2019版一轮复习理数通用版：高考达标检测四十三圆锥曲线的综合问题——定点、定值、探索性问题

1、高考达标检测(四十三)圆锥曲线的综合问题定点、定值、探索性问题x2y231.如图，已知椭圆C：孑+1=1(2>>0)的离心率是看,其中一个顶点为B(0,1).(1)求椭圆C的方程;(2)设P,Q是椭圆C上异于点B的任意两点，且BPLBQ.试问：直线PQ是否恒过一定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由解：(1)设椭圆C的半焦距为c.依题意，得b=1,2c2a2二1e=-2=2-aa解得a2=4,所以椭圆C的方程为W+y2=1.4(2)直线PQ恒过定点.法一：易知，直线PQ的斜率存在，设其方程为y=kx+m,P(x1,y0，Q(x2,y?),将直线PQ的方程代入x2+4y2=4

2、,消去y,整理得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0.则X1+X2=8km1+4k2,X1X2=4m241+4k2,因为BPXBQ,且直线BP,BQ的斜率均存在,g、1y1-1y21,所以1-=-1,X1X2整理得X1X2+wy2(y1+y2)+1=0.因为y1=kx1+m,y2=kx2+m,所以y1+y2=k(x1+x2)+2m,y1y2=k2xd2+mk(x+*2)+m2.将代入，整理得(1+k2)xa2+k(m1)(x1+x2)+(m1)2=0.将代入，整理得5m22m3=0.解得m=3或m=1(舍去).5所以直线pq恒过定点卜，5：法二：直线BP,BQ的斜率均存在，设直线BP的

3、方程为y=kx+1.将直线BP的方程代入x2+4y2=4,消去y,得(1+4k2)x2+8kx=0.解得x=0或x=-8k1+4k2.2_8k.一14k仅P(x1,y1),所以X1=.2,y1=kx1+1=2,1+4k1+4k2所以P8k14kJ1+4k2'1+4k2/以T替换点P坐标中的k,可得Qk24、'k2+4.从而，直线PQ的方程是14k2y一石7记8kx+d.21+4kk2414k28k8k-k2+41+4k2k2+41+4k2依题意，若直线PQ过定点，则定点必定在y轴上.在上述方程中，令x=0,解得y=-3.5所以直线PQ恒过定点i0,-3.522一2.已知椭圆C：

4、扛+#=1(a>b>0)的离心率为半，短轴端点到焦点的距离为2.(1)求椭圆C的方程;(2)设A,B为椭圆C上任意两点，O为坐标原点，且OALOB.求证：原点O到直线AB的距离为定值，并求出该定值.解：(1)由题意知，e=c=3,.b2+c2=2,a2又a2=b2+c2,所以a=2,c=3,b=1,所以椭圆C的方程为x2'+y2=1.4(2)证明：当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为x=卒，此时，原点O到5直线AB的距离为25.5当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m,A(xi,yi),B(x2,y2).y2=1,得(1+4k2)x2+8kmx+4m2

5、4=0.y=kx+m则A=(8km)2-4(1+4k2)(4m24)=16(1+4k2-m2)>0,xi+X2=-8km4m24m24k2则y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=丘，/,由OOB得kOAkOB=T,即Xt=T，-5m2-4-4k2242所以xixz+yiy2=1+4卜2=0,即m=5(1+k),所以原点O到直线AB的距离为严|2=芈.1+k5综上，原点O到直线AB的距离为定值平.x2y263 .已知椭圆C:x2+b2=1(a>b>0)的离心率为七,以原点。为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆与直线2x-gy+6=0相切.(1)求椭圆C的标准方程;(2)已知点A

6、,B为动直线y=k(x2)(kw0)与椭圆C的两个交点，问：在x轴上是否存在定点E,使得UA2+EAAB为定值？若存在，试求出点E的坐标和定值；若不存在,请说明理由.解：(1)由e=冷,得：=雪,3a3即c=6a,又以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆为x2+y2=a2,且该圆与直线2x42y+6=0相切,所以a=|6|=乖，代入得c=2,所以b2=a2c2=2,所以椭圆C的标准方程为22xy,+zr=1.62.22/+yi(2)由：62ly=k(x-2)得(1+3k2)x212k2x+12k2-6=0.设A(xi,yi),B(x2,y2),所以Xi+X2=12k212k2-61+3k2

