中考数学直角三角形的边角关系综合题汇编附答案解析

1、中考数学直角三角形的边角关系综合题汇编附答案解析一、直角三角形的边角关系1.如图，在。的内接三角形ABC中，/ACB=90°,AC=2BC,过C作AB的垂线l交。O于另一点D,垂足为E.设P是界上异于A,C的一个动点，射线AP交l于点F,连接PC与PD,PD交AB于点G.（1）求证：PASPDF;国一ra（2）若AB=5,"二肝，求PD的长;AG“"=x,tan/AFD=y,求y与x之间的函数关系式.（不要求写出（3）在点P运动过程中，设x的取值范围）3日1【答案】（1）证明见解析；（2）；（3），寸【解析】试题分析：（1）应用圆周角定理证明ZAPD=/FPC得到

2、ZAPC=/FPD,又由/PAC=/PDC,即可证明结论.（2）由AC=2BC设"二叫，应用勾股定理即可求得BC,AC的长，则由AC=2BC导HC=2d由ACaABC可求得AE,CE的长，由鼎二国可知4APB是等腰直角三角形，从而可求得PA的长，由4AEF是等腰直角三角形求得EF=AE=4从而求得DF的长,PAAQ由（1）APACAPDF#fD”,即可求得PD的长.AD2（3）连接BP,BD,AD,根据圆的对称性，可得APtanABP=yAGAP,由AGPDGB可得口与,由角的转换可得DGAD_,由AGDPGB可得F*式相乘可得结果.试题解析：（1）由APCB内接于圆O,得/FPC=

3、/B,又./B=/ACE=90-ZBCE,ZACE=ZAPD,./APD=/FPC./APD+/DPC=/FPC+/DPC,即/APC=/FPD.又./PAC=/PDC,.-.APACAPDF.(2)连接BP,设B'一",./ACB=90,AB=5,./+=5'="5BC=菖死=2g1.AE=4,CE=2.ZPAB=45AECEACACEAABC,.A（：HCAtt,ABXCD,CE=DE=2如图，连接BP,ra_ra耳尸二"，.APB是等腰直角三角形即2 .AEF是等腰直角三角形.EF=AE=4.'.DF=6.PAAC由(1)PAgPDF

4、得而标,PD的长为？.(3)如图，连接BP,BD,AD,AD=2.AC=2BC,根据圆的对称性，得AD=2DB,即.ABXCD,BP±AE,/.ZABP=ZAFD.AGAP丽二而DGADBG=PBAPtanz/IFD=y.tan£ABP=/二）3 AAGPADGB,4 -AAGDAPGB,<GDG_APADAG_APAD丽丽一两厢即南连DBAG.丽一戋.x=y-2,与*之间的函数关系式为卜一考点：1.单动点问题；2.圆周角定理；3.相似三角形的判定和性质；4.勾股定理；5.等腰直角三角形的判定和性质；6.垂径定理；7.锐角三角函数定义；8.由实际问题列函数关系式.以A

5、B的中点。为圆心，OA为半径的圆交AC于点2.如图，在4ABC中，/ABC=90°,D,E是BC的中点，连接DE,OE.(1)(2)判断DE与。的位置关系，并说明理由;求证：BC?=2CD?OE；314(3)若cosBAD-,BE一，求OE的长.35【答案】（1）DE为。的切线，理由见解析；（2）证明见解析；（3）OE=35.6【解析】试题分析：（1）连接OD,BD,由直径所对的圆周角是直角得到/ADB为直角，可得出BCD为直角三角形，E为斜边BC的中点，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到CE=DE从而得/C=/CDE,再由OA=OD,得/A=/ADO,由RtABC中两锐角

