21.1二重积分概念

1、第二一章二重积分§ 1二重积分概念教学目的 掌握二重积分的定义和性质.教学内容二重积分的定义和性质.(1) 根本要求：掌握二重积分的定义和性质，二重积分的充要条件，了解 有界闭区域上的连续函数的可积性.(2) 较高要求：平面点集可求面积的充要条件.教学建议(1) 要求学生必须掌握二重积分的定义和性质， 知道有界闭区域上的连续函 数必可积.由于二元函数可积的充要条件与定积分类似， 这方面的内容可作简略 介绍.(2) 对较好学生可详细讲述二元函数可积的充要条件的证明，并布置有关习题.教学程序一、平面图形的面积(一)、内、外面积(约当，黎曼外内测度)的概念直线网T分割平面图形P，T的网眼中

2、小闭矩形的分类：(i) i含的全是P的内点,(ii) i含的全是P的外点(不含P的点)(iii) i内含有P的边界点,记Sp T为T的第i类i的面积的和.记Sp T为t的第i和第三类i的面积的和. sup sP T记Ip= t，称为P的内面积.记I卩=叩Sp T，称为P的外面积.定义1假设平面图形P的内面积Ip等于它的外面积I p，那么称P为可求面积,并称其共同值|p = Ip = Ip为P的面积(约当，黎曼测度)0，总存定理21.1 平面有界图形P可求面积的充要条件是：对任给的 在直线网T,使得(2)SP TsP T证明必要性设平面有界图形P的面积为IP 由定义1,有Ip=1p = Ip 对

3、任给的，由|P及Ip的定义知道，分别存在直线网T1与T2，使得Sp TI p , Sp T 2I p2记T为由T1与T2这两个直线网合并的直线网，可证得Sp T1sP TSp T2Sp于是由3可得sP T从而得到对直线网T有Sp TSp T充分性对任给的0,存在直线网T，使得2式成立但Sp T I p I p Sp T所以 Ip LpSp TSp T由 的任意性，因此Lp = I p，因而平面图形P可求面积.推论平面有界图形P的面积为零的充要条件是它的外面积Lp 0，即对任 给的0，存在直线网T ,使得，Sp T或对任给的0，平面图形P能被有限个其面积总和小于的小矩形所覆盖.定理21.2 平面

4、有界图形P可求面积的充要条件是：P的边界K的面积为零.证明 由定理21. 1，P可求面积的充要条件是：对任给的0，存在直线网T，使得sp TSp T .由于Sk TSP TSP T所以也有Sk T.由上述推论，P的边界K的面积为零.定理21.3 假设曲线K为由定义在a,b上的连续函数f x的图象，贝曲线K 的面积为零证明 由于f x在闭区间a，b上连续函数，从而一致连续因而对任给的0,总存在 0，当把区间a，b分成n个小区间i 1， ,n并且满足maxXiXixiii1，n时，可使在每个小区间xii,Xi上的振幅都成立b a 现把曲线K按自变量x xo,x分成n个小段，这时每一个小段都能被以x

5、i为宽，i为高的小矩形甩覆盖由于这个小矩形面积的总和为nni XiXii ib a i i所以由定理21. 1的推论即得曲线K的面积为零.还可证明得到：由参量方程x t,Y t t所表示的光滑曲线或按段光滑曲线，其面积为零.二、 二重积分的定义及其存在性背景：求某曲顶柱体的体积时，通过“分割、近似，求和、取极限的步骤, 利用求柱体的体积的方法来得到结果. 一类大量的“非均匀问题都采用类似的 方法，从而归结出下面一类积分的定义.割T的细度，在每一个i上任取一点定义设f x, y是定义在可求面积的有 界闭区域D上的函数，用任意曲线把D分 成n个可求面积的小区域：1，2， n,以 i表示 i的面积，

6、这些小区域构成D的一个分割T， 以di表示i的直径，称E maxdi为分 nf ( i, i) i(i, i)，作和式：i 1， 称之为函数在上属于分割的一个积分和.定义2 设f x,y是定义在可求面积的有界闭区域 D上的函数，J是一个确 定的数，假设对任给的正数 ，总存在某个正数 ，使对于D的任何分割T ,当它 的细度T 时，属于T的所有积分和都有Nf( i, i) i Ji 1那么称f x，y在d上可积，数j称为函数f x，y在d上的二重积分，记作f x, ydJ = D，其中f x，y称为二重积分的被积函数，x,y称为积分变量，d称为积分区域.几何意义：当f x, y 0时，二重积分dx

7、,y d在几何上表示以z f x, y为曲顶，D为底的曲顶柱体的体积直角坐标系下可表示为：dx, y d f x, y dxdy=D可积的必要条件：fx,y在可求面积的区域d上有界函数x,y在可求面积的区域d上有界时,T是D的一个分割，把D分成个可求面积的小区域 1, , n，令M i sup f x, yx,y iinfx,y ix,yi 1,nf x, y 关于分割T的上和与下和:NST Mi i sTiNmiI定理21.4x,y在D上可积的充要条件是:职 ST =HmosT定理21.5 f x,y在D上可积的充要条件是：对于任给的正数，存在D的某个分割T ,使得ST sT .定理21.6

8、 有界闭区域D上的连续函数必可积.定理21.7 设f x,y是定义在有界闭区域d上的有界函数假设f x,y的不连续点都落在有限条光滑曲线上，那么f x, y在D上可积.证明不失一般性，可设x，y的不连续点全部落在某一条光滑曲线上记L的长度为I，于是对任给的 >0,把L等分成Lx ,Ln，在每段匚上取一点R，使段与其一端点的弧长为以Pi为中心作边长为正方形，那么Lii，从而有nii 1 ，那么为一多边形.设面积为W，那么现在把区域D分成两局部第局部D1 D.第二局部D21 d D1 .由于f x, y在d2上连续，根据定理 21.6与定理21.5，存在D2的分割T2，使得MST2 sT2.

9、又记sup f x,y mx,yinfx,yf x.'，以T表示由T2与多边形 的边界所组成的区域D的分割，那么有S T s TS T2s T2其中是f x，y在d上的振幅由于x，y在d上有界,故是有限值.于是由定理21, 5就证明了三、二重积分的性质x，y在上可积.重积分具有一系列与定积分完全相类似的性质，现列举如下:x,y在d上也可积，且1.假设f x,y在区域D上可积，k为常数，那么k fkf x, y df x, y dD= k D2.假设f X,y , g x,y在d上都可积，那么f x, y ± g x, y在D上也可积，且f x, y g x,y d f x, y dg x, y d± DD= D3.假设f x,y在Di和D2上都可积，且Di与D2无公共内点，贝Uf x, y在Dif x,y dD2也可积，且D1 D2f x, y d f x,y d=Di+ D24 .假设 f x，y与g x，y在D上可积，且f x，y < g x，y,x，y D,那么f x, y dg x, y dw D5假设x，y在d上可积,f x，y在d上也可积,f x, y df x, yDw D那么函数且dm <6.假设f x，y在D上可积.x,y < M x,ymSDfx,yd MSd这里Sd是积分区域D的面积.7