圆的半径，即r，所以圆的方程为x2y22.答案：x2y225(湖南高考)若直线3x4y50与圆x2y2r2(r>0)相交于A，B两点，且AOB120°(O为坐标原点)，则r_.解析：如图，过点O作O

34、DAB于点D，则|OD|1.AOB120°，OAOB，OBD30°，|OB|2|OD|2，即r2.答案：26已知圆C：(x1)2(y2)22，点P(2，1)，过P点作圆C的切线PA、PB，A、B为切点，求：(1)PA、PB所在的直线方程；(2)切线长|PA|.解：(1)设切线的斜率为k，因为切线过点P(2，1)，所以切线的方程为y1k(x2)，即kxy2k10.又圆心C(1,2)，半径r，由点到直线的距离公式，得.解得k7或k1.故所求切线PA，PB的方程分别是xy10和7xy150.(2)如图，连接AC，PC，则ACAP.在RtAPC中，|AC|，|PC|，所以|PA|2

35、.一、选择题1若直线axby1与圆x2y21相交，则点P(a，b)与圆的位置关系是()A在圆上B在圆外C在圆内 D以上都有可能解析：选B由于直线axby1与圆x2y21相交，则1，即a2b21，从而可知点P(a，b)在圆x2y21的外部2若直线xy2被圆(xa)2y24所截得的弦长为2，则实数a的值为()A1或 B1或3C2或6 D0或4解析：选D圆心C(a,0)到直线xy2的距离d，由题意得d2()222，解得d.所以，解得a0或a4.3(重庆高考)对任意的实数k，直线ykx1与圆x2y22的位置关系一定是()A相离 B相切C相交但直线不过圆心 D相交且直线过圆心解析：选C易知直线过定点(0

36、,1)，且点(0,1)在圆内，但是直线不过圆心(0,0)4(广东高考)垂直于直线yx1且与圆x2y21相切于第一象限的直线方程是()Axy0 Bxy10Cxy10 Dxy0解析：选A因为所求直线l(设斜率为k)垂直于直线yx1，所以k·11，所以k1，设直线l的方程为yxb(b0)，即xyb0，所以圆心到直线的距离为1，所以b.5已知圆的方程为x2y26x8y0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为()A10 B20C30 D40解析：选B圆心坐标是(3,4)，半径是5，圆心到点(3,5)的距离为1，根据题意，最短弦BD和最长弦(即圆的直径)

37、AC垂直，故最短弦的长为24，所以四边形ABCD的面积为×|AC|×|BD|×10×420.二、填空题6已知圆C的圆心是直线xy10与x轴的交点，且圆C与直线xy30相切，则圆C的方程为_解析：由题意得圆心为C(1,0)由点到直线的距离公式得圆心C到直线xy30的距离d，即圆半径r.圆的方程为(x1)2y22.答案：(x1)2y227已知圆C过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l：yx1被该圆所截得的弦长为2，则圆C的标准方程为_解析：圆心到直线xy10的距离为d.因为圆截直线所得的弦长为2，所以22(a1)2，即(a1)24，所以a3或a1(舍

38、去)所以圆心为(3,0)，半径r2(a1)24，故圆的标准方程为(x3)2y24.答案：(x3)2y248经过点P(2，3)作圆(x1)2y225的弦AB，使点P为弦AB的中点，则弦AB所在直线方程为_解析：设圆心为C(1,0)，由题意知：ABCP，而kCP1，从而kAB1，弦AB所在的直线方程为y3x2，即xy50.答案：xy50三、解答题9自点P(6,7)发出的光线l射到x轴上点A处，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2y28x6y210相切于点Q.求光线l所在直线的方程解：如图，作圆x2y28x6y210关于x轴的对称圆x2y28x6y210，由几何光学原理知，直线l与圆x2y28x6

39、y210相切，又l的斜率必存在，故可设直线l：y7k(x6)，即kxy6k70.由d2，得k或k，故光线l所在直线的方程为3x4y100或4x3y30.10已知圆C：(x3)2(y4)24和直线l：kxy4k30.(1)求证：不论k取何值，直线和圆总相交；(2)求k取何值时，圆被直线截得的弦最短，并求最短弦的长解：由题可知圆心为C(3,4)，半径为r2.(1)证明：直线方程可化为k(x4)(3y)0，直线过定点P(4,3)(43)2(34)24.点P在圆C内部直线kxy4k30与圆C总相交(2)直线经过定点P(4,3)，当PC与直线垂直时，圆被直线截得的弦最短设直线与圆的交点为A，B，则由勾股