7、'xix2=1+3k2.根据题意，假设x轴上存在定点E(m,0),使得EA2+_EAAB=(EA+赢)EA=EA.EB为定值,则EtEB=(xim,yi)(x2-m,y2)=(xi-m)(x2-m)+yiy2=(k2+1)xix2(2k2+m)(xi+x2)+(4k2+m2)(3m2-12m+10,2+(m2-6)1+3k2'要使上式为定值，即与k无关，只需3m212m+10=3(m26),解得m=7,3此时，a2+京渥=m2-6=-5,9所以在x轴上存在定点E百0:使得EA2+EAAB为定值，且定值为5.4 .已知椭圆C:X7+y?=1(a>b>0)的右焦点为F(

8、1,0),且点P1,3柞椭圆C上，。为坐标原点.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设过定点T(0,2)的直线l与椭圆C交于不同的两点A,B,且/AOB为锐角，求直线l的斜率k的取值范围；(3)过椭圆Ci：3+。=1上异于其顶点的任一点P,作圆O：x2+y2=；的两条切线,a253b3切点分别为M,N(M,N不在坐标轴上)，若直线MN在x轴、y轴上的截距分别为m,n,证明：义+N为定值.3mn解：(1)由题意得c=1,所以a2=b2+1,又点P'1,3在椭圆C上，所以1,、2a4b由可解得a2=4,b2=3,所以椭圆c的标准方程为二十y2=1.43(2)设直线l的方程为y=kx+2,A(x

9、i,y”，B(x2,y2),y=kx+2,由y2得(4k2+3)x2+16kx+4=0,3=1，因为A=16(12k2-3)>0,所以k2>；,16k4川x1+x2=4k2+3,x1x2=4k2+3.因为/AOB为锐角，所以OAOB>0,即x1x2+y1y2>0,所以x1x2+(kx1+2)(kx2+2)>0,所以(1+k2)x1x2+2k(Xi+x2)+4>0,口”.24-16k-即(1+k2)E+2k即+4>0,解得k2<4.3又k2>J,所以<kk2<443解得半kk<_1或1kkk芈.3223所以直线i的斜率k的取

10、值范围为(一平，一2弩).22证明：由(i)知椭圆Ci的方程为上+3y=i,设P(Xo,y。)，M(X3,Y3),N(X4,y4),因为M,N不在坐标轴上，所以kPM=-7=x3,koMy3直线PM的方程为yy3=X3(xX3),4化间得X3X+y3y=不，3同理可得直线PN的方程为X4X+y4y=*3X3Xo+y3y0=4,把P点的坐标代入得4、X4Xo+y4y0=3,所以直线MN的方程为XoX+yoy=4.34 4令y=o,得m=令X=o,得n=,3Xo3yo所以X°=f,yo=T-，3m3n又点P在椭圆Ci上，所以)+痣)=4,即3m2+H为定值伊力自选题已知椭圆的两个焦点为F

11、i(-V5,o),F2(T5,o),m是椭圆上一点，若MUMF>2=o,>>|MFi|MF2|=8.(1)求椭圆的方程；(2)直线l过右焦点F2(V5,o)(不与X轴重合)且与椭圆相交于不同的两点A,B,在X轴上是否存在一个定点p（x0,0）,使得ArB的值为定值？若存在，写出p点的坐标；若不存在，说明理由.22解：（1）由题意知椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的方程为孑+*=1m>b>0）,贝Uc=5,|而1|2+|而2|2=（2c）2=20.又|而1|碗2|=8,（|疝1|+|而2|）2=|而i|2+|Mi?2|2+2|而1|疝2|=36,解得|MlF1|+|MIF

12、12|=6,即2a=6,则a=3,b2=a2c2=4,椭圆的方程为J+E=i.94（2）当直线与x轴不垂直时，设直线l的方程为v=k（x-V5）,代入椭圆方程并消元整理得，（9k2+4）x218啊2x+45k236=0.设A(xi,yi),B(x2,y2),门"185k245k2-36则Xl+X2=4+9k2,X1X2=Z9,22216ky1Y2=k(X1寸5)(x245)=kX1X2-55(x1+x2)+5=-.4十9K所以papb=(x1-x0,y”(x2x0,y2)=(X1x0)(x2x0)+yiy22，=x1X2-x0(X1+x2)+X0+y1y2(9x018V5x0+29K2+4x0364+9K2令PAPB=t,则(