2019届高三数学复习--解析几何--圆锥曲线中的最值、范围、证明问题带答案

1、2019届高三数学复习解析几何一圆锥曲线中的最值、范围、证明问题(带答案)第16讲圆锥曲线中的最值、范围、证明问题1.2018?全国卷I设椭圆C:+y2=1的右焦点为F,过F的直线l与C交于A,B两点，点M的坐标为(2,0).(1)当l与x轴垂直时,求直线AM的方程；(2)设O为坐标原点，证明：/OMA=OMB.试做2.2016?全国卷H已知椭圆E:+=1的焦点在x轴上,A是E的左顶点，斜率为k(k>0)的直线交E于A,M两点，点N在E上,MAJ_NA.(1)当t=4,|AM|=|AN|时，求AAMN的面积;(2)当21AM|=|AN|时，求k的取值范围.试做3.2013?全国卷H平面直

2、角坐标系xOy中，过椭圆M:+=1(a>b>0)右焦点的直线x+y-=0交M于A,B两点,P为AB的中点，且OP的斜率为.(1)求M的方程；(2)C,D为M上两点，若四边形ACBD勺对角线CDLAB,求四边形ACB画积的最大值.试做命题角度圆锥曲线中的证明、范围与最值问题(1)解析几何证明题综合性较强，一般涉及位置关系、范围、定值、定点等，常用方法为：证明两直线平行或垂直的方法：a.若两直线的斜率均存在且两直线不重合，则一定有l1IIl2?k1=k2;b.若两直线斜率均存在，则一定有l1H2?k1?k2=-1.解决直线与圆锥曲线位置关系的证明问题，其常规思路是先把直线方程与圆锥曲线

3、方程联立，消元、化简,得到一元二次方程，然后应用根与系数的关系建立方程(组)，解决问题.(2)求解范围问题的常见方法：利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；利用基本不等式求出参数的取值范围；利用函数的值域求范围.(3)求圆锥曲线面积的最值问题的方法：转化为面积与某参量的函数，利用函数的性质求最值；得到关于面积的关系式后，利用基本不等式或求导求最值；结合圆锥曲线的几何性质求最值.解答1最值问题1已知P为椭圆C:+=1长轴上的一个动点，过点P的直

4、线l与C交于M,N两点，点M在第一象限，且3+=0.(1)若点N为C的下顶点，求点P的坐标；(2)若。为坐标原点，当AOMN勺面积最大时,求点P的坐标.听课笔记【考场点拨】求圆锥曲线中三角形面积的最值的关键：(1)公式意识，把求三角形的面积转化为求距离、求角等；(2)方程思想，即引入参数,寻找关于参数的方程；(3)不等式意识，寻找关于参数的不等式，利用基本不等式等求最值.【自我检测】已知抛物线C:y=-x2,点A,B在抛物线上，且横坐标分别为-,点P在曲线段AB上(不包括点A,B),过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.(1)求直线AP的斜率k的取值范围；(2)求|PA|?|PQ|的最大值.解答2

5、范围问题2已知椭圆E:+=1(a>b>0)的焦距为2c,且b=c,圆O:x2+y2=r2(r>0)与x轴交于点M,N,P为椭圆E上的动点，|PM|+|PN|=2a,PMN®积的最大值为.(1)求圆O与椭圆E的方程；(2)设圆O的切线l交椭圆E于点A,B,求|AB|的取值范围.听课笔记【考场点拨】圆锥曲线的范围问题的常见解法：(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系或不等关系或已知参数与新参数之间的等量关系等，则可利用这些关系去求参数的范围.【自我检测】已知抛物线y

6、2=4x的焦点为F,zABC的三个顶点都在抛物线上，且+=.(1)求B,C两点的纵坐标之积；(2)设入=?,求入的取值范围.解答3证明问题3已知椭圆G:+=1的左焦点为F,左顶点为A,离心率为e,点M(t,0)(t<-2)满足条件=e.(1)求实数t的值;设过点F的直线l与椭圆G交于P,Q两点，记AMP林口zMQF勺面积分别为S1,S2,证明：=.听课笔记【考场点拨】圆锥曲线的证明问题，常表现为证明相等、定值、过定点、点在曲线上等，一般是以直线与圆锥曲线为载体，综合使用圆锥曲线的性质及位置关系进行论证.【自我检测】已知点A是抛物线C:x2=2py上一点，且A到抛物线C的焦点的距离为.(1