40、定理得(|AB|)2r2|CP|2422.AB2.PC与直线kxy4k30垂直，直线PC的斜率为kPC1，直线kxy4k30的斜率为k1.当k1时，圆被直线截得的弦最短，最短弦长为2.第4课时圆与圆的位置关系核心必知1圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系有相离、外切、相交、内切、内含五种情况2圆与圆位置关系的判定已知两圆C1：(xx1)2(yy1)2r，C2：(xx2)2(yy2)2r，圆心距为d.两圆C1，C2的位置关系如下：位置关系满足条件图示两圆相离d>r1r2两圆外切dr1r2两圆相交|r1r2|<d<|r1r2|两圆内切d|r1r2|两圆内含d<|r1r2|问题思

41、考1当两圆的方程组成的方程组无解时，两圆是否一定相离？只有一组解时，一定外切吗？提示：不一定当两圆组成的方程组无解时，两圆无公共点，两圆可能相离也可能内含；只有一组解时，两圆只有一个公共点，两圆相切，可能外切，也可能内切2圆A：x2y28x70和圆B：x2y28x70的位置关系如何？提示：外离圆A，圆心(4,0)，半径3.圆B，圆心(4,0)，半径3，圆心距大于两半径和3在外离、外切、相交、内切和内含的位置关系下，两圆的公切线条数分别为多少条？提示：位置关系外离外切相交内切内含公切线条数4条3条2条1条0条讲一讲1已知圆C1：x2y22ax2ya2150，C2：x2y24ax2y4a20(a0

42、)试求a为何值时两圆C1、C2(1)相切；(2)相交；(3)相离尝试解答对圆C1、C2的方程，经配方后可得：C1：(xa)2(y1)216，C2：(x2a)2(y1)21，圆心C1(a,1)，r14，C2(2a,1)，r21，|C1C2|a.(1)当|C1C2|r1r25，即a5时，两圆外切，当|C1C2|r1r23，即a3时，两圆内切(2)当3|C1C2|5，即3a5时，两圆相交(3)当|C1C2|5，即a5时，两圆外离当|C1C2|3，即a3时，两圆内含判断两圆位置关系的方法有两种，一是代数法，看方程组的解的个数，但往往较繁琐；二是几何法，看两圆圆心距d，若dr1r2，两圆外切，d|r1r

43、2|时，两圆内切，dr1r2时，两圆外离，d|r1r2|时，两圆内含，|r1r2|dr1r2时，两圆相交练一练1判断下列两圆的位置关系，若相交，请求出公共弦长x2y26x70和x2y26y270.解：将圆的一般方程化为标准方程，得(x3)2y216，x2(y3)236.故两圆的半径分别为r14和r26，两圆的圆心距d3.显然，2310，即|r1r2|dr1r2，所以两圆相交，得3x3y100. 方程表示公共弦所在直线的方程因为式是公共弦所在直线的方程，所以第一个圆的圆心(3,0)到直线的距离为d.又半径r14，所以弦长为2.讲一讲2已知两圆x2y22x10y240和x2y22x2y80.(1)

44、试判断两圆的位置关系；(2)求公共弦所在的直线方程；(3)求公共弦的长度尝试解答(1)将两圆方程配方化为标准方程，C1：(x1)2(y5)250，C2：(x1)2(y1)210.则圆C1的圆心为(1，5)，半径r15；圆C2的圆心为(1，1)，半径r2.又|C1C2|2，r1r25.r1r25.r1r2|C1C2|r1r2，两圆相交(2)将两圆方程相减，得公共弦所在直线方程为x2y40.(3)法一：两方程联立，得方程组两式相减得x2y4. 把代入得y22y0，y10，y22.或所以交点坐标为(4,0)和(0,2)两圆的公共弦长为2.法二：两方程联立，得方程组两式相减得x2y40，即为两圆相交弦

45、所在直线的方程由x2y22x10y240，得(x1)2(y5)250，其圆心为C1(1，5)，半径r15.圆心C1到直线x2y40的距离d3，设公共弦长为2l，由勾股定理r2d2l2，得5045l2，解得l，所以公共弦长2l2.求两圆的公共弦长及公共弦所在直线方程一般不用求交点的方法，常用如下方法：注意：当两圆相切时，公共弦所在直线即为两圆的公切线练一练2已知圆C1：x2y210x10y0和圆C2：x2y26x2y400相交，圆C过原点，半径为，圆心在已知两圆圆心连线的垂直平分线上，求圆C的方程解：设圆C1与圆C2交于A，B两点，由两圆的方程相减，得x3y100，此方程即为公共弦AB所在的直线方程由已知，圆C的圆心C在两圆圆心连线的垂直平分线上，即在直线AB上，设C(a，b)，则a3b100，又由|CO|，得a2b210，联立，解得a1，b3.所以，圆C的方程为(x1)2(y3)210.3求以圆C1：x2y212x2y130和圆C2：x2y212x16y250的公共弦为直径的圆的方程解：联立两圆方程相减得公共弦