19-1含参量积分

1、第十九章含参量积分(一) 教学目的：掌握含参量正常积分的连续性，可微性和可积性定理，掌握含参量正常积分的求导法那么.(二) 教学内容：含参量正常积分的连续性，可微性和可积性定理的证明；含参量正常积分的导数的计 算.根本要求：(1) 了解含参量正常积分的连续性，可微性和可积性定理的证明，熟练掌握含参量正常 积分的导数的计算公式.(2) 较高要求：掌握含参量正常积分的连续性，可微性和可积性定理的证明.(三) 教学建议：(1) 要求学生必须理解含参量正常积分的定义.(2) 要求较好学生掌握含参量正常积分的连续性，可微性和可积性定理的证明含参积分:1以实例02xydy和X22x2xydy 引入.定义含

2、参积分dI (x) f (x, y)dy 和 G(x)cy2(x)yi(x)f(x, y)dy.含参积分提供了表达函数的又一手段.我们称由含参积分表达的函数为含参积分1. 含参积分的连续性：定理19.1 假设函数f(x,y)在矩形域D a,b c,d 上连续，贝U函数dI (x) f (x, y)dy 在a,b上连续.c、b同样 J(y) f(x, y)dx在c, d 上连续a定理19.2 假设函数f (x, y)在矩形域D a,b c,d上连续，函数y,(x)和y2(x)在y2(x)a , b 上连续，贝U函数G(x)f (x,y)dy在a ,b 上连续yi ( X)定理19.3 (可微性)

3、假设函数f (x, y)及其偏导数fx都在矩形域D a, b c,d 上d连续，那么函数I(x) f (x,y)dy在a,b上可导，且cd d d；cf(x,y)dyfx(x, y)dy (即积分和求导次序可换 )证对于a,b内任何一点x，设xx a,b(假设x取为区间端点，那么讨论单侧导数)，那么l(x X)l(x)x:f(x x) f(x)dy。 cxIddc fx(x, y)dyx cc由微分中值定理及f(xxx)x的连续性，对任给的正数f (x)f(x x) f(x)x，存在正数，只要| X | ，就有fx(x, y)dyfx(x, y) | fx(xx, y) fx(x, y)|其中

4、 (0,1)。结合(20)式得到(dc) I dc fx(x, y)dyx c定理19.4 设函数f (x, y)及其偏导数fx都在矩形域D a,b c,d 上连续, 函数y,x)和y2(x)定义在a,b,值域在c,d 上,且可微，那么含参积分y2 (x)G(x)心)f(x,y)dy在a,b上可微，且%(x)fx(x,y)dyf x, y2 (x) y2 (x)f x,%(x) yi(x).证 把G(x)作为复合函数看待：y2G(x) H(x,yi,y2)f (x, y)dy,其中yiy,x), y2y2(x).由复合函数求导法那么和变动上限积分的求导得到dF(x)HHyiHydxxy1xy2

5、xy2(x)''、,、fx(x,y)dy f (x, yi(x)yi(x)f (x, y? (x) y2(x)d定理i9.5(可积性)假设f (x, y)在矩形区域 Ra,b;c,d 上连续I (x) f(x, y)dy和 cbJ(y) f (x, y)dx分别在a, b和c,d上可积。a定理I9.6假设f (x,y)在矩形区域Ra,b; c,d上连续，那么dx f(x,y)dya cdy f (x,y)dxc a(x t)n i f(t)及其偏导数Fx(x,t)在原点的某个方邻设函数f (x)在点x0的某邻域内连续验证当|x|充分小时，函数(x)IX/+、n0 (x t)if

6、 (t)dt(n i)!0的n i阶导数存在，且(n)(x)f (x).F面举例说明含参量积分求导或求积运算(或称积分号下微分法或积分号下积分法)在计算定积分中的应用。解 由于(2i)中被积函数F(x,t)(x)i(n i)!x0(ni)(xt)n 2 f (t)dti(n i)!(xx)nif(x)i(n 2)!xo(xt)n 2 f (t)dt域内连续，于是由定理 20。ii有同理(x)(n 3)!如此继续下去求得k次导数为(k)(x)(rnh(x t)nk1f(t)dt特别当k n1时有(n °(x)xof(t)dt(n)(x)f(x).附带说明，当x 0时，(x)及其各阶导数

