中考数学培优含解析之初中数学旋转及答案

1、中考数学培优(含解析)之初中数学旋转及答案一、旋转1.如图1,点。是正方形ABCD两对角线的交点.分别延长OD到点G,OC到点E,使OG=2OD,OE=2OC,然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG连接AG,DE.(1)求证:DELAG;(2)正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转值角(0<口<360°)得到正方形如图2.在旋转过程中，当/门力行是直角时，求徒的度数；(注明：当直角边为斜边一半时，这条直角边所对的锐角为30度)若正方形ABCD的边长为1,在旋转过程中，求HF'长的最大值和此时Q的度数，直接写出结果不必说明理由.【答案】(1)DE

2、77;AG(2)当/"八"为直角时，a=30或150°.315【解析】分析：(1)延长ED交AG于点H,证明声。根据等量代换证明结论；(2)根据题意和锐角正弦的概念以及特殊角的三角函数值得到=M,分两种情况求出门的度数；(3)根据正方形的性质分别求出OA和OF的长，根据旋转变换的性质求出AF'长的最大值和此时"的度数.详解：如图1,延长ED交AG于点H,点。是正方形ABCD两对角线的交点,丫。G二%在八八。和QOE中，OA-QD°G=0E&DOE洛ZZIGO=上DEO|,:，UG0+£G/lO=9(r?LGAOADEO

3、=°?N"K=90"?即pn4q；C)如图2,在旋转过程中，百行成为直角有两种情况:G'KI）我由1增大到'川过程中，当上°八（=时，11-OA=OD=OG=-OGr0A1上在R£A。力G'中sin/AGO前*,7加30'?OALODOALAG-.，和伯|,：，£D0G*=UG0=3M?即。=30"Kn）我由“增大到180,过程中，当“松=9。°时,同理可求乙8。犷=30",el耽一*°50综上所述，当心"G'=9"时，=30：'

4、;或1”.Z如图3,当旋转到A、O、尸在一条直线上时，4F'的长最大，正方形ABCD的边长为1,OA=OD=OC=OB=-0G=2叫二0G'-0G=/,W2,AF'=AO+OF=+22,?二此时优=315、点睛：考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，锐角三角形函数，旋转变换的性质的综合应用，有一定的综合性，注意分类讨论的思想2.两块等腰直角三角板ABC和DEC如图摆放，其中/ACB=/DCE=90°,F是DE的中点，H是AE的中点，G是BD的中点.(1)如图1,若点D、E分别在AC、BC的延长线上，通过观察和测量，猜想FH和FG的数量关系为和位置关系为;

5、(2)如图2,若将三角板DEC绕着点C顺时针旋转至ACE在一条直线上时，其余条件均不变，则(1)中的猜想是否还成立，若成立，请证明，不成立请说明理由；(3)如图3,将图1中的4DEC绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图3,(1)中的猜想还成立吗？直接写出结论，不用证明.【答案】(1)相等，垂直.(2)成立，证明见解析；(3)成立，结论是FH=FGFHXFG.【解析】试题分析：(1)证AD=BE根据三角形的中位线推出FH=AD,FH/AD,FG=BE,22FG/BE,即可推出答案；(2)证AC*BCE,推出AD=BE,根据三角形的中位线定理即可推出答案；(3)连接BE、AD,根据全等推出AD=BE,

6、根据三角形的中位线定理即可推出答案.试题解析：(1)解：CE=CDAC=BC/ECA=/DCB=90,BE=AD,F是DE的中点，H是AE的中点，G是BD的中点，1J.FH=-AD,FH/AD,FG=-BE,FG/BE,22 .FH=FG .ADXBE, FHXFG,故答案为相等，垂直.(2)答：成立，证明：CE=CD/ECD=ZACD=90,AC=BC.ACDABCE.AD=BE,11由(1)知：FH=-AD,FH/AD,FG=-BE,FG/BE,.FH=FGFHI±FG,，(1)中的猜想还成立.(3)答：成立，结论是FH=FGFHI±FG.连接AD,BE,两线交于Z,A

