解析几何第四版吕林根课后习题答案第二章

1、第二章轨迹与方程21平面曲线的方程1.一动点M到A(3,0)的距离恒等于它到点B(-6,0)的距离一半，求此动点M的轨迹方程，并指出此轨迹是什么图形？._1_解：动点M在轨迹上的充要条件是MA=-|MB。设M的坐标(x,y)有22122-22v,(x-3)+y=J(x+6)+y化简得(x6)+y=36故此动点M的轨迹方程为(x6)2+y2=36此轨迹为椭圆2.有一长度为2a(a>0)的线段，它的两端点分别在x轴正半轴与y轴的正半轴上移动，是求此线段中点的轨迹。A,B为两端点，M为此线段的中点。解：如图所示设A(x,o),B(o,y).则M(3,Y).在Rt_AOB中有22(x2+y2)=

2、(2a)2.把M点的坐标代入此式得:(x2+y2)=a2(x之0,y之0).此线段中点的轨迹为(x2y2)=a2.3 .一动点到两定点的距离的乘积等于定值m2,求此动点的轨迹.解:设两定点的距离为2a,并取两定点的连线为x轴，两定点所连线段的中垂线为y轴.现有:AMBM|=m2.设M(x,y)在R(BNM中(a+x)2+y2=AM|2.(1)在Rt_BNM中,、2,2i.2_,_.一(a-x)+y=BM.(2)由(1)(2)两式得：/22、2-2/22、44(xy)-2a(x-y)=m-a.4 .设P,Q,R是等轴双曲线上任意三点，求证LIPQR的重心H必在同一等轴双曲线上.证明：设等轴双曲线

3、的参数方程为x1 x2 x3%y2y3)3x = ctc y=iP(为，y1) , Q(x2, y2), R(x3, y3).重心 H2cccc-5.任何一圆交等轴双曲线xy=c于四点P(ct1,),Q(ct2,),R(ct3,)及S(ct4,).那么t1t2t3t4一定有11t2t3t4=1.证明：设圆的方程x(i = 1 , 2，悬它的四个根，则有韦达定理ti七t 3t4 = (-1)4cy=1. c8.把下面的平面曲线的普通方程化为参数方程.+y2+2Dx+2Ey+F=0.圆与等轴双曲线交点(ct,；)，则代入得c2Ec，参数方程为x = a cos4 1c2t2+=+2Dct+F=0.

4、整理得：c2t111令 x 二 acos41,代入方程 x2 . y2 = a2 1111得 y2 =a2 -a2 cos2 - - a2 sin2 ' y = asin 4+2Dct111 y2 =x3; x2 + y2 = a2 ,(a > 0 ) x3 + y3 -3axy = 0, (a > 0 ).2v - + 3 解:“- ty =t+Ft2+2Ect+c2=0.可知t2t学习参考令y=tx,代入方程x3+y3_3axy=0得 1 t3 x3 -3atx2=0二 x211 t3 x - 3at I - 0=x =0或乂 = 3at31 t3当x =0时，y =0

5、;当3at3at21 t33at"1 t 3at：1 t3x故参数方程为y22曲面的方程1、一动点移动时，与A(4,0,0)及xoy平面等距离，求该动点的轨迹方程解：设在给定的坐标系下，动点M(x,y,z),所求的轨迹为C,则M(x,y,z)WCuMA=z亦即(x-4)2y2z2=z.(x-4)2y2=0由于上述变形为同解变形，从而所求的轨迹方程为(x-4)2+y2=02、在空间，选取适当的坐标系，求下列点的轨迹方程：(1)到两定点距离之比为常数的点的轨迹；(2)到两定点的距离之和为常数的点的轨迹；(3)到两定点的距离之差为常数的点的轨迹；(4)到一定点和一定平面距离之比等于常数的点

6、的轨迹解：(1)取二定点的连线为X轴，二定点连接线段的中点作为坐标原点，且令两距离之比的常数为m,二定点的距离为2a,则二定点的坐标为(a,0,0),(a,0,0),设动点M(x,y,z),所求的轨迹为C,则M(x,y,z)三C=(x-a)2y2z2=m.(xa)2y2z2亦即(xa)2y2z2;m2(xa)2y2z2经同解变形得：(1m2)(x2+y2+z2)-2a(1+m2)x+(1-m2)a2=0上式即为所要求的动点的轨迹方程。(2)建立坐标系如(1),但设两定点的距离为2c,距离之和常数为2a。设动点M(x,y,z),要求的轨迹为C,则M(x,y,z)C仁(x-c)2y2z2.(xc)

7、2y2z2=2a亦即.(x-c)2y2z2=2a-.(xc)2y2z2两边平方且整理后，得：(a2c2)x2+a2y2+a2z2=a2(a2c2)(1)2_2-2-a>c，令b=a-c从而(1)为b2x2+a2y2+a2z2=a2b22222222.2即：bx+ay+az=ab由于上述过程为同解变形，所以(3)即为所求的轨迹方程。(3)建立如(2)的坐标系，设动点M(x,y,z),所求的轨迹为C,则M(x,y,z)C=(x-c)2y2z2(xc)2y2z2-二2a222类似于(2),上式经同解变形为：勺一4勺=1a2b2c2其中b2=c2a2(c>|a)(*)(*)即为所求的轨迹的

