数列通项公式用求法及构造法

1、数列通项公式的常用求法构造法求数列通项公式一、构造等差数列求数列通项公式运用乘、除、去分母、添项、去项、取对数、待定系数等方法，将递推 公式变形成为f(n+1) f(n)=A (其中A为常数)形式，根据等差数列的定义知f(n)是等差数列，根据等差数列的通项公式，先求出 f(n)的通项公式，再根据f(n)与an,从而求出an的通项公式。例1在数列an中，a1 = - , an41 = 3a ( n w N +)求数歹U an通项公式.2an 33an解析：由an41- an 43住P,an+1On=3an+13On=0 ,两边同除以ah+1On住P,an 1 an 3 ，设bn=/,则bn+1-

2、 bn=3 ,根据等差数列的定义知， an3数列bn是首项b1=2,公差d=的等差数列，根据等差数列的通项公式得bn=2+ i (n-1) =1n+1 333数列通项公式为an= n5CC 2例2在数列 ch中，Sn是其前n项和，且SnW0, a1=1, an=7Sn； (n>2),求Sn与an2 ,一20 2解析：当n2时，an=Sn-Sn-1代入& =纂得，Sn-Sn-仔矣，变形整理得Sn-Sn-1= SnSn-1?两边除以SnSn-1得，J-白=2,. / 是首相为1,公 2n 2n _12n差为2的等差数列.七=1+2 (n-1) =2n-1, . Sn= 2h(n>

3、;2),n=1 也适合，.二 Sn=in(n>1)当 n)2 时，ai=Sn-Sn-1=21-21：3 =- 2_2 0，n=1 不满足此式，2n t 2n y 4n2 _8n 31 n =14n2 -8n 3n -2 - a1=_2、构造等比数列求数列通项公式运用乘、除、去分母、添项、去项、取对数、待定系数等方法，将递推公 式变形成为f (n+1) =Af (n)(其中A为非零常数)形式，根据等比数列的定义知f(n)是等比数列，根据等比数列的通项公式，先求出f(n)的通项公式，再根据f(n)与a。，从而求出an的通项公式。例3在数列an中，ai=2, an=an-i2(n>2),

4、求数列an通项公式。解析：= ai=2, an=an-i2(n>2)>0,两边同时取对数得，lg an=2lg an-i.绘=2,根据等比数列的定义知，数列 lg an是首相为lg2,公比为n i2的等比数列，根据等比数列的通项公式得lg an=2n-ilg2= lg22n i 数列通项公式为an=22 一评析：本例通过两边取对数，变形成logan =2logan形式，构造等比数列og an,先求出log an的通项公式，从而求出an的通项公式。例4在数列an中，ai=i, an+i=4an+3n+i,求数列an通项公式。解析：设an+i+A (n+i) +B=4 (an+An+B

5、), (A、B为待定系数)，展开得 3A=3 A =i3B - A =ia+i=4an+3An+3B-A ,与已知比较系数得.2 '-an+i+ (n+i) +2=4 (an+n+f ),根据等比数列的定义知，数列 ai+n+l 是首项为|,公比为q=3的等比数列，. an+n+f = -8- x 33333n-i 数列通项公式为an= 1- X3n-i-n- 1例5在数列an中，ai=i , an+ian=4n ,求数列 an通项公式。解析：an+ian=4nanan-i=4 ni两式相除得手 =4 ,n i_ '-ai,a3,a=与 a 2,a 4, a6 是首相分别为ai

6、,a 2,公比都是 4的等比数列，又,ai=i, an+ian=4n ,a2=44 2, , a!=n42等差等比混合构造法i anan4数列有形如f(an，an*anan=)=0的关系，可在等式两边同乘以 ，先求出13,再求得a an例6.设数列an满足a1 = 2, aan、(n w N),求 an.an 31 .一解：原条件变形为an书,an +3 an+ =an.两边同乘以，得an an 1113 anan 1, 11. 3(，+!)an211113-,.-=3an 12a n22.a =2 3nl -1四、辅助数列法有些数列本身并不是等差或等比数列，但可以经过适当的变形，构造出一个

