2011年深圳高三年级第二次调研考试数学理科

1、试卷类型：A A2011年深圳市高三年级第二次调研考试数学(理科)2011.4本试卷共6页，21小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损，监考教师分发的考生信息条形码是否正确；之后务必用0.5毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，同时，将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损.2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上.不按要求填涂的，答案无效.3.非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签

2、字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答.漏涂、错涂、多涂的答案无效.5.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回.1八参考公式：若锥体的底面积为S,高为h,则锥体的体积为V=Sh.3若XB(n,p),则E(X)=np,D(X)=np(1p).一、选择题：本大题共 8 个小题；每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.1.设集合

3、U=1,2,3,4,5,A=1,2,B=2,3,4,则u(AUB)等于A.2B.5C.1,2,3,4D.1,3,4,52 .复数z(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于1-iA.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限绝密启用前3 3.已知a a, ,b b是非零向量，则a a与b b不共线是|a+ba+b|a a|+|b b|的A.充分非必要条件BC.充分必要条件D.必要非充分条件.， 既非充分也非必要条件24 4 . .已知双曲线今 a a2=1的一条渐近线方程为b b2A.3 3y=-x,y=-x,则此双曲线的离心率为4 4也D.近34345.甲，乙，丙三名运动员在某次测试中各射击2

4、0次，三人测试成绩的频率分布条形图分别如图1,图2和图3,若电，电，S丙分别表示他们测试成绩的标准差，则B.S甲酶S乙D.$丙辨S乙6.已知ABC中，/A=30：AB,BC分别是3+72,点一J2的等差中项与等比中项，则4ABC的面积等于八.33,3333A.B.C.或寸3D.或7.学校准备从5位报名同学中挑选3人，分别担任2011年世界大学生运动会田径、游泳和球类3个不同项目比赛的志愿者，已知其中同学甲不能担任游泳比赛的志愿者，则不同的安排方法共有A.24种B.36种C.48种D.60种8.设A=（a,c）|0a2,0c2,a,cwR R匕则任取（a,c）wA,关于x的方程ax2+2x+c=

5、0有实根的概率为八1ln21-ln2八12ln23-2ln2A.B.C.D.二、填空题：本大题共 7 小题，每小题 5 分，满分 30 分.本大题分为必做题和选做题两部分.（一）必做题：第 9、10、11、12、13 题为必做题，每道试题考生都必须做答.一一21549. .一项式 x x- -I I 的展开式中含 x x 的项的系数是（用数字作答）.1kxj10. .已知函数 f f（x x）=2=2x x1+1+2 2 的定义域是 R R，则 f f（x x）的值域是.正视图左视图11.如图4,已知一个锥体的正视图（也称主视图），/左视图（也称侧视图）和俯视图均为直角三角形，/且面积分别为3

6、,4,6,则该锥体的体积是/用用俯视图图4a12.如果对于任意的正实数x,不等式x+a21恒成立，则a的取值范围是.x13.如图5,一个树形图依据下列规律不断生长：Q，第1行1个空心圆点到下-行仅生长出1个实心圆点，”第2仃3As?:二s乙：二S丙C.瓯:：郭：:S789图110环数78910环数图278910环数图31个实心圆点到下一行生长出1个实心圆点和1个空心圆点.则第11行的实心圆点的个数是.（二）选做题：第 14、15 题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的得分.14.（极坐标与参数方程选做题）在平面直角坐标系x=cos中.一,（平为参数，中w0,2n）.若以O为极

7、点，以y=1+sin中.（几何证明选讲选做题）如图6,直角三角形ABC中,ZB=90XAB=4,以BC为直径的圆交AC边于点D,AD=2,则ZC的大小为解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤设函数f(x)=sinxsinI1（D若0=,求f（x）的最大值及相应的x的集合；2（2）若x=一是f（x）的一个零点，且0010,求仍的值和f（x）的最小正周期.8为了评估天气对大运会的影响， 制定相应预案， 深圳市气象局通过对最近统计分析，发现8月份是我市雷电天气高峰期，在31天中平均发生雷电14.57天（如图7）.如果用频率作为概率的估计值，并假定每一天发生