7、为(0) '(0)(n 1)(0) 0。利用含参量积分的可积性和可微性，可以计算一些其他方法难以计算的积分，其思路是b1)适当引入参量，得到 I (t) f (x,t)dx, ta原那么是1 (t)bfx(x,t)dxa要容易求积2)利用端点条件，例如1 I()0, I()I，即可求出例1计算定积分I1 ln(1：)dx0 1x解引入参量和I(a)1 ln(1ax)dx20 b aX Xx显然I(0)0,I(1)I ,I(a)1I (a)da , 先求0S=sym('log(1+a*x)/(1+xA2)');diff(S,'a')ans =x/(1+a*

8、x)/(1+xA2)I I (t)dtI (a)I (a)2dx0 (1 x1 0 lnx1 bI ( xydx)dy，因 xy在0 a)(1 ax)计算这个积分'x',0,1)int( 'x/(1+a*x)*(1+xA2)',ans =1/4*(-4*log(1+a)+2*log(2)+a*pi)/(aA2+1)I (a)ln(1 a)a2罟利用端点条件I(0)0,I(1) I可得I (a)da101rv( 4ln2)da,'a',0,1)R0,1 ; a, b上连续，积分可交换积分次序in t('1/2*(log(2)/2+a*pi/

9、4)/(aA2+1)' ans =1/8*pi*log(2)ln28b 1I ( xydx)dya 0b 11 bdy Ina1 y1 a函数先看看函数图象clf,fplot('gamma',0.01,10),hold onplot(-4,5,0,0,'r',0,0,-10,20,'r')axis(-4,6,-15,20)由图象看出函数在定义域0,内连续可微，下凸，因此有唯一极小点，位于区间(1,2)内,s/VmoH ss/Vims函数的导函数y=sym('xA(s-1)*eA(-x)');y1=diff(S,'s

10、')y1 =xa (s_1)*log(x)*e a(_x)s 1 xs 1 x I一(x e )dx x e l n xdx s2, 以外的整个b可以是无I(x).M c,使diff(y1,'s')ans =xA(s-1)*log(x)A2*eA(-x)(xs 1e x lnx)dxxs 1e x(lnx)2dxo so(n)s 1 xnx e (In x) dx0函数的递推公式应用分部积分法容易证明(S 1) s (s)函数的延拓(s 1)利用递推公式(s)可以将函数延拓到除s 0,1s数轴，其图象如下clf,fplot('gamma',-4,10),

11、hold onplot(-4,5,0,0,'r',0,0,-10,20,T)axis(-4,6,-15,20)§2含参量的反常积分含参无穷积分：函数f (x, y)定义在a,b c, )上(a,穷区间) 以 I(x)f (x, y)dy为例介绍含参无穷积分表示的函数c含参无穷积分的一致收敛性：逐点收敛(或称点态收敛)的定义：x a,b,0,f(x,y)d引出一致收敛问题定义(一致收敛性)设函数f(x, y)定义在a,b c,)上.假设对0, M c,使得f(x,y)dy对 x a ,b 成立，那么称含参无穷积分f (x, y)dy在a ,b (关于x)一致收敛.c定理

12、19.7 ( Cauchy收敛准那么)积分I (x) f (x, y)dy在a , b上一致收敛,c0, M 0, A, A2 M ,A2A1f(x,y)d例1证明含参量非正常积分Sinxydy在0 y其中 o.但在区间(0,)内非一致收敛.3.含参无穷积分与函数项级数的关系：对 x a , b 成立.)上一致收敛，例1计算积分1；TR例2设函数f(x)在点x 0的某邻域内连续.验证当|x|充分小时，函数(x)1Xn 10(X t) f(t)dt (n 1)! 0的n 1阶导数存在，且(n)(x) f (x).定理19.8积分I(x)f(x, y)dy在a,b上一致收敛，对任一数列AncAn

13、1(A c), An /,函数项级数 ° f (x, y)dy un(x)在a ,b 上一致收敛.n 1n 1(证略)二.含参无穷积分一致收敛判别法1. Weierstrass M判别法：设有函数g(y),使在a , b c,)上有|f(x,y)| g(y).假设积分 g(y)dy ,那么积分f(x,y)dy在a,b 致收敛.cc例2证明含参无穷积分osxydx在y内一致收敛.0 1 x2Dirichlet判别法和Abel判别法：三.含参无穷积分的解析性质含参无穷积分的解析性质实指由其所表达的函数的解析性 质1. 连续性：积分号下取极限定理.定理19.9设函数f (x, y)在a ,