6、互余，从而可得/ADO与/CDE互余，可得出/ODE为直角，即DE垂直于半径OD,可得出DE为。的切线；（2）由已知可得OE是4ABC的中位线，从而有AC=2OE再由/C=/C,/ABC=/BDC,可得ABJBDC,根据相似三角形的对应边的比相等，即可证得；（3）在直角ABC中，利用勾股定理求得AC的长，根据三角形中位线定理OE的长即可求得.试题解析：（1）DE为。的切线，理由如下:.AB为。的直径，ZADB=90,在RtBDC中，E为斜边BC的中点，1，CE=DE=BEaBC,2ZC=ZCDE,-.OA=OD,ZA=ZADO,ZABC=90,.ZC+ZA=90,ZADO+ZCDE=90,ZO

7、DE=90,.DEXOD,又OD为圆的半径，：DE为。O的切线；(2) 是BC的中点，。点是AB的中点,.OE是ABC的中位线，.AC=2OE,ZC=ZC,ZABC=ZBDC,.ABCABDC,BC2=2CD?O(3)解：cosZBAD=,BC4sinZBAC=,AC514又.BE=丁，E是BC的中点，即BC=335AC=.j又AC=2OE135，OE=AC=26考点：1、切线的判定；2、相似三角形的判定与性质；3、三角函数3.问题背景：如图（a）,点A、B在直线l的同侧，要在直线l上找一点C,使AC与BC的距离之和最小，我们可以作出点B关于l的对称点B'连接AB与直线l交于点C,则点

8、C即为所求.（1）实践运用：如图（b）,已知，。的直径CD为4,点A在。上，/ACD=30,B为弧AD的中点，P为直径CD上一动点，则BP+AP的最小值为.（2）知识拓展：如图（c）,在RtABC中，AB=10,/BAC=45,/BAC的平分线交BC于点D,E、F分别是线段AD和AB上的动点，求BE+EF的最小值，并写出解答过程.【答案】解：（1）272.（2）如图，在斜边AC上截取AB'=AB连接BB'.AD平分/BAC点B与点B关于直线AD对称.过点B作B'MAB,垂足为F,交AD于E,连接BE.则线段B'的长即为所求（点到直线的距离最短）.在RtAFB/中

9、，/BAC=4f,AB/="AB="10,BT=_正,国口4>=AB由14炉=10史=湛.BE+EF的最/J、值为5近【解析】试题分析：（1）找点A或点B关于CD的对称点，再连接其中一点的对称点和另一点，和MN的交点P就是所求作的位置，根据题意先求出/C'AE再根据勾股定理求出AE,即可得出PA+PB的最小值：如图作点B关于CD的对称点E,连接AE交CD于点巳此时PA+PB最小，且等于A.作直径AC,连接C'F根据垂径定理得弧BD=<DE.-/ACD=30,°/AOD=60；/DOE=30/AOE=90.°/CAE=45

10、76;又AC为圆的直径，.1./AEC=90°./C'AC'AE=45，C'E=砥AC'2我.AP+BP的最/、值是272（2）首先在斜边AC上截取AB'=AB连接BB',再过点B作B'1AB,垂足为F,交AD于E,连接BE,则线段B'的长即为所求.4 .如图，某公园内有一座古塔AB,在塔的北面有一栋建筑物，某日上午9时太阳光线与水平面的夹角为32°,此时塔在建筑物的墙上留下了高3米的影子CD.中午12时太阳光线与地面的夹角为45°,此时塔尖A在地面上的影子E与墙角C的距离为15米（B、E、C在一条直

11、线上），求塔AB的高度.（结果精确到0.01米）参考数据：sin32°=0.5299cos32=0.8480tan32°=0.6249721.4142.BEC【答案】塔高AB约为32.99米.【解析】【分析】过点D作DHLAB,垂足为点H,设AB=x,则AH=x-3,解直角三角形即可得到结论.【详解】解：过点D作DHXAB,垂足为点H.由题意，得HB=CD=3,EC=15,HD=BC,ZABC=ZAHD=90；/ADH=32.设AB=x,贝UAH=x-3.在RtABE中，由ZAEB=45；得tanAEBtan45ABEBEB=AB=x.HD=BC=BE+EC=x+15.在R