7、新的数列为等差或等比数列，从而利用这个数列求其通项公式。例 7.在数列an 中，a1 = 1 , a2 = 2 , an 也21斛析： 在 an2 = - an书+-an两边减去 an书,33 an书-an ）是以a2-a1 =1为首项，以21 小= §an书 +3an ,求 an。得 an 2 - an 1 = _ (an 1 - an)31 -1为公比的等比数歹I,3an书-an =(-1)1,由累加法得3an=(an -an) 缸an/) (a2 -a1) a1= (1)2 +(1)2 +(1) +1 +1 = 33313= -1 _(一尸17_3(广4 43练习*1、在数列

8、an中，a1二1, an+1=3an+2n (nN*),求数列 an通项公式 解：由 an+1=3an+2n (nCN*)得，an+1+2n+1=3 (an+2n) (nCN*),设bn= an+2n贝 bn+1=3bn,甘=3,根据等比数列的定义知，数列bn是首相b1=3,公比为q=3的等比数歹！J, 根据等比数列的通项公式得bn=3n,即an+2n=3n,数列通项公式为an=3n-2n 注意：2n+1-2n=2n2、在数歹U an中，a1 =1 , an书=an -2n +3 ,求数列的通项公式解：、由an噂=an -2n+3得，(an书+2n*)-(an +2n) = 3 ,根据等差数列

9、的定义知，数列a。+2n是首项为3,公差为3的等差数列，所以an +2n =3n ,所以 an =3n -2n3、已知数列an满足 a1 =2 , an+=nan ,求an3n 1解：由条件知 亘土 =,分别令n = 1,2,3,.,；(n1),代入上式得(n1)个 ann 1等式累乘之，即丝.曳包,亘-2 3:：心=包=工a1a2 a3an12 3 4na1n2 2又.a1 = 一，二 an =3 3n4 .数列a n满足a1=1, an=；an+1 (n>2),求数列an的通项公式。解：由 an = an,+1 (n>2)得 an 2= (an, 2),而 a1 2=1 2=

10、1,221数列 an2是以 n 4为公比，一1为首项的等比数列an -2=- (-) 2；an=2 (-) n225.数列如中，a =1但=2,3an-2 =2an书+an,求数列Q 的通项公式。2_1 -斛.由 3an 七2an 书 +an 行 anH2 - an 由an,设 an 七一kan 七 一 h（an+ kan ）332 1 . 一1 .1比较系数得 k+h=-,-kh=-,解得 k=1,h =-一或k = 一一，h = 13 33311右取 k =1,h =一 ,则有 an七an+ = q（an由-an）33I -1.二*川是以-3为公比，以a-L, , an 1 - an -（

11、 - 2） -1为首项的等比数列由逐差法可得 an = (an - an j) - (an1 - an j) -，(a2 -a1), a1«1广，旷一（42«3）+i+11-(-1广31 131 = 3 1 一(一1尸14_3；7 3 （仆二一一 （一一）4 43对于任意正整数n,都有等式:6.设各项均为正数的数列an的前n项和为Sn ,an2+2an =4Sn成立，求Qn 的通项an.斛：an *2an =4Sn = an + 2an= 4Sn J , 22an -and 2an -2and-4(Sn -SnJ)- 4an即an是以2为公差(an+an)(an-anj.-

12、2)=0, - an+an#。， an an j = 2 .的等差数列，且a12 2a1 = 4a1 = a1 =2.an =2 2（n -1） =2n7 .设an是首项为1的正项数列，且a2 a：nannan= 0, （nCN*）,求数 列的通项公式an.解：由题设得（an an）（an -an-n）=。.an >0 ， an a >0 ，an +an>0.an =a1 (aLa1) (a3-a2)(an-anA1 2 3 n二中8 .数列&n中，ai =1 ,前n项的和Sn = n2an,求an书. 2解：a"Sn -Sn, =n2an -(n-1)2a

13、n：(n2-1)an =(n-1)2an一.J_nz1 r 一 ) ann 1anan.a2 a n -1 n-2. 111 an - ai 二二一 -anan 2a1n 1 n 3 2 n(n 1)1, , an i (n 1)(n 2)9.设正项数列 弧满足ai =1 , an =2a2j (n>2).求数列a的通项公式.解：两边取对数得：log2n =l+2logan log；n+ 1 = 2(log 片十 1),设 bn = logan+1,则 bn =2bn4In是以2为公比的等比数列,bi nogl + in.bn =1父2n=2n，logan+1=2n=，logan=2nq