7、D交BC于X,同(1)可证 .FHulAD,FH/AD,FG=1BE,FG/BE,22 三角形ECDACB是等腰直角三角形， .CE=CDAC=BC/ECD叱ACB=90；/ACD=ZBCE在ACD和4BCE中AC=BCACD=BCE,CE=CD .ACDABCE.AD=BE,ZEBC=/DAC, /DAC+/CXA=90,°/CXA=/DXB, /DXB+ZEBC=90,°/EZA=180°90=90；即AD±BE,.FH/AD,FG/BE, FHXFG,即FH=FGFHI±FG,结论是FH=FGFHXFG.【点睛】运用了等腰直角三角形的性质

8、、全等三角形的性质和判定、三角形的中位线定理，旋转的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用这些性质进行推理是解此题的关键.3.如图，在口ABCD中，AB=10cm,BC=4cm,ZBCD=120°,CE平分/BCD交AB于点E.点P从A点出发，沿AB方向以1cm/s的速度运动，连接CP,将PCE绕点C逆时针旋转60°,使CE与CB重合，得到AQUB,连接PQ.(1)求证：4PCQ是等边三角形；(2)如图，当点P在线段EB上运动时，4PBQ的周长是否存在最小值？若存在，求出4PBQ周长的最小值；若不存在，请说明理由；(3)如图，当点P在射线AM上运动时，是否存在以点P、B、Q

9、为顶点的直角三角形？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由.(1)(2)【答案】（1）证明见解析；（2）存在，理由见解析；（3）t为2s或者14s.【解析】分析：（1）根据旋转的性质，证明PC®4QCB,然后根据全等三角形的性质和等边三角形的判定证明即可；（2）利用平行四边形的性质证得4BCE为等边三角形，然后根据全等三角形的性质得到PBQ的周长为4+CP,然后垂线段最短可由直角三角形的性质求解即可；（3）根据点的移动的距离，分类讨论求解即可.详解：（1）:旋转.-.PCEAQCB .CP=CQ/PCE=/QCB, /BCD=120,°CE平分/BCD,/PCQ=60

10、； /PCE吆QCE=ZQCB+ZQCE=60,° .PCQ为等边三角形.（2）存在.CE平分/BCD,/BCE=60,.在平行四边形ABCD中，.AB/CD/ABC=180-120=60°BCE为等边三角形BE=CB=4 旋转.,.PCEAQCB .EP=BQ CapbcfPB+BQ+PQ=PB+EP+PQfBE+PQ=4+CP.-.CP±AB时，PBQ周长最小当CP,AB时，CP=BCsin60=273 .PBQ周长最小为4+2>/3（3）当点B与点P重合时，P,B,Q不能构成三角形当0WM6时，由旋转可知，/CPE之CQB,/CPQ=/CPB+/BPQ

11、=60°则：/BPQ+/CQB=60°,又/QPB+ZPQC+ZCQB+ZPBQ=180/CBQ=1806060=60°/QBP=60；/BPQ<60°,所以/PQB可能为直角由（1）知，4PCQ为等边三角形，/PBQ=60,°/CQB=30°/CQB=/CPB/CPB=30°/CEB=60；/ACP=/APC=30°PA=CA=4,所以AP=AE-EP=6-4=2所以t=212s当6vtv10时，由/PBQ=120°>90°,所以不存在当t>10时，由旋转得：/PBQ=60&

12、#176;,由（1）得/CPQ=60°/BPQ=/CPQ+ZBPC=60+°ZBPC,而/BPO0°,/BPQ>60°/BPQ=90,°从而/BCP=30,°BP=BC=4所以AP=14cm所以t=14s综上所述：t为2s或者14s时，符合题意。点睛：此题主要考查了旋转图形变化的应用，结合平行四边形、等边三角形、全等三角形的判定与性质，进行解答即可，注意分类讨论思想的应用，比较困难4.如图1,四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点（点G与CD不重合），以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG连接BG,DE.（1）猜

13、想图1中线段BG线段DE的长度关系及所在直线的位置关系，不必证明；将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针方向旋转任意角度”得到如图2情形.请你通过观察、测量等方法判断中得到的结论是否仍然成立，并证明你的判断.（2）将原题中正方形改为矩形（如图3、4）,且AB=a,BC=b,CE=kaCG=kb（ahk>0）,第（1）题中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图由.4为例简要说明理.一一一1（3）在第（2）题图4中，连接DGBE,且a=3,b=2,k=-,求BE2+DG2的值.【答案】（1）BG，DE,BG=DE;BG，DE,证明见解析；（2）BG±DE,证明见解析；（3）