12、tAHD中，由ZAHD=90；得tanADHAHHD即得tan32x3x15解得x15tan323”“32.99.1tan32AB约为32.99米.本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键.5 .如图，某校数学兴趣小组为测量校园主教学楼AB的高度，由于教学楼底部不能直接到达，故兴趣小组在平地上选择一点C,用测角器测得主教学楼顶端A的仰角为30。，再向主教学楼的方向前进24米，到达点E处（C,E,B三点在同一直线上），又测得主教学楼顶端A的仰角为60°,已知测角器CD的高度为1.6米，请计算主教学楼AB的高度.（J3=1.73结果精确到0.1

13、米）【答案】22.4m【解析】【分析】首先分析图形，根据题意构造直角三角形.本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构造等量关系，进而求解.【详解】解：在RtAFG中，tan/AFG=73,FG=AG.3AG在RtACG中，tan/ACG=,CGCG=tanACG又CG-FG=24m,即13AG-AG语=24m'.AG=123m,.AB=1273+1.6=2214.D百S6.某条道路上通行车辆限速60千米/时，道路的AB段为监测区，监测点P到AB的距离PH为50米（如图）.已知点P在点A的北偏东45方向上，且在点B的北偏西60。方向上，点B在点A的北偏东75°方向上，那么车辆通

14、过AB段的时间在多少秒以内，可认定为超速？（参考数据：73=1.7a=1.4.【答案】车辆通过AB段的时间在8.1秒以内，可认定为超速【解析】分析：根据点到直线的距离的性质，构造直角三角形，然后利用解直角三角形的应用，解直角三角形即可.详解：如图，由题意知/CAB=75,/CAP=45,/PBD=60,A东/PAH=/CAB-/CAP=30,/PHA=ZPHB=90；PH=50,PHAH=tanPAH50=V3=5073,1.AC/BD,/ABD=180CAB=105/PBH=ZABD/PBD=45,贝UPH=BH=50,.AB=AH+BH=50j3+50,50J35050.一，、一.一.60

15、千米/时=米/秒，时间t=50=3+3J3=8.1（秒），33即车辆通过AB段的时间在8.1秒以内，可认定为超速.点睛：该题考查学生通过构建直角三角形，利用某个度数的三角函数值求出具体边长，即实际路程，并进行判断相关的量。7.在正方形ABCD中，AC是一条对角线，点E是边BC上的一点（不与点C重合），连接AE,将4ABE沿BC方向平移，使点B与点C重合，得到DCF,过点E作EG±AC于点(1) 明；(2)如图，依题意补全图；判断线段FG与DG之间的数量关系与位置关系，并证已知正方形的边长为6,当/AGD=60°时，求BE的长.【答案】（1）见解析，FG=DG,FG±

16、;DG,见解析；（2）BE273.【分析】（1）补全图形即可,连接BG,由SAS证明BE84GCF得出BG=GF,由正方形的对称性质得出BG=DG,得出FG=DG,在证出ZDGF=90°,得出FG±DG即可，（2）过点D作DHLAC,交AC于点H.由等腰直角三角形的性质得出DH=AH=3j2,由直角三角形的性质得出FG=DG=2GH=276,得出DF=/DG=4j3,在RtDCF中，由勾股定理得出C已273,即可得出结果.【详解】解：(1)补全图形如图1所示，FG=DG,FG±DG,理由如下，连接BG,如图2所示，四边形ABCD是正方形，/ACB=45；-.EG&

17、#177;AC,/EGC=90；CEG是等腰直角三角形，EG=GC,/GEC=ZGCE=45；/BEG=/GCF=135；由平移的性质得：BE=CF,BECF在ABEG和GCF中，BEGGCF,EGCG.,.BEGAGCF(SA§,BG=GF,.G在正方形ABCD对角线上，BG=DG,FG=DG, /CGF=/BGE,/BGE+/AGB=90； /CGF吆AGB=90°, /AGD+ZCGF=90°,/DGF=90；.-.FG±DG.(2)过点D作DHAC,交AC于点H.如图3所示,在RtAADG中， /DAC=45；.DH=AH=3超，在RtADHG中