14、_1,. _02n an =2总结而运用待定系数法变换递推式中的常数就是一种重要的转化方法。递推式一般为：am = pan + f (n); an = pan+qn(1)通过分解常数，可转化为特殊数列an+k的形式求解。一般地，形如an=pan+q (pwl, pqw。)型的递推式均可通过待定系数法对常数q分解法：设 an书+k=p (an+k)与原式比较系数可得pk k=q,即k=-、，从而得等比数列 an+k。(2)通过分解系数,可转化为特殊数列an -a。的形式求解。这种方法适用于 an七 =pan.+qan型的递推式，通过对系数p的分解，可得等比数列an-an： 设an也-kan+ =

15、h(an+ -kan),比较系数得 h + k = p,hk =q ,可解得 h,k。3、构造法构造法就是在解决某些数学问题的过程中，通过对条件与结论的充分剖析， 联想出一种适当的辅助模型，进行命题转换，产生新的解题方法，这种思维方法 的特点就是“构造”.若已知条件给的是数列的递推公式要求出该数列的通项公 式.(1)构造等差数列或等比数列由于等差数列与等比数列的通项公式显然，对于一些递推数列问题，若能构造等差数列或等比数列，无疑是一种行之有效的构造方法.(2)构造差式与和式解题的基本思路就是构造出某个数列的相邻两项之差，然后采用迭加的方法就可求得这一数列的通项公式.(3)构造商式与积式构造数列

16、相邻两项的商式，然后连乘也是求数列通项公式的一种简(4)构造对数式或倒数式有些数列若通过取对数，取倒数代数变形方法，可由复杂变为简单，使问题得以 解决.补充一般方法：一、定义法这种方法适应直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法, 于已知数列类型的题目.例1.等差数列an是递增数列，前n项和为Sn,且a1, a3, a9成等比数列,c2S5 =a5.求数列an的通项公式解：设数列an公差为d(dA0)2.a1, a3, a9成等比数列，a3 =a1a9, 22.即(a1 +2d) =a1(a1 +8d),得 d =a1d d #0; a1 =d S5 "d 二 (a124

17、d)2l 5 45a12由得：3 an =53 a1 =53(n -1)5d=353二一 n5二、累加法求形如 an-a n-1=f(n) 通项，可用累加法，即令(f(n)为等差或等比数列或其它可求和的数列)的数列 n=2, 3, n 1得到n1个式子累加求得通项。1an 二an例2.已知数列an中，a1 = 1,对任意自然数n都有Mn+D，求an .1一 .一，an an 解：由已知得an J - an/n(n +1),1(n -1)n ,a3 1a2 =3M4 ,1a2 * =2M3 , 以上式子累加，利用n(n +1) n n +1 得111111!- 11_.an- a1 = 23(n

18、-2)(n-1) (n-1)n n(n+1)=2 n + 1,31an三、累乘法咄=f(n)对形如an的数列的通项，可用累乘法，即令 n=2, 3, - n-1得到n-1个式子累乘求得通项。1例3.已知数列以中，a1 =3 ,前n项和Sn与an的关系是S =n(2n-1)an ,求 通项公式an.解：由 & =n(2n -1)an 得 Sn=(n -1)(2n -3)an J.两式相减得：(2n+1)an =(2n-3)an, ,an2n -3 2n +1 ,an _2 2n -1ai 5将上面n1个等式相乘得：an(2n -3)(2n -5)(2n -7)|l|3 1 _3ai -

19、(2n 1)(2n -1)(2n -3)|l|7 5 - (2n 1)(2n -1)1an .(2n 1(2n -1)四、公式法若已知数列的前 n项和Sn与an的关系，求数列an的通项an可用公式Snn =1an = *Sn-SnJn 之2 求解。例4.已知数列L )的前n项和Sn满足Sn = 2an+(-1)n,n>1求数歹an 的 通项公式；解：由 a1 =s =2a1 1,彳3 a =1.当 n 上2时，有 an =Sn-Sn_L =2(an - an,)+ 2 乂(7),an =2七2 (-1广，an A =2. 2 (-1广,a2 = 2a1 - 2.a =21al -2n1 (-1) 2n(-1) 川 2 (T尸=2n1 (-1)n(-2)n'(-2尸(-2):*_(_1产-(-2尸 3=，2