14、16.25.【解析】分析：（1）根据正方形的性质，显然三角形BCG顺时针旋转90。即可得到三角形DCE,从而判断两条直线之间的关系；结合正方形的性质，根据SAS仍然能够判定BC84DCE,从而证明结论；（2）根据两条对应边的比相等，且夹角相等可以判定上述两个三角形相似，从而可以得到（1）中的位置关系仍然成立；（3）连接BE、DG.根据勾股定理即可把BH+DG2转换为两个矩形的长、宽平方和.详解：（1）BG±DE,BG=DE;四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，.BC=DQCG=CE/BCD=/ECG=90,°/BCG=ZDCE.,.BCGADCEBG=DE,/CBG=Z

15、CDE又/CBG+/BHC=90,/CDE+/DHG=90；.BG±DE.（2）AB=a,BC=b,CE=kaCG=kb,BCCGbDCCEa又/BCGNDCE.BCGDCE/CBG=ZCDE又/CBG+/BHC=90,/CDE-+ZDHG=90;.BGDE.(3)连接BE、DG.根据题意，得AB=3,BC=2,CE=1.5,CG=1,BG±DE,/BCD=ZECG=90BE2+DG2=BO2+OE2+DO2+OG2=BC2+CC2+CE?+CG2=9+4+2.25+1=16.25.点睛：此题综合运用了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质以及勾股定理.5.已知：在

16、ABC中，BC=a,AC=b,以AB为边作等边三角形ABD.探究下列问题：(1)如图1,当点D与点C位于直线AB的两侧时，a=b=3,且/ACB=60,则CD,；(2)如图2,当点D与点C位于直线AB的同侧时，a=b=6,且/ACB=90,则CD=;(3)如图3,当/ACB变化，且点D与点C位于直线AB的两侧时，求CD的最大值及相应的/ACB的度数.【答案】(1)3尸；(2)仙6久，；(3)当/ACB=120时，CD有最大值是a+b.【解析】【分析】(1) a=b=3,且/ACB=60,AABC是等边三角形，且CD是等边三角形的高线的2倍，据此即可求解；(2) a=b=6,且/ACB=90,A

17、ABC是等腰直角三角形，且CD是边长是6的等边三角形的高长与等腰直角三角形的斜边上的高的差；(3)以点D为中心，将4DBC逆时针旋转60。，则点B落在点A,点C落在点E.连接AE,CE,当点E、A、C在一条直线上时，CD有最大值，CD=CE=a+b【详解】(1) ,.a=b=3,且/ACB=60, .ABC是等边三角形，.OC=工,W.CD=3Yb;3y(3)以点D为中心，将4DBC逆时针旋转60。，则点B落在点A,点C落在点E,连接AE,CE,.CD=ED,/CDE=60,°AE=CB=a .CDE为等边三角形， .CE=CD当点E、A、C不在一条直线上时，有CD=C氏AE+AC=

18、a+b当点E、A、C在一条直线上时，CD有最大值，CD=CE=a+b只有当/ACB=120时，/CAE=180,即A、C、E在一条直线上，此时AE最大./ACB=120,°因此当/ACB=120时，CD有最大值是a+b.【点睛】CD有最大值的条件,本题主要考查了等边三角形的性质，以及轴对称的性质，正确理解是解题的关键.6.在4ABC中,AB=6,AC=BC=各4ABC绕点A按顺时针方向旋转，得到4ADE旋转角为a(0°<av180。)，点B的对应点为点D,点C的对应点为点E连接BD,BE.(1)如图，当a=60时，延长BE交AD于点F.求证：ABD是等边三角形；求证：

19、BF±AD,AF=DF;请直接写出BE的长；(2)在旋转过程中，过点D作DG垂直于直线AB,垂足为点G,连接CE当/DAG=/ACB且线段DG与线段AE无公共点时，请直接写出BE+CE勺值.【答案】(1)详见解析；3招-4；(2)13.【解析】试题分析：(1)由旋转性质知AB=AD,/BAD=60即可得证；由BA=BDEA=ED根据中垂线性质即可得证；分别求出BF、EF的长即可得；(2)由/ACB+/BAC+ZABC=180、°/DAG+ZDAE+ZBAE=180、°/DAG=ZACB/DAE=ZBAM/BAE=/BAC且AE=AC根据三线合一可得CE!AB、AC