18、，ZAGD=60°,“DH3.2GH=-产=6Q,3、.3.DG=2GH=26,.DF=/DG=473，在RtDCF中，CF=I473262=2百,.BE=CF=273.xn【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、解直角三角形的应用等知识；本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键.8.如图，公路AB为东西走向，在点A北偏东36.5方向上，距离5千米处是村庄M,在点A北偏东53.5方向上，距离10千米处是村庄N;要在公路AB旁修建一个土特产收购站P（取点P在AB上），使得M,N两村庄到P站的距离之和最短，请在图中作出P的

19、位置（不写作法）并计算：（1） M,N两村庄之间的距离；（2） P到M、N距离之和的最小值.（参考数据：sin36.5=0.6,cos36.5=0.8,tan36.5=0.75计算结果保留根号.）【答案】（1）M,N两村庄之间的距离为729千米;（2）村庄M、N到P站的最短距离和是55千米.(1)作N关于AB的对称点N'与AB交于E,连结MN与AB交于P,则P为土特产收购站的位置.求出DN,DM,利用勾股定理即可解决问题.(2)由题意可知，M、N至ijAB上点P的距离之和最短长度就是MN的长.解：作N关于AB的对称点N'与AB交于E,连结MN与AB交于P,则P为土特产收购站的位

20、置.(1)在RtANE中，AN=10,/NAB=36.5，NE=AN?sin/NAB=10?sin36.5,°=6AE=AN?cos/NAB=10?cos36.5°,=8过M作MCAB于点C,在RtMAC中，AM=5,/MAB=53.5°，AC=MA?sin/AMB=MA?sin36.5,°=3MC=MA?cos/AMC=MA?cos36.5°=4过点M作MD，NE于点D,在RtAMND中，MD=AE-AC=5,ND=NE-MC=2,MN=品22=729,即M,N两村庄之间的距离为J29千米.(2)由题意可知，M、N到AB上点P的距离之和最短长

21、度就是MN'的长.DN'=10MD=5,在RtMDN中，由勾股定理，得MN'后102=575(千米)村庄M、N到P站的最短距离和是5石千米.【点睛】本题考查解直角三角形，轴对称变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题.9 .兰州银滩黄河大桥北起安宁营门滩，南至七里河马滩，是黄河上游的第一座大型现代化斜拉式大桥如图，小明站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是31。，拉索AB的长为152米，主塔处桥面距地面7.9米(CD的长)，试求出主塔BD的高.(结果精确到0.1米，参考数据：sin31°=0.52DOs31°

22、;=0.86tan31°=0.60【答案】主塔BD的高约为86.9米.【解析】【分析】根据直角三角形中由三角函数得出BC相应长度，再由BD=BC+CDM得出.【详解】在RtAABC中,/ACB=90°,sinA.ABBCABsinA152sin311520.5279.04.BDBCCD79.047.986.9486.9（米）答：主塔BD的高约为86.9米.【点睛】本题考察了直角三角形与三角函数的结合，熟悉掌握是解决本题的关键10 .如图，AB为eO的直径，C、D为eO上异于A、B的两点，连接CD,过点作CEDB,交CD的延长线于点E,垂足为点E,直径AB与CE的延长线相交于

23、点（1）连接AC、AD,求证：DACACF180若ABD2BDC.求证：CF是eO的切线._l3当BD6,tanF一时，求CF的长.4【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；CF(1)根据圆周角定理证得/ADB=90,即ADLBD,由CHDB证彳导AD/CF,根据平行线的性质即可证得结论；(2)连接OC.先根据等边对等角及三角形外角的性质得出/3=2/1,由已知/4=2/1,得到/4=/3,则OC/DB,再由CHDB,得到OC，CF,根据切线的判定即可证明CF为。O的切线；由CF/AD,证出ZBAD=ZF,得出tanZBAD=tanZF=-BD-=,求出AD=4BD=8,利AD43OC3用勾股