8、雷电的概率均相等，且相互独立.（1）求在大运会开幕（8月12日）后的前3天比赛中，恰好有2天发生雷电天气的概率（精确到0.01）;（2）设大运会期间（8月12日至23日，共12天），发生雷电天气的天数为X,求X的数学期望和立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为15.xOy中，曲线C的参数方程为16.（本小题满分12分）17.（本小题满分12分）50多年的气象数据资料的X轴正半轴为极轴建图718.(本小题满分14分)1如图8,在直角梯形ABCD中，AB/CD,AB_LAD,且AB=AD=CD=12现以AD为一边向形外作正方形ADEF,然后沿边AD将正方形ADEF翻折，使平面ADEF与平面ABCD互相

9、垂直，如图9.(1)求证：平面BDE_L平面BEC;(2)求平面ABCD与平面EFB所成锐二面角的大小.19.(本小题满分14分)平面直角坐标系中，已知直线l:x=4,定点F(1,0),动点P(x,y)到直线l的距离是到定点F的距离的2倍.(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)若M为轨迹C上的点，以M为圆心，MF长为半彳5作圆M,若过点E(-1,0)可作圆M的两条切线EA,EB(A,B为切点)，求四边形EAMB面积的最大值.20.(本小题满分14分)执行下面框图所描述的算法程序，记输出的一列数依次为a1,a2，an,neN*N*, ,nM2011.(注:框图中的赋值符号“=”也可以写成“.”或“

10、：=”)(1)若输入九=22,写出输出结果；(2)若输入z=2,求数列an的通项公式；(3)若输入九2,令 a=an-p,求常数p(p#1),使得a是等比数列.pan-1图1021.(本小题满分14分)已知函数f(x)满足如下条件：当xw(-1,1时，f(x)=lnX+1),且对任意xwR,都有f(x+2)=2f(x)+1.(1)求函数f(x)的图象在点(0,f(0)处的切线方程；(2)求当xW(2k1,2k+1,kwN*时，函数f(x)的解析式；(3)是否存在xk(2k-1,2k+1,k=0,1,2,，2011,使得等式2011、2kxk-f(xk)=4019220122017k=0成立？若

11、存在就求出xk(k=0,1,2,，2011),若不存在，说明理由.2011年深圳市高三年级第二次调研考试数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.2、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分.3、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数.13.5514.P=2sin8

12、15.30*三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分.16.(本小题满分12分)设函数f(x)=sin0 x+sin仍x-三,xeR.2_1(D若切=,求f(x)的最大值及相应的x的集合；2一、4兀一一一.一.一一_一一.(2)若x=一是f(x)的一个零点，且0缶10,求缶的值和f(x)的最小正周期.8M(兀).解(1)f(x)=sinccx+sinox-=sinox-coscox,2J11xx厂fxn当 0=一时，f(x)=sincos-=2sin一一I，,22224)而1sinL1,所以f(x)的最大值为J2,24x.丹,三.3二此时，x=+2k4kWZ,即x=3-+4kjkwZ,一

13、、选择题：本大题共 8 个小题；每小题 5 分，共 40 分.题号12345678答案BBAADDCC二、填空题：本大题共 7 小题，每小题 5 分，满分 30 分.第 913 题为必做题，第 14、题为选做题，两题全答的，只计算前一题的得分.1511、一1、9.1010.-|11.412.|十8II22JJ24223-.相应的x的集合为x|x=+4kn,kwZ Z.,6分2、，Lf兀、(2)(法一)因为f(x)=42sincoxi,4J所以，x=一是f(x)的一个手点 ufUsin一一i=0,8分88；184J即空LE=kn,kwZ,整理，得0=8k+2,841.一又0co10,所以08k+

14、210,k1,而kwZ,所以k=0,切=2,10分4f(x)=V2sin2x-i,f(x)的最小正周期为n.,12分I4；/、，一、兀一一,，入工，一兀1con切冗一(法一)x=一是f(x)的一个手点 ufi=sin-cos=0,88J88rtrr,江/c 八即tan=1.,8分8所以=kn+2,kwZ,整理，得切=8k+2,841又0MEM10,所以0c8k+2父10,1k1,而kwZ,所以k=0,0=2,10分4lrf(x)=J2sin2x-,f(x)的最小正周期为n.,12分I4；17.（本小题满分12分）为了评估天气对大运会的影响，制定相应预案，深圳市气象局通过对最近50多年的气象数据