20、=&AH=3,继而知CE=2CH=8BE=5,即可得答案.试题解析：(1):ABC绕点A顺时针方向旋转60°得到AADE,.AB=AD,/BAD=60；.ABD是等边三角形；由得4ABD是等边三角形，.AB=BD,ABC绕点A顺时针方向旋转60得到ADE,.AC=AEBC=DE又AC=BCEA=ED 点B、E在AD的中垂线上， .BE是AD的中垂线， 点F在BE的延长线上， BFXAD,AF=DF；由知BFXAD,AF=DF,.AF=DF=3,.AE=AC=5,EF=4,.在等边三角形ABD中，BF=AB?sinZBAF=6XL=3”写,BE=BF-EF=3石-4；(2)如图

21、所示， /DAG=/ACB,/DAE=ZBAG, /ACB+/BAC+ZABC=ZDAG+ZDAE+ZABC=180,又/DAG+ZDAE+/BAE=180,ZBAE=ZABC, .AC=BC=AEZBAC=ZABC,ZBAE=ZBAC, ABXCEL,且C+HECE, .AC=BC,1.AH=BH=.AB=3,贝UCE=2CH=8BE=5,.BE+CE=13考点：三角形综合题.7. (1)观察猜想如图，在ABC中，/BAC=90,AB=AC点D是BC的中点.以点D为顶点作正方形DEFG使点A,C分别在DG和DE上，连接AE,BG,则线段BG和AE的数量关系是(2)拓展探究将正方形DEFG绕点

22、D逆时针方向旋转一定角度后(旋转角度大于0°,小于或等于360°),如图2,则(1)中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由.解决问题若BC=DE=2在(2)的旋转过程中，当AE为最大值时，直接写出AF的值.连接AD.ABC是等腰三直角角形，ZBAC=90。，点D是BC的中点./ADB=90；且BD=AD./BDG=/ADB-/ADG=90-/ADG=/ADEDG=DE.,.BDGAADE,.BG=AE.分7(3)由(2)知，BG=AE,故当BG最大时，AE也最大.正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转270°时，BG最大，如图.若BC=DE

23、=2,贝UAD=1,EF=2.在RtMEF中,AF2=AE2+EF2=(AD+DE)2+EF2=(1+2)2+22=13.AF=-【解析】解：(1)BG=AE.(2)成立.如图，连接AD.ABC是等腰三直角角形，ZBAC=90。，点D是BC的中点./ADB=90；且BD=AD./BDG=/ADB-/ADG=90-/ADG=/ADE,DG=DE.,.BDGAADE,.BG=AE.(3)由(2)知，BG=AE,故当BG最大时，AE也最大.Z+X+X+K因为正方形DEFG在绕点D旋转的过程中，G点运动的图形是以点D为圆心，DG为半径的圆，故当正方形DEFG旋转到G点位于BC的延长线上(即正方形DEF

24、G绕点D逆时针方向旋转270°)时，BG最大，如图.若BC=DE=2,贝UAD=1,EF=2.在RtAEF中，AF2=AE2+EF2=(AD+DE)2+EF2=(1+2)2+22=13.AF=.即在正方形DEFG旋转过程中，当AE为最大值时，AF=Jfj.8.在4AOB中，C,D分别是OA,OB边上的点，将OCD绕点O顺时针旋转到OCD'(1)如图1,若/AOB=90,OA=OB,C,D分别为OA,OB的中点，证明：AC=BD；ACBD'(2)如图2,若AOB为任意三角形且/AOB=),CD/AB,AC与BD交于点E,猜想ZAEB=程否成立？请说明理由.【答案】(1)

25、证明见解析;(2)成立，理由见解析【解析】试题分析：(1)由旋转的性质得出OC=O'C,OD=OD,/AOC±BOD,证出OC=OD由SAS证明AOC0BOD,得出对应边相等即可；由全等三角形的性质得出/OACJOBD,又由对顶角相等和三角形内角和定理得出/BEA=90即可得出结论；(2)由旋转的性质得出OC=O'C,OD=OD,/AOC士BOD,由平行线得出比例式=,得出gQ=%证明AOCsBOD,得出/OAC士OBD再由对顶角相OAOR等和三角形内角和定理即可得出/AEB=9.试题解析：(1)证明：.一OCD旋转至ijOC口.OC=OC；OD=OD；/AOC