24、定理求得AB=10,得出OB=OC=5,再由tanF=一=-,即可求出CF.CF4【详解】解：(1)AB是eO的直径，且D为eO上一点，ADB90,QCEDB,DEC90,CF/AD,DACACF180.(2)如图，连接OC.QOAOC,12.Q312,3 21.Q42BDC,BDC1,4 21,43,OC/DB.QCEDB,OCCF.又QOC为eO的半径，CF为eO的切线.D由（1）知CF/AD,BADF,3tanBADtanF,4BD3.AD4QBD64AD-BD8,3AB-28210，OB0c5.QOCCF,OCF90,tanFOCCF解得CF20本题考查了切线的判定、解直角三角形、圆周

25、角定理等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是(2)中，需要运用三角函数、勾股定理和由平行线得出比例式才能得出结果.11.如图1,在RtABC中，/ACB=90°,AC=3,BC=4,动点P在线段BC上，点Q在线段AB上，且PQ=BQ,延长QP交射线AC于点D.(1)求证：QA=QD；(2)设/BAP="，当2tan”是正整数时，求PC的长；(3)作点Q关于AC的对称点Q',连结QQ,AQ,DQ,延长BC交线段DQ于点E,连结AE,QQ分别与AP,AE交于点M,N(如图2所示).若存在常数k,满足k?MN=PE?QQ,求k的值.【解析】【分析】(1)由等腰三角形的性

26、质得出副3,32)PC的长为一或一(3)8/B=/BPQ=/CPD,由直角三角形的性质得出/BAC=ZD,即可得出结论;,-,1，(2)过点P作PH，AB于H,设PH=3x,BH=4x,BP=5x,由题意知tanx1或一，当2tan肝1时，HA=PH=3x,与勾股定理得出3x+4x=5,解得x=5,即可求出PC长；7当tana=1时，HA=2PH-6x,得出6x+4x=5,解得x=1,即可求出PC长；22(3)设QQ与AD交于点O,由轴对称的性质得出AQ'=AQ=DQ=DQ；得出四边形1一AQDQ是菱形，由菱形的性质得出QQ±AD,AO=AD,证出四边形BEQQ是平行四边2形

27、，得出QQ=BE,设CA3m,贝UPC=4m,AD=3+3m,即QQ-BE=4m+4,PE=8m,由三角函数得出M°=tanZPAC=EC,即可得出结果.AOAC【详解】(1)证明：PQ=BQ,/B=/BPQ=/CPD,/ACB=/PCD=90；/A+/BAC=90°,/D+/CPD=90°,/BAC=/D,.QA=QD；(2)解：过点P作PHXABTH,如图1所示：设PH=3x,BH=4x,BP=5x,4一一由题意得：tan/BAC=,/BAPv/BAC,312tan是正整数时，tang1或一，2当tan“=1时，HA=PH=3x,3x+4x=3242=5,5一

28、x=一,7rr一3即PC=4-5x=;71 一.一当tana=一时，HA=2PH6x,6x+4x=5,1:.x=一,23即PC=4-5x=;233综上所述，PC的长为3或3；72(3)解：设QQ与AD交于点O,如图2所示:由轴对称的性质得：AQ=AQ=DQ=DQ,，四边形AQDQ'是菱形，QQAD,AO=1AD,2BC±AC,.QQ'/BE,.BQ/EQ；四边形BEQ'Q是平行四边形，.QQ=BE,设CA3m,贝UPC=4m,AD=3+3m,即QQBE=4m+4,PE=8m,MO电,AOACMO,4m33m=，丁3即MN=2MO=4m(1+m),本题是三角形综合题目，考查了等腰三角形的性质与判定、三角函数、勾股定理、菱形的判定与性质、平行线的性质以及分类讨论等知识；本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，灵活运用三角函数是解题关键.3.12.如图，在4ABC中，ACBC10,cosC,点P是BC边上一动点(不与点A,C5重合)，以PA长为半径的eP与边AB的另一个交点为D,过点D作DECB于点E.1当eP与边BC相切时，求eP的半径;2联