大物许青春能量

1、 有一门质量为有一门质量为M(含炮弹含炮弹)的大炮的大炮,在一固定的斜面上无在一固定的斜面上无摩擦地由静止开始下滑。当滑下摩擦地由静止开始下滑。当滑下L距离时，从炮内沿水距离时，从炮内沿水平方向射出一发质量为平方向射出一发质量为m的炮弹。欲使炮车在发射炮弹的炮弹。欲使炮车在发射炮弹后的瞬间停止滑动，炮弹相对地面初速应是多少？（设后的瞬间停止滑动，炮弹相对地面初速应是多少？（设斜面倾角为斜面倾角为 ） 以炮车、炮弹为系统以炮车、炮弹为系统, 在在L处处发射炮弹的过程中，由于内力发射炮弹的过程中，由于内力很大，外力可忽略，水平方向很大，外力可忽略，水平方向动量守恒动量守恒: Mv0cos =mv

2、21MgLsin = Mv02 解解 设炮车下滑设炮车下滑L时的速度时的速度v0为为,由机械能守恒由机械能守恒 Lvv0 光滑水平地面上放有一质量为光滑水平地面上放有一质量为M的三棱柱体的三棱柱体(倾角为倾角为 )，其上又放一质量为其上又放一质量为m的小三棱柱体。它们的横截面都是的小三棱柱体。它们的横截面都是直角三角形，直角三角形，M的水平直角边的边长为的水平直角边的边长为a，m的水平直角的水平直角边的边长为边的边长为b。两者的接触面亦为光滑。设它们由静止。两者的接触面亦为光滑。设它们由静止开始滑动，求当开始滑动，求当m的下边缘滑到水平面时，的下边缘滑到水平面时，M在水平面在水平面上移动的距离

3、。上移动的距离。 Mabmxovvmvx - MVx=0 xxxVvv上次内容回顾上次内容回顾ttxxdtvmdtVmM00)(一能量概念的引入一能量概念的引入各种运动形式可以相互转化，各种运动形式可以相互转化，要深入研究各种运动形式的相互转化，及转要深入研究各种运动形式的相互转化，及转化过程的数量关系，需要对运动的多少进行化过程的数量关系，需要对运动的多少进行定量的表示定量的表示而且存在一定的数量关系而且存在一定的数量关系我们就用我们就用“能量能量”这一物理量来表示运动的多少，这一物理量来表示运动的多少，能能量：是物质运动的一般量度量：是物质运动的一般量度每一种运动都有相应的能量每一种运动都

4、有相应的能量221mV 功的概念功的概念 rdfdAcosFSrFcosrdfbardFAbardF，则移为的作用下直线运动，位若质点在恒力rF充分体现了微积分的优势bardfdAA力沿着曲线力沿着曲线L的路径积分的路径积分 若质点受变力若质点受变力 作用作用, 沿一曲线沿一曲线L从从a到到bfabrdf说明（说明（1）功是标量）功是标量（3）合力所作的功是各分力所作功的代数和）合力所作的功是各分力所作功的代数和（2）功与参考系有关）功与参考系有关21FFFbardFAbardFF)21（bardF1bardF2bardfdAA 续：续： 功的概念功的概念 bardFdAA路径积分可化为沿三个

5、坐标轴的积分单位时间内所作的功单位时间内所作的功dtdAp （5）定义功率：）定义功率：dzFdyFdxFzyxkFjFiFFzyxkdzjdyidxrdabrdfbardFdAA功的计算功的计算2 将整个过程分成无数小过程，将整个过程分成无数小过程，任取一无穷小过程任取一无穷小过程1建立坐标系建立坐标系的大小和方向和找出该无穷小过程中rdf3点乘，然后积分和将rdf4abrdfdSmgrdfrdfdA2RmgdSmgdAA对物体所作的功到摩擦力从求数为摩擦系如图的圆周运动作用下作半径为在一拉力质量为，水平面上有一物体例baRm:,1xyoRabf。摩擦力所作的功为路程为位移为这一小段中物体在

6、在曲线上任取一小段dAdSrd,xyoRabfjRiRrsincosjdRidRrdcossindRmg。摩擦力所作的功为路程为位移为这一小段中物体在在曲线上任取一小段dAdSrd,dAA220RmgdRmgrdfdAjmgimgfcossin重力作功重力作功的功，求：此过程重力所作到达经路径点从的物体一质量为),(,),(,BBAAyxBCyxAmABCDEBArdFAjmgFkdzjdyidxrdmgdyrdF)(BAyymgxyBAyymgdyA万有引力作功万有引力作功0m所作的功。求此过程中万有引力对点到点沿路径的质点从一质量为的物体固定不动，一个质量为mBCAmm,0baabrdfA