15、资料的统计分析，发现8月份是我市雷电天气高峰期，在31天中平均发生雷电14.57天（如图7）.如果用频率作为概率的估计值，并假定每一天发生雷电的概率均相等，且相互独立.（1）求在大运会开幕（8月12日）后的前3天比赛中，恰好有2天发生雷电天气的概率（精确到0.01）;（2）设大运会期间（8月12日至23日，共12天），发生雷电天气的天数为X,求X的数学期望和方差.解（1）设8月份一天中发生雷电天气的概率为p,1457由已知p=-5-=0.47.,2分31因为每一天发生雷电的概率均相等，且相互独立，所以，在大运会开幕后的前3天比赛中，恰好有2天发生雷电天气的概率P=C2X0.472x（1-0.4

16、7）=0.351231之0.35.,6分（2）由已知XB（12,0.47）.,所以，X的数学期望E（X）=12父0.47=5.64.12分10分X的方差D(X)=12M0.47M10.47)=2.9892.18.（本小题满分14分）1如图8,在直角梯形ABCD中，AB/CD,AB_LAD,且AB=AD=CD=1.现以AD一2为一边向形外作正方形ADEF,然后沿边AD将正方形ADEF翻折，使平面ADEF与平面ABCD互相垂直，如图9.(1)求证：平面BDE，平面BEC;(2)求平面ABCD与平面EFB所成锐二面角的大小.证明(1)(法一)因为平面ADEF，平面ABCD,且平面ADEF仆平面ABC

17、D=AD,又在正方形ADEF中，ED_LAD,所以，ED，平面ABCD.,2分而BCu 平面ABCD,所以，ED_LBC.,3分在直角梯形ABCD中，CD=2,BD=AB2+AD2=J2,BC=v(CD-AB)2+AD2=2,所以，BD2+BC2=CD2,所以，BC_LBD.,4分又ED,BDu平面BDE,ED仆BD=D,所以，BC，平面BDE.而BC仁平面BEC,所以，平面BDE_L平面BEC.(法二)同法一，得ED_L平面ABCD.,以D为原点，DA,DC,DE分别为x,yz轴，建立空间直角坐标系.则D(0,0,0),B(1,1,0),C(0,2,0),E(0,0,1).,所以，BC=(-

18、1,1,0),而=(1,1,0),DE=(0,0,1),BCDB=(-1)父1+1父1+0父0=0,BCDE=(-1)父0+1父0+0父1=0,所以，BC!DB,BC_LDE.,5分又DB,DE不共线，DB,DEu 平面BDE,所以，BC，平面BDE.,6分而BC仁平面BEC,所以，平面BDE_L平面BEC.,7分解(2)(法一)因为EF/AD,EF平面ABCD,AD仁平面ABCD,所以，EF平面ABCD.2分因为平面EFB与平面ABCD有公共点B,所以可设平面EFBPl平面ABCD=BG,GwCD.因为EF/平面ABCD,EFu 平面EFB,平面EFBA平面ABCD=BG,所以EFBG.,1

19、0分从而，BGAD,又ABDG,且AB=1,CD=2,所以G为CD中点，ABGD也为正方形.,12分易知BG_L平面ECD，所以BG_LEG,BG_LDG.所以，ZEGD是平面ABCD与平面EFB所成锐二面角的平面角，而/EGD=45%所以平面ABCD与平面EFB所成锐二面角为45上,14分(法二)由(1)知，平面ABCD的一个法向量是m m=(0,0,1).,9分设平面EFB的一个法向量为n n=(x,y,z),因为EF=DA=(1,0,0),EB=DBDE=(1,1,0)(0,0,1)=(1,1,1)nn nEF=x=0,什 r八所以，n一,取y=1,得z=1,所以n n=(0,1,1).