7、)求抛物线C的方程；(2)若P是C上一动点，且P不在直线l:y=2x+9y0上,l交C于A,F两点，过P作直线垂直于x轴且交l于点M,过P作l的垂线，垂足为N,证明：二|AF|.第16讲圆锥曲线中的最值、范围、证明问题典型真题研析1.解:(1)由已知得F(1,0),l的方程为x=1.由已知可得，点A的坐标为1,或1,-,所以AM的方程为y=-x+或y=x-.(2)证明：当l与x轴重合时,/OMA=OMB=0.当l与x轴垂直时,OM为AB的垂直平分线，所以/OMA=OMB,当l与x轴不重合也不垂直时,设l的方程为y=k(x-1)(k30),A(x1,y1),B(x2,y2),则x1<,x2

8、<,直线MA,MB勺斜率之和为kMA+kMB=+.由y1=kx1-k,y2=kx2-k得kMA+kMB=.将y=k(x-1)代入+y2=1得(2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0,所以x1+x2=,x1x2=,贝U2kx1x2-3k(x1+x2)+4k=0,从而kMA+kMB=0,故直线MA,MB勺倾斜角互补，所以/OMA=OMB.综上，/OMA=OMB.2.解:(1)设M(x1,y1),则由题意知y1>0,当t=4时，椭圆E的方程为+=1,A(-2,0),由已知及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为，因此直线AM的方程为y=x+2,将x=y-2代入+=1得7y2-12y=0,

9、解得y=0或y=,所以y1=.因此4AMN勺面积$AMN=2XX=.(2)由题意知t>3,k>0,A(-,0).将直线AM的方程y=k(x+)代入+=1得(3+tk2)x2+2?tk2x+t2k2-3t=0.由x1?(-尸得x1=,故|AM|=|x1+|=.由题设知，直线AN的方程为y=-(x+),故同理可得|AN|=.由21AM|=|AN|得=,即(k3-2)t=3k(2k-1).当k=时上式不成立，因此t=.t>3等价于=<0,即<0,由此得或解得<k<2.因此k的取值范围是(，2).3.解:(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y

10、0),则+=1,+=1.=-1.由此可得=-=1.因为x1+x2=2x0,y1+y2=2y0,=,所以a2=2b2.又由题意知,M的右焦点为(,0),故a2-b2=3.因此a2=6,b2=3.所以M的方程为+=1.(2)由解得或因止匕|AB|二.由题意可设直线CD的方程为y=x+n-<n<,设C(x3,y3),D(x4,y4).由得3x2+4nx+2n2-6=0,于是x3,4=.因为直线CD的斜率为1,所以|CD|=|x4-x3|=.由已知，四边形ACBD勺面积S=|CD|?|AB|=.当n=0时,S取得最大值，最大值为.所以四边形ACB画积的最大值为.考点考法探究解答1例1解:(

11、1)易知N(0,-),由3+=0可得点M的纵坐标为.由点M在C上且M在第一象限，得M的横坐标为，从而l的方程为y=x-,令y=0,得x=,所以点P的坐标为(,0).(2)由题意可设P(n,0)(-2<n<2),直线l:x=my+n(m#0).将x=my+n与+=1联立，可得(3m2+4)y2+6mny+3n2-12=0，由=48(3m2-n2+4)>0,得3m2-n2+4>0.设M(x1,y1),N(x2,y2),则y1+y2=.由3+=0得y2=-3y1,所以y1=,y2=.因为y1?y2=,所以=,得n2=.OMN勺面积S=|n|y1-y2|=<=,当且仅当m

12、2=时等号成立，止匕时n2=,满足A>0.又因为x1=my1+n=n>0,所以n=，故当OMN勺面积最大时,点P的坐标为.【自我检测】解:(1)由题可知A,B，设P(xP,-),-<xP<,所以k=-xP+6(-1,1),故直线AP的斜率k的取值范围是(-1,1).(2)由题，直线AP:y=kx+k-,直线BQ:x+ky+k-=0,联立直线AP,BQ的方程可知点Q的横坐标xQ=,联立直线AP的方程和y=-x2可知点P的横坐标xP=-k.所以|PQ|=(xQ-xP)=,|PA|=(1-k),所以|PA|?|PQ|=(1-k)3(1+k).令f(x)=(1-x)3(1+x)

13、,-1<x<1,则f(x)=(1-x)2(-2-4x)=-2(1-x)2(2x+1),当-1<x<-时,f(x)>0,当-<x<1时,f'(x)<0,故f(x)在上单调递增，在上单调递减.故f(x)max=f=,即|PA|?|PQ|的最大值为.解答2例2解:(1)因为b=c,所以a=2c.因为|PM|+|PN|=2a,所以点M,N为椭圆的两个焦点,所以r2=c2=a2.设P(x0,y0),贝U-bWy0Wb,所以SzPMN=r?|y0|=a|y0|,当|y0|=b时,SzPMNt得最大值，所以ab=,所以可得a=2,b=,c=1.所以圆O