7、)11(barrGMm00rrdrdrrd)(020rrmGmfdrrmGmrdf20barrdrrGMm20r rrxyABCArBrr弹力作功弹力作功功求：此过程弹簧所作的点，弹簧弹性系数为到达点经路径，物体从的物体，弹簧原长为一质量为端固定，另一端连光滑水平面，一弹簧一kBCArmt0r rr00rrdrdrrd)(0rrrkftdrrrkrdft)( BABArrtrrdrrrkrdfA)(2tB2tA)rr ( k21)rr ( k21xyABCArBrr 保守力保守力(重力重力,弹性力弹性力,万有引力万有引力)的功只与的功只与质点的始末位置有关质点的始末位置有关,而与路径形状无关而

8、与路径形状无关凡是作功具有上述特点的力都叫保守力。否则叫做非凡是作功具有上述特点的力都叫保守力。否则叫做非保保 守力守力保守力的概念保守力的概念LrdF0保物体在该力的作用下，沿任意闭合路径物体在该力的作用下，沿任意闭合路径L一周一周所作的功总为零所作的功总为零,亦即亦即数学语言，非描述性的0F质点的动能定理功，求此过程中合外力的和分别为点的速度、，运动到从下沿路径的作用的质点在合外力一个质量为baVVbabaCFmabrdFnbaabrdFAbadSFtmaF dtdvm动能变化的规律动能变化的规律baabrdFAbavvvdvm222121abmvmv 质点动能定理的推导质点动能定理的推导

9、tmaF dtdvmbadSFvdtdSabrdFnbadSdtdvmbaabrdFA222121abmvmv 合外力对物体所作的功等于物体动能的增量合外力对物体所作的功等于物体动能的增量此即质点的动能定理此即质点的动能定理.质点动能定理质点动能定理功是动能变化的量度不仅动能，其它形式的能不仅动能，其它形式的能的变化也可以用功来度量的变化也可以用功来度量功是能量变化的量度功是能量变化的量度惯性系下成立惯性系下成立是标量式是标量式abrdFn 例例1 今有一倔强系数为今有一倔强系数为k的轻弹簧，原长的轻弹簧，原长x0，竖直放置，竖直放置，下端连接一质量为下端连接一质量为m的物体，开始时使弹簧为原

10、长而物体的物体，开始时使弹簧为原长而物体m恰好与地面接触。今将弹簧上端缓慢地提起，直到物体恰好与地面接触。今将弹簧上端缓慢地提起，直到物体m刚能脱离地面时止，求此过程中外力作的功。刚能脱离地面时止，求此过程中外力作的功。 oxFx(原长原长)dxxxkA)(0 物体物体m脱离地面的条件是脱离地面的条件是 k（xb-x0)=mgkmgdxxxkbxx2)()(200任取一小过程，弹簧长任取一小过程，弹簧长x , 伸长伸长dx解解 建立的坐标如图所示。建立的坐标如图所示。完成积分得：完成积分得：v = 10(m/s) 。 再由动量定理求出该力的冲量：再由动量定理求出该力的冲量： 解解 221002

11、121)52(omvmvdxxSNmvmvI.200本题中力是坐标的函数本题中力是坐标的函数应先用动能定理应先用动能定理 例例2 质量质量m=4kg的物体在力的物体在力 (SI)的作用的作用下，沿下，沿x轴作直线运动，初速轴作直线运动，初速 (m/s);求物体从求物体从x=0到到x=10(m)的这段时间内所受的冲量。的这段时间内所受的冲量。 ixF)52(iv50解解 合外力合外力:amF 例例3 一质量为一质量为m的质点在的质点在xoy平面上运动，其位置矢量平面上运动，其位置矢量为为 (SI),式中式中a、b、 是正值常是正值常数，且数，且ab。求：。求：t=0到到t= /(2 )时间内合外