8、方程。(4)取定平面为xoy面，并让定点在z轴上，从而定点的坐标为(0,0,c),再令距离之比为m。设动点M(x,y,z),所求的轨迹为C,则M(x,y,z)C仁.x2y2z2=mz将上述方程经同解化简为：x2+y2+(1-m2)z2-2cz+c2=0(*)(*)即为所要求的轨迹方程。3.求下列各球面的方程：(1)中心(2,1,3),半径为；R=6(2)中心在原点,且经过点(6-2,3);(3)一条直径的两端点是(23,5)与(4,1,3)(4)通过原点与(4,0,0),(1,3,0),(0,0,-4)解：(1)由本节例5知，所求的球面方程为：_22-2一(x-2)(y1)(z-3)=36(2

9、)由已知，球面半径R=/62+(2)2+32=7所以类似上题，得球面方程为222xyz=49.24-31.5-3(3)由已知，球面的球心坐标a=3,b=-1,c=1,球的半径222R=1(42)2+(1+3)2+(5+3)2=拓,所以球面方程为：222(x-3)(y1)(z-1)=21(4)设所求的球面方程为：x2+y2+z2+2gx+2hy+2kz+1=0因该球面经过点(0,0,0),(4,0,0),(1,3,0),(0,0-4),所以1=0(1)16+8g=0102g6h=016-8k=0解（1）有l=0h=-1|g=-2k=2所求的球面方程为x2+y2+z24x2y+4z=003母线平行

10、于坐标轴的柱面方程1、画出下列方程所表示的曲面的图形。.224x+9y=36包4空间曲线的方程一一1221、平面x=c与x +y - 2x=0的公共点组成怎样的轨迹 。解：上述二图形的公共点的坐标满足2 2 一、y = c(2 - c)x = cy r c(2 c)=、x = cz轴；从而：(I)当0<c<2时，公共点的轨迹为：,y Jc(2 - c)=x = c即为两条平行轴的直线；(n)当c = 0时，公共点的轨迹为：X=0(m)当c=2时，公共点的轨迹为：y=03即过(2,0,0)且平行于z轴的直线；x=2(IV)当c>2或c<0时，两图形无公共点。2、指出下列曲

11、面与三个坐标面的交线分别是什么曲线？(1)x2+y2+16z2=64；(2)x2+4y2-16z2=64；22222(3)x-4y-16z=64；(4)x+9y=10z解：(1)曲面与xoy面的交线为：f2.24c222)x+y+16z=64_1x+y=64、z=0/=0此曲线是圆心在原点，半径R=8且处在xoy面上的圆。.学习参考同理可求出曲面x 2222222x2-4y2=64 -4y216z2=64 x216z2=64亦即 '，'z = 0x = 0y = 0即为中心在原点，实轴在x轴，且处在xoy面上的双曲线；无轨迹以及中心在原点，实轴 在x轴上，且处在zox面上的双曲

12、线。22（4）曲面 x +9y =16z 与 xoy 面（z = 0）, yoz 面（x=0）, zox 面（y = 0）的交线分别为：2. 一 2 一 2. 一 2 一 2. 一 2 一/x +9y =16z /x +9y =16z xx +9y =16z, = 0、x = 0）=0+y2+16z2=64与yoz面（x=0）及zox面（y=0）的交线分别为；y2 +16z2 =64 x = 0'x2 +16z2 =64 y = 0学习参考它们分别是中心在原点，长轴在y轴上，且处在yoz面上的椭圆，以及中心在原点，长轴在x轴上，且处在zox面上的椭圆；（2）由面x2+4y216z2=6

13、4与xoy面（z=0）,yoz面（x=0）,zox面（y=0）的交线分别为：2 222x2 +4y2 -16z2 =64z = 02,42，八2c/2_j_/2，八2x+4y-16z=64x+4y-16z=64,x=0y=02 22x +4y =64-z = 0222_广2_2y24z2=16x2-16z2=64,x=0y=0即为中心在原点，长轴在x轴上，且处在xoy面上的椭圆；中心在原点，实轴在y轴，且处在yoz面上的双曲线，以及中心在原点，实轴在x轴，且处在zox面上的双曲线。2.22（3）曲面x4y-16z=64与xoy面（z=0）,yoz面（x=0）,zox面（y=0）的交线分别为：x

14、2-4y2-16z2=64x2-4y2-16z2=64，x2-4y2-16z2=64<<<,z=0x=0y=0亦即2 22x2 +9y2 =0z = 029y2 =16zx = 0JX2 =16z y = 0即为坐标原点，顶点在原点以z轴为对称轴，且处在yoz面上的抛物线，以及顶点在原点，以z轴为对称轴，且处在zox面上的抛物线。3.求下列空间曲线对三个坐标面的射影柱面方程2,2nx 7 z = 0;(2)z =x +1222_x+z-3yz-2x+3z3=0=0yz+1=0Jx + 2y + 6z =5 3x-2y-10z = 7x2y2 z2x2 (y-1)2二1(z -1)2 =1解：（1）从方程组,分别消去变量x,y,z,得：（z1）2+y2z三0亦即：z2 y2 -3z 1=0(I)(n)z-X-1=0（出）(1)是原曲线对yoz平面的射影柱面方程；(n)是原曲线对zox平面的射影柱面方程；（出）是原曲线对xoy平面的射影柱面方程。(2)按照与（1）同样的方法可得原曲线(I)对yoz平面的射影柱面方程；y - z+1 = 0 ;(n)对zox平面的射影柱面方程；x2 -2z2 -2x + 6z-3 = 0 ；（出）对xoy平面的射影柱面方程。x22y22x+2y+1=0。(3)原曲线对yoz平面的射影柱面方程：2y+7z-2=0原曲线对zo