14、的方程为x2+y2=1，椭圆E的方程为+=1.当直线l的斜率不存在时，不妨取直线l的方程为x=1,A,B,所以|AB|=3.当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+m,因为直线l与圆相切，所以=1,即m2=1+k2.由消去y可得(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0,=48(4k2+3-m2)=48(3k2+2)>0,设A(x1,kx1+m),B(x2,kx2+m),则x1+x2=-,x1x2=.|AB|=?=4?=?.令t=,则0<t=&,所以|AB|=?=?,又0Vt&,所以3<|AB|<.综上,|AB|的取值范围是.【自我检测】解:

15、(1)设A,B,C.F(1,0),则=,=,=.+=,即.(y1+y2)2=,即+2y1y2=,.+4+2y1y2=,得y1y2=-2,即B,C两点的纵坐标之积为-2.(2)方法一：=,=,入=?=+(y1-y0)(y2-y0)=(y1+y0)(y2+y0)+16=y1y2+y0(y1+y2)+16=(-2+16)=-<-,故人的取值范围是.方法二：由+=得四边形ABFC平行四边形，故入=?=?=+(-y1)(-y2)=1-+y1y2=1-+-2=-W-,故入的取值范围是.解答3例3解:(1)由题知，a=2,b=,c=1,则e=,|FA|=1,|AM|=-2-t,;=,.t=-4.(2)

16、证明:若直线l的斜率不存在，则S1=S2,|MP|=|MQ|,等式成立.若直线l的斜率存在，则可设直线l的方程为y=k(x+1),P(x1,y1),Q(x2,y2).由消去y得(3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0,/.x1+x2=-,x1x2=.kMP+kMQ=+=+=0,./PMFNQMF.S1=|MF|MP|sin/PMF,S2=|MF|MQ|sin/QMF,.二.综上可知，=成立.【自我检测】解:(1)依题意得.+=,又p>,书=1,故抛物线C的方程为x2=2y.(2)证明:由(1)知y0=,由得4x2-16x-9=0,解得x1=-,x2=,.|AF|=x=5.设Pm#-

17、且m，则M的横坐标为m,：|AM|=.由题可知直线PN的方程为y-=-(x-m),与y=2x+联立，可得xN=,.|AN|=,则=5,故=|AF.备选理由例1为考查点到直线的距离的最值问题,本题的难点在于转化条件得到动点P的轨迹，对于四边形ABCM面积为2的转化，最好是把这个四边形的面积分成两个三角形的面积来求解；例2为考查向量数量积的取值范围的问题，是求圆锥曲线中范围问题的巩固训练；例3的本质是证明线段相等，涉及椭圆的轨迹问题,运算量大，字母量多，综合考查学生的推理能力、运算求解能力.例1配例1使用已知椭圆M:+=1(a>b>0)的离心率为，A,B分别为M的右顶点和上顶点，且|A

18、B|=.(1)求椭圆M的方程；若C,D分别是x轴负半轴、y轴负半轴上的点，且四边形ABCD勺面积为2,设直线B5口AD勺交点为P,求点P到直线AB的距离的最大值.解:(1)由=,c2=a2-b2,得a=2b.又|AB|=,所以b=1,a=2.所以椭圆M的方程为+y2=1.(2)设P(x0,y0),C(s,0),D(0,t),其中s<0,t<0.因为A(2,0),B(0,1),所以=,=,得t=-,s=-.由四边形ABCD勺面积为2,得(2-s)(1-t)=4,即=4,即(x0+2y0-2)2=4(x0-2)(y0-1),整理得+4=4,所以易知，点P在第三象限的椭圆弧上.设与AB平

19、行的直线y=-x+m(m<0)与椭圆M相切.由消去y得x2-2mx+2m2-2=0，令=8-4m2=0，得m=-.所以点P到直线AB的距离的最大值为=.例2配例2使用已知曲线2y2=4x,曲线M:(x-1)2+y2=4(x21),直线l与曲线C交于A,B两点,O为坐标原点.(1)若？=-4,求证：直线l恒过定点;(2)若直线l与曲线M相切，求？的取值范围.解:(1)证明：由已知，可设l:x=my+n,A(x1,y1),B(x2,y2),由得y2-4my-4n=0,.y1+y2=4m,y1?y2=-4n,.x1+x2=4m2+2n,x1?x2=n2.二由?=-4,可得x1?x2+y1?y2=n2-4n=-4,解得n=2.二直线l的方程为x=my+2,直线l恒过定点(2,0).(2)直线l与曲线M相切,M(1,0),显然nA3,=2,整理得4m2=n2-2n-3.由(1)及可得,？=(x1-1,y1)?(x2-1,y2)=(x1-1)(x2-1)+y1y2=x1x2-(x1+x2)+1+y1y2=n2-4m2-2n+1-4n=n2-4m2-6n+1=4-4n,/n>3,/.?<-8,即?的取值范围是(-8.例3配例3使用ABC中,0是BC