12、力的功及分力时间内合外力的功及分力Fx、Fy的功。的功。 j tbi tarsincos0022-abydymxdxm22222121bmamX轴方向分力功轴方向分力功Y轴方向分力功轴方向分力功)(2j yi xmydymxdxmA22-av; bvoj tbi tarsincosj tbi tadtrdvcossin若只求合外力的功则用动能定理求解最为方便：若只求合外力的功则用动能定理求解最为方便：2022121mvmvA)(21222bam 例例4 在光滑的水平桌面上，平放着如图所示的固定的半在光滑的水平桌面上，平放着如图所示的固定的半圆形屏障。质量为圆形屏障。质量为m的滑块以初速度的滑块

13、以初速度v0沿切线方向进入屏沿切线方向进入屏障内，滑块和屏障间的摩擦系数为障内，滑块和屏障间的摩擦系数为。求滑块滑过屏障的。求滑块滑过屏障的过程中，摩擦力的功。过程中，摩擦力的功。 2022121mvmvANv0frvo由于滑块作圆周运动由于滑块作圆周运动,采用自然坐标采用自然坐标系系,有：有： 解解RvmN2切向：切向： dtdvmN 法向：法向： 法向：法向： RvmN2dtdvmN 00dvdvvvevv0) 1(21220emvANv0frvodtdvRv2切向：切向： ddvRvdtdddvddvv1 势能概念的引入势能概念的引入初衷：采用数学手法使保守力作功问题得到简化初衷：采用数

14、学手法使保守力作功问题得到简化，因为保守力做功和路径无关。，因为保守力做功和路径无关。选取一个位置有关的函数选取一个位置有关的函数,保守力在某一过保守力在某一过程所作的功可以用这个函数在此过程始末程所作的功可以用这个函数在此过程始末位置的差来表示位置的差来表示bardFA保保对物体所作的功为：力位置保守位置到定义：从FbapbpaEE）papbEE (pE搞清楚了这个函搞清楚了这个函数，保守力做功数，保守力做功问题就简单了问题就简单了bapapbpbpaEEEErdFA)(保保此位置函数有能量的量纲此位置函数有能量的量纲称为势能称为势能势能属于单个物体的吗?位置为相互作用体系的位置为相互作用体

15、系的相对位置相对位置势能属于相互作用的系统势能属于相互作用的系统保守内力所作的功等于系统势能增量的负值保守内力所作的功等于系统势能增量的负值 对势能这一概念的分析名称的由来：bapapbpbpaEEEErdFA)(保保两点的势能差有绝对意义两点的势能差有绝对意义,势能只有相对意义势能只有相对意义选取了零势点后势能才有绝对意义选取了零势点后势能才有绝对意义零势点的选取是任意的零势点的选取是任意的实际中采用方便的原则实际中采用方便的原则 对势能这一概念的分析势能有绝势能有绝对意义么？对意义么？mgyymg)0(系统在位置系统在位置a的势能等于把系统从该位置经任意路的势能等于把系统从该位置经任意路径

16、移到势能零点时保守力所作的功径移到势能零点时保守力所作的功零势点保apaErdF以地面为零势点以地面为零势点,并以地面为坐标原点并以地面为坐标原点,任意位置任意位置Y的势能为的势能为0ypmgdyAE 势能的表述势能的表述bapapbpbpaEEEErdFA)(保保20020)rr ( k21)rr ( k210rr0pdr)rr (kAE20)rr ( k21弹簧原长为零势点弹簧原长为零势点,任意位置任意位置(该位置弹簧长度为该位置弹簧长度为r)的势能为的势能为）所具有的势能的距离为的物体在任意位置（与中，质量为的引力场在以无穷远点为零势点，rmmm00drrmGmAErp20rmGm0 弹

17、力势能和万有引力势能势能曲线oypEmgyEp20p)rr ( k21E0rr opErormGmE0p把势能和相对位置的关系把势能和相对位置的关系用曲线表示出来用曲线表示出来,这样的曲这样的曲线就称势能曲线线就称势能曲线保守力和势能的关系ymgyymgEABp)(零势点保apaErdF，以竖直向上为正下落到从的物体为（以一维为例）一质量BAyymmgyEp如果是无穷小过程如果是无穷小过程MgdydEpdydEmgp保守力沿任意方向上的分量等于保守力沿任意方向上的分量等于势能沿该方向上空间变化率的负势能沿该方向上空间变化率的负值值保守力和势能的关系zkyjxipEFymgyymgEABp)( 设系统由设系统由n个质点组成个质点组成,对其中第对其中第i个质点个质点(质量为质量为mi )应用动能定理应用动能定理,有有2022121iiiiiiivmvmAAA