26、9;/BOD； .OA=OB,C、D为OA、OB的中点， .OC=OD, .OC'=QD'OA-OB=上叩在AAOC和ABOD中，OC=OD, .AOC经BOD'(SAS, .AC'=BD'延长AC'交BD'于E,交BO于F,如图1所示： .AOC经BOD', /OAC'/OBD；又/AFO=ZBFE,/OAC廿AFO=90, /OBD'/BFE=90,°/BEA=90,° ACLBD'(2)解：/AEB7成立，理由如下：如图2所示：.OCD旋转到OC',D'.OC=OC

27、；OD=OD；/AOCNBOD；1. CD/AB,OCOD=OAOE'WOD'.=Q.二OC'_OA二二又/AOC±BOD,.AOCABOD；/OAC'/OBD；又/AFO=ZBFE,/AEB=/AOB=Q考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；旋转的性质.9.如图1,正方形ABCD与正方形AEFG的边AB、AE(ABvAE)在一条直线上，正方形AEFG以点A为旋转中心逆时针旋转，设旋转角为如在旋转过程中，两个正方形只有点A重合，其它顶点均不重合，连接BE、DG.(1)当正方形AEFG旋转至如图2所示的位置时，求证：BE=DG(2)当点C

28、在直线BE上时，连接FC,直接写出/FCD的度数；(3)如图3,如果汗=45°,AB=2,AE=W,求点G至UBE的距离.16寸5【答案】(1)证明见解析；(2)45。或135。；(3)5试题分析：(1)根据正方形的性质可得AB=AD,AE=AG,/BAD=/EAG=90,再求出/BAE=ZDAG,然后利用边角边”证明ABE和4ADG全等，根据全等三角形对应边相等证明即可.(2)当点C在直线BE上时，可知点E与C重合或G点C与重合，据此求解即可.IIII15AH=5&AEG=亍5正方段EFC16S6SEC=-BEh=2V5XA=16根据2和22求解即可.试题解析：（1）如图2

29、,二四边形ABCD是正方形，AB=AD,/BAE+/EAD=90.四边形AEFG是正方形，AE=AG,/EAD+ZDAG=90:/BAE=ZDAG.ABEAADG（SAS，BE=DG.(2)如图，当点C在直线BE上时，可知点E与C重合或G点C与重合，此时/FCD的度数为45°或135°.(3)如图3,连接GRGE.由已知“=45；可知/BAE=45.又.GE为正方形AEFG的对角线，ZAEG=45.1.AB/GE.麻.GE=8.1Ra=5也AWE二正方先0EFG=16.过点B作BHAE于点H.AB=2,.=4"=产.悴二3A=设点G到BE的距离为h.11旌二%BE

30、*h=qX2、5xh点G至ijBE的距离为考点：1.旋转的性质；2.正方形的性质；3.全等三角形的判定和性质；4.平行的判定和性质；5.勾股定理；6.分类思想的应用.A,10.思维启迪：(1)如图1,A,B两点分别位于一个池塘的两端，小亮想用绳子测量B间的距离，但绳子不够长，聪明的小亮想出一个办法：先在地上取一个可以直接到达B点的点C,连接BC,取BC的中点P(点P可以直接到达A点)，利用工具过点C作CD/AB交AP的延长线于点D,此时测得CD=200米，那么A,B间的距离是/图】思维探索：(2)在4ABC和4ADE中，AC=BC,AE=DE,且AEvAC,ZACB=ZAED=米.90

31、6;,将AADE绕点A顺时针方向旋转，把点E在AC边上时ADE的位置作为起始位置(此时点B和点D位于AC的两侧)，设旋转角为“连接BD,点P是线段BD的中点，连接PC,PE.如图2,当4ADE在起始位置时，猜想：PC与PE的数量关系和位置关系分别是 如图3,当5=90。时，点D落在AB边上，请判断PC与PE的数量关系和位置关系，并证明你的结论； 当“=150°时，若BC=3,DE=l,请直接写出PC2的值.【答案】(1)200;(2)PC=PE,PCXPE;PC与PE的数量关系和位置关系分别是PC=PE,PCXPE,见解析；PC2=103反.2【解析】【分析】(1)由CD/AB,可得/C=/B,根据/APB=/DPC即可证明ABPDCP,即可得AB=CD,即可解题.(2)延长EP交B