14、 b c ,)上连续.假设积分I (x) f (x, y)dy c在a ,b上一致收敛,那么函数I (x)在a, b上连续.(化为级数进行证明或直接证明)2. 可微性：积分号下求导定理.定理19.10设函数f和fx在a,b c,)上连续.假设积分I(x) c f(x,y)dy在a ,b上收敛，积分fx(x, y)dy在a, b 一致收敛.那么函数I (x)在a , b上可微,c且 I (x) c fx(x, y)dy.3. 可积性：积分换序定理.定理19.11设函数f (x, y)在a ,b c,)上连续.假设积分I (x) f (x, y)dy在a,b上一致收敛，那么函数I (x)在a ,

15、b上可积，且有cbba dx c f (x, y)dy c dy a f(x, y)dy .acca关于在a,) c,)上的积分换序问题. 例3计算积分0, ba) 1P342. E4px sin bx sin ax ,edx,x§3 Euler 积分本节介绍用含参广义积分表达的两个特殊函数,即(s)和B(p,q).它们统称为Euler积分.在积分计算等方面,它们是很有用的两个特殊函数一. Gamma 函数(s)考虑无穷限含参积分(s 0)1当0 s s 0时,仍用Cauchy判别法判得积分发散).因此，s 0时积分0收敛1: x2 xs 1e x xs 1e x 0 , ( x )

16、对 s R 成立，.因此积分 1对s R收敛.综上，s 0时积分0 xs 1e xdx收敛.称该积分为Euler第二型积分.Euler第二型积分定义了 s (0,)内的一个函数,称该函数为Gamma函数,记为(s),即时，点X 0还是该积分的瑕点.因此我们把该积分分为01来讨论其敛散性.s 1时为正常积分.0 s 1时，xs 1e x0 .利用非负函数积的Cauchy判10 s 1时积分o收敛.(易见别法,注意到 lim x1 s(xs 1e x)1, 1 s 1,x 02.函数的连续性和可导性:(s)在区间(0,)内非一致收敛.这是因为s 0时积分发散这里利用了下 面的结果：假设含参广义积分

17、在y (a,b内收敛，但在点y a发散,那么积分在(a , b 内非一致收敛.但(s)在区间(0,)内闭一致收敛.即在任何a,b(0,)上,(s) 一致1 1 收敛.因为0 a b时，对积分,有xs 1e x xa 1e x,而积分xa 1e xdx收敛.对积分1, xs 1e x xb 1e x,而积分1 xb 1e xdx收敛.由M 判法,它们都一致收敛,积分0xs 1e xdx在区间a,b上一致收敛.作类似地讨论,可得积分(Xs匕0 x)sdx也在区间(0,)内闭一致收敛.于是可得如下结论：(s)的连续性:(s)在区间(0,)内连续.(s)的可导性:(s)在区间(0,)内可导，且(s)一

18、(xs 1e x)dx0 s0 xs1ex|nxdx.同理可得：(s)在区间(0,)内任意阶可导，且(n) (s) o xs 1e x( In x )n dx .3.(s)函数的凸性与极值：(s)0 xs 1e x( I nx)2dx 0 ,(s)在区间(0,)内严格下凸.(1)(2)1 (参下段),(s)在区间(0,)内唯一的极限小值点(亦为最小值点)介于1与2之间.4. (s)的递推公式 函数表：(s)的递推公式：(s 1) s (s), (s 0).证(s 1)xse xdxxs(e x) dx0 0s xs 1 x .s 1 x .x e o s x e dx s x e dx s (

19、s).o 0 0 ' /(1)x1 1e xdx e xdx 10 0于是,利用递推公式得：(2)(11)1 (1)1 ,(3)(21)22 1 2!,(4)(31)33 2! 3! ,般地有(n1)n (n)n(n 1) (n 1)n!可见,在Z上，(s)正是正整数 阶乘的表达式.倘定义s! (s 1),易见对 s1,该定义是有意义的因此，可视(s 1)为(1,)内实数的阶乘.这样一来,我们很自然地把正整数的 阶乘延拓到了( 1,)内的所有实数上，于是,自然就有0!(0 1)1,可见在初等数学中规定0! 1是很合理的 函数表：很多繁杂的积分计算问题可化为函数来处理.人们仿三角函数表、

20、对数表等函数表，制订了函数表供查.由函数的递推公式可见,有了 函数在0 s 1内的值，即可对s 0,求得(s)的值.通常把1.00 s 2.00内函数的某些近似值制成表,称这样的表为 函数表.5. 函数的延拓：s 0时，(s 1) s (s),(s) (s 1).该式右端在1 s 0时也有意义用其作为1 s 0时s的定义,即把s延拓到了 1,00,内.2 s 1时，依式 s利用延拓后的s,又可把s延拓到s2, 1 1,00,内.依此，可把S延拓到，内除去x nn 0,1,2,的所有点.经过如此延拓后的s的图象如1 P347图表21 4.例 1 求( 4.85),(0.85),(2.15).(查