20、,11分n nEB=xy-z=0.设平面ABCD与平面EFB所成锐二面角为9,口mnmn172“八则COSH=j=.,13分|m m|n n尬2所以平面ABCD与平面EFB所成锐二面角为45s.,14分19.(本小题满分14分)平面直角坐标系中，已知直线l:x=4,定点F(1,0),动点P(x,y)到直线l的距离是到定点F的距离的2倍.(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)若M为轨迹C上的点， 以M为圆心，MF长为半彳5作圆M,若过点E(1,0)可作圆M的两条切线EA,EB(A,B为切点)，求四边形EAMB面积的最大值.解(1)设点P到l的距离为d,依题意得d=2|PF|,即1x-4|=2v(x

21、-12+y2,2分22整理得，轨迹C的方程为二+2-=1.,4分43(2)(法一)设M(x,y),圆M:(xXO2+(yy02=r2,其中r=|MF|=d1)2+y2由两切线存在可知，点E在圆M外，所以，v(1x0f+(0-y05Av(x0-1f+y；,即x0a0,又M(%,y0汕轨迹C上的点，所以0%M2.+d1,一一.而|MF|=|xo_4|,所以，1|MF22由(1)知，E(1,0)为椭圆的左焦点,根据椭圆定义知，|ME|十|MF|=4,所以|ME|=4-r,而|MB|=|MF|=r,所以，在直角三角形MEB中，|EB|=，(4r)2r2=254-2r,1SAMEB=|EB|MB|=rv

22、4-2r,2由圆的性质知，四边形EAMB面积S=2SAMEB：即S=2,一23十4r2(1r2).3.2一一_2令y=2r+4r(1Er2),则y=6r+8r=2r(3r-4),-4._32当10,y=2r+4r单倜递增；3432当r2时，yU0,y=2r+4r单调递减.4所以，在r=一时，y取极大值，也是最大值，3/32此时Smax=22,4+4传)卜:,313；9(法二)同法一，四边形EAMB面积S=2SAMEB=2r/42r,其中1Er2.所以S=2jr(4-2r)2,令cn=正二艮，求常数pan-1(1)(2)14分10分所以，当，尸2时,一n-1一猜想an=,nWN*N*, ,n20

23、11.n以下用数学归纳法证明：n-11-1当n=1时，=（3）（法一）当九2时,1an1-2-aan1-1=?n012-anan-12-an而an中的任意一项均不为（否则的话，由an4=1可以得到1,an所以,=0#1矛盾），2-anan-1-1(常数)，nwN*,N*,n2010.是首项为-1,公差为-1的等差数列,.an-1,1所以，=-n,数列an的通项公式为anan-1二12011.,（法二）当儿=2时，由程序框图可知,a2a4猜想正确;假设n=k（n2010)时, 猜想正确.k-1ak那么，当n=k+1时,由程序框图可知,ak1由，根据数学归纳法原理，猜想19k-12一kn(k1)-

24、1k1-1正确，nw=k+1时，猜想也正确.n2011.c_an1-PCn1-Pan1-1-PanPanP1E_1an-P-an九1P一二1PP1Pan-(P,-P2)故存在常数p=因为an11-an即Cn4=p2cn,nWN*,n2011,21.(本小题满分14分)已知函数f(x)满足如下条件：当xw(1,1时，f(x)=lnX+1),且对任意xwR R, ,f(x+2)=2f(x)+1.(1)求函数f(x)的图象在点(0,f(0)处的切线方程；(2)求当xW(2k1,2k+1,kwN N*时，函数f(x)的解析式；(3)是否存在xk(2k-1,2k+1,k=0,1,2,，2011,使得等式2011x2kxk-f(xk)=4019220122017k=0成立？若存在就求出xk(k=0,1,2,，2011),若不存在，说明理由.1解(1)x51,1时，f(x)=ln(x+1),f(x)=，,2分x1所以，函数f(x)的图象在点(0,f(0)处的切线方程为yf(0)=f(0)(x0),即y=x.,3分(2)因为f(x+2)=2f(x)+1,所以，当xw(2k1,2k+1,kwN N*时，x-2k=(-1,1,4分P2i2pKp+1=0,p=九v儿2410分此时,2p-p1=pp+一Ip12