2020届全国卷理科数学练习题

1、2020届全国卷理科数学练习题试题18093810题文：如图，在三棱锥AFiJ中，£AB-60"(1)证明：平面底由1平面RC；若四棱锥AGTcr的体积为*求二面角pre%R的余弦值.试题18093810答案：试题分析：(1)要证平面卜隹1匚|i平面包风,转证Bi1平面声即可；(2)由四棱锥|A-的体积为手得到BC的值，建立空间直角坐标系求二面角BCA|-A|的余弦值.试题解析:(1)证明：三棱柱ABC八向(；的侧面AAfH中，卜隹-，：四边形A'BJ为菱形,.岫1%耳又|BC1平面A八1比3,ABj匚平面,.幽1BC,AtBnBCiB,平面AJ心匚平面514，平面

2、ABCJ平面$1闷.(2)解：在平面AAJ%F内作DlBBj于J平面EC匚平面;平面1平面,又平面BBjCjCPl平面人尹8-BBj,%D1平面BBJ'C,在IMAFiD中，、上AiB.4A1AB研际小,:点A到平面BRigC的距离为百,又5叫,-2-BC%-ficCBVa.dccFi*5吗qcL,%D=x1/3,|bc,取线段AA的中点F二小儿%卜是等边三角形，pFlAAj,因此HF_LBB,以忸；,即二攻：所在的直线建立如图所示的空间直角坐标系，由题得汉力1八（",0）,C3QD，%2,丛（瓦卜汉鬲而设平面A.%的法向量为码.上J,o.所以"2令*,贝均一点,:

3、川口（LO.#）,同理可得平面CAB的法向量；广（|司力网，7-c垮-ri.n,二-=,-In!InJS由图观察可知二面角|bcan的平面角为钝角，;二面角BCAA的余弦值为8点睛：利用法向量求解空间二面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.试题18093810解析:试题18235713题文：如图，三棱锥PfBC中，PC，平面n-ACB-IIrAK,PC="2。D.E分别为线段AB,BC上的点，且C”DE=®CE=2EB=2证明：DE，

4、平面PCD；求二面角A-PD-C的余弦值。试题18235713答案：3V（1）见解析；（2）6试题分析：（1）要证线面垂直，就是要证线线垂直，题中由pC!平面ABC,可知PC1DE,再分析已知由DC=CE=/£E=2得CD1口E|,这样与DE垂直的两条直线都已找到，从而可得线面垂直；（2）求二面角的大小，可心根据定义作出二面角的平面角，求出这个平面ACB=-,.角的大小，本题中，由于2,PCI平面醺C,因此CA,CB,CP两两垂直，可以他们为轴建立空间直角坐标系，写出图中各点的坐标，求出平面APD和平面CP口的法向量T+1T中比“，向量%的夹角与二面角相等或互补，由此可得结论.试题解

5、析：（1）证明：由PS平面ABCDE仁平面ABC,故PC，DE由CE=2,CD=DE=l/2得DE为等腰直角三角形，故CDDE（19）图，过点D作由PCnCD=CDE垂直于平面PCDft两条相交直线，故DE。平面PCD（2）解：由（1）知，ACDE为等腰直角三角形,DFFB2=MDF垂直CE于F,易知DF=FC=EF=1,又已知故FB=2.由2aCB=2,得dF/|aC,M3故ac=2dF=2.以C为坐标原点，分别以5CB工P的方程为x轴，y轴，Z轴的正方向建立空间直角坐标系，则C（0,0,0,),P(0,0,3),A(2,0,0),E(0,2,0),D(1,1,0),ED=(L-1防设平面P

6、AD的法向量=由DP=O,n/DA=。=01故可取n亿L",曰声”广0得2由（1）可知DE。平面PCD故平面PCD勺法向量可取为叱即ni。）；ninif-»co£（ri.ri2）=；:-从而法向量,5的夹角的余弦值为11一,%3故所求二面角A-PD-C的余弦值为6.考点：考查线面垂直，二面角.考查空间想象能力和推理能力.试题18235713解析：试题18313871题文:在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,cosA-,a272,则-3sinB试题18313871答案:3试题18313871解析:在ABC中，由cosA-,则sinA1cos2A32,2

7、所以，由正弦定理可得223.sinBsinA2V23试题18313872题文:在VABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.若c4sinC2sinA,sinB,则a4SVABC试题18313872答案:2.15试题18313872解析:sinC2sinA,由正弦定理可得：c2a,c4,a2,1 ,1.15一S7ABe-acsinB24v15.2 24试题18500362题文：在数列an中，a11,an12an2n(1)设bn-an?,证明：数列bn是等差数列;2(2)求数列an的前n项和Sn试题18500362答案：(1)见解析(2)n12n1试题分析：（1）要证明数列bn是等差数列，应利

8、用等差数列的定义，将已知条件an12an2n变形出数列bn的相邻两项，两边同除以2n即可；（2）由数列bn是等a_差数列，可得数列bn的通项公式，再由bn声得数列an的通项公式，用错位相减法求前n项和。试题解析：（1）证明：Qani2an2n,芈21,22a一Qbn2ni，bnibn1，即bnibn1,bi1,故数列bn是首项为1,公差为1的等差数列。由（1）知，bnn,ann2n1,MSn120221Ln2n1,_1_2_n2Sn1222Ln2n01n1n）Snn222L2n121a一【点睛】知数列an满足an1panp,求数列一n-y的迪项公式，可在Pan1panpn两边同除以pn,证明数

9、列为等差数列，进而可得通项公式。P试题18500362解析：试题18677302题文：则刖=在中，若，A=3。相试题18677302答案：试题18677302解析：由-="=105°可得区=1（4BCAB由正弦定理*sinCBCsirtCAB=-sinA试题18324670题文:在VABC中,若？85£如"=*加仁则丫人3方勺形状一定是（）A.等腰直角三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等边三角形试题18324670答案：B试题18324670解析：22,2acb因为2cosBsinA=sinC,所以2x-a=c,2ac所以a=b,所以4ABC»等腰三角形.试题18389836题文：在ABC&AHC中，内角a,B,C的对边分别为a,b,c,若"cosAa,则ABCA*&CcosBb定是()A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形试题18389836答案：B试题18389836解析：拈cosBcosAcosBcosA口吐将利用正弦th理化间得：，即sinAcosB=co