21、表得(1.85)0.94561.)( 4.85)3.85 (3.85)3.85 2.85 (2.85)3.85 2.85 1.85 (1.85)3.85 2.85 1.85 0.9456119.19506.(1.85)0.85 (0.85),(0.85)(1.85)0.945611.11248.0.850.85(2.15)(1.15)2.151( 0.15)2.151.151(0.85)2.15 1.150.150.945612.15 1.15 0.152.54967 .6. 函数的其他形式和一个特殊值：某些积分可通过换元或分部积分假设干次后化为 函数.倘能如此，可查 函 数表求得该积分的值.

22、常见变形有:i > 令xPt (P0),有(s) =xs 1e xdx ps ts 1e ptdt,0L 0，因此，0s 1px Ix e dxsp(s),( p 0, s 0).ii > 令 xt2,(s)22s 1 t2 M2 t e dt .01t2 eJa2dt 2-V1.772454 .2 02s 1iii > 令 xIn t(0),得(s)s 1 1 一In- t dt.取1,得0 ts 11(s)0In1 t1dt(0 In t)s1dt.云，得(S)的一个特殊值一 2注意到1 P277 E7的结果° e x dx2t x 1n -.解 I 一 t 2

23、e dt2 0(n1 (2n 1)!12 (2(2n1)!2n1例2计算积分0 x2ne x dx ,其中n Z二. Beta 函数 B(p,q)Euler 第一型 积分：1. Beta函数及其连续性：1称(含有两个参数的)含参积分0xp 1(1 x)q1dx(p 0, q 0)为Euler第一型积分.当p和q中至少有一个小于1时，该积分为瑕积分.下证对p 0 , q 0 ,该 1一1积分收敛.由于p ,q 1时点x 0和x 1均为瑕点.故把积分分成2和1考虑.00212 : p 1时为正常积分；0 p 1时，点x 0为瑕点.由被积函数非负，0x1 pxp 1(1 x)q1 1, (x 0 )

24、和 1 p 1,一 一(由Cauchy判法) 积分:收敛(易见P 0时积分：发散).1一 ：q 1时为正常积分；0 p 1时，点x 1为瑕点.由被积函数非负，2(1 x)1 q(1 x)q 1xp 11, (x 1 )和 1 q 1,11(由Cauchy判法) 积分i收敛(易见q 0时积分i发散).221综上,p o, q 0时积分0收敛.设d (p,q)|0 p , o q ,1于是,积分0定义了 D内的一个二元函数.称该函数为Beta函数，记为B(p,q),即B(p,q)= 0xp 1(1 x)q1dx ( p 0, q 0)不难验证,B函数在D内闭一致收敛.又被积函数在D内连续,因此,B

25、函 数是D内的二元连续函数.2. B 函数的对称性：B(p,q) B(q,p).1x 1 t0证 B(p,q)= oxp1(1 x)q 1dx1 (1 t)p1tq1dt10tq1(1 t)p1dt B(q,p).由于B函数的两个变元是对称的,因此，其中一个变元具有的性质另一个变元自然也具有.证 B(p 1, q 1)1xp(10 x)qdx10(1q p 1、 x) d(x )1(1 x)q 1dx1o xp 1(1 x)q 1dx , *3.递推公式：B(p 1,q 1) p H 1B(p 1,q).xp(1x)q 1dx1Oxp(1 x)qdxB(p 1,q) B(p 1,q 1),代入

26、*)式，有 B( p 1 ,qqq 1) inB(p 1,q)1B(p 1解得 B( p 1 , q 1)B( p 1, q ).由对称性,又有B( p1)1B(p,q1).4.b函数的其他形式：(1dx1 1-0y(11y) y1dy1°y1(1y)1dy1b因此得(1 x)dx0,ii >cosx,可得02sin xcos xdx1,1.特别地02si nnxdx1b2iii >有 B(p,q) =1(1x)q 1dx =tp(1t)P qdt.Jp1(1t)p q dtB(p,q),0,q 0)iv >b a可得ba(xx m 1a) (bx)n1dx (b a)mn1 fc/ 、B(m, n),0, n 0.1xm 1(1 x)0n 1 1(a x)m-dx ；WB(m,n),a0,1; m 0, n 0.三. 函数和B函数的关系： 函数和B函数之间有关系式(p) (q)B(P,q), (P 0,q0)(P q)以下只就p和q取正整数值的情况给予证明 p和q取正实数值时，证明用到函数的变形和二重无穷积分