第四节条件概率

1、二、全概公式与贝叶斯公式二、全概公式与贝叶斯公式一一 、条件概率与乘法公式、条件概率与乘法公式概率的相关知识回顾概率的相关知识回顾1、对随机现象、对随机现象,我们更关心的是事件发生的概率我们更关心的是事件发生的概率,什么是事件什么是事件?概率的直观含义是事件发生的可能性概率的直观含义是事件发生的可能性,数学定义的数学定义的实质是什么实质是什么?2 2、求概率的常用计算公式、求概率的常用计算公式()( )( )()P ABP AP BP AB()()( )()P ABP ABP AP AB()1()P AP A()()1()P ABP ABP AB A:甲车间生产甲车间生产A A：乙乙车车间间生

2、生产产: :B B有有缺缺陷陷B B无无缺缺陷陷 例题例题1 仓库中某产品来自甲乙两个车间，数量及质仓库中某产品来自甲乙两个车间，数量及质量情况如下表量情况如下表A AB B= = =“选选出出的的产产品品是是甲甲车车间间生生产产”“选选出出的的产产品品有有缺缺陷陷”分析：分析： AB事事件件“既既是是甲甲车车间间又又是是次次品品”可可以以用用表表示示155=,=,=252525P(A)P(B)P(AB)7 715751575( ), ( ), ()( ), ( ), ()252525252525P AP BP AB=已知选定的是甲车间的产品，问是次品的概率是多？已知选定的是甲车间的产品，问是

3、次品的概率是多？A即即事事件件 的的发发生生的的条条件件下下 事事件件发发生生的的概概率率是是多多少少, ,B B? ? (25,(15A AA ( (1 1) )事事件件的的发发生生改改变变了了基基本本空空间间，从从原原来来的的基基本本空空间间含含有有个个基基本本结结果果) )缩缩减减为为新新的的基基本本空空间间含含有有个个基基本本结结果果）BAB( (2 2) )事事件件 ()5()/()()5/25(|)( )15( )/()( )15/25N ABN ABNP ABP B AN AN ANP A()()/()()(|)( )( )/()( )N ABN ABNP ABP B AN AN

4、 ANP A 条条件件概概率率可可以以用用两两个个特特定定的的无无条条件件概概率率之之商商表表示示。以以上上公公式式不不仅仅在在等等可可能能场场合合成成立立，以以至至于于把把上上式式公公认认在在一一般般场场合合也也是是合合理理为为条条件件概概率率的的的的定定义义。设设A、B是两个事件，且是两个事件，且 P(A) 0, 0, 则称则称()(|) ( )P ABP B AP A B 发生的的发生的的条件概率条件概率. .为在事件为在事件A 发生的条件下发生的条件下, , 事件事件SBABA思考题思考题粉笔盒中有粉笔盒中有5 5只红粉笔只红粉笔,5,5只白粉笔只白粉笔, ,现从中依次抽取两现从中依次

5、抽取两只只, ,已知第一次抽取的是红粉笔已知第一次抽取的是红粉笔, ,求第二次抽取的是红求第二次抽取的是红粉笔的概率是多少粉笔的概率是多少? ?例例题题3 3 下下表表是是给给出出的的乌乌龟龟寿寿命命表表。寻寻求求下下面面一一些些事事件件的的条条件件概概率率 乌龟寿命表乌龟寿命表年龄年龄 存活概率存活概率年龄年龄 存活概率存活概率0204060801001201.000.920.900.890.870.830.781401601802002202402600.700.610.510.390.080.0040.0003求：活到求：活到60岁的乌龟再活岁的乌龟再活40年的概率是多少？年的概率是多少

6、？10060100100606060()()0.83(|)=0.93()()0.89P AAP AP AAP AP A 解解例例4 4. .为防止意外，在矿井内同时安装两种报警系统为防止意外，在矿井内同时安装两种报警系统A与与B。每。每种系统单独使用时，其有效的概率：系统种系统单独使用时，其有效的概率：系统A为为0.920.92，系统，系统B为为0.930.93；在；在A失灵的情况下失灵的情况下B有效的概率为有效的概率为0.850.85。求。求（1 1）在）在B失灵的情况下失灵的情况下A有效的概率有效的概率（2 2）当发生意外时，这两种报警系统至少有一个有效的概率）当发生意外时，这两种报警系统

7、至少有一个有效的概率解：解：设设A=A有效有效 ， B=B有效有效 P(AB)P(A)-P(AB)P(A|B)=P(B)1-P(B)分析分析例例4 4. .为防止意外，在矿井内同时安装两种报警系统为防止意外，在矿井内同时安装两种报警系统A与与B。每。每种系统单独使用时，其有效的概率：系统种系统单独使用时，其有效的概率：系统A为为0.920.92，系统，系统B为为0.930.93；在；在A失灵的情况下失灵的情况下B有效的概率为有效的概率为0.850.85。求。求（1 1）在）在B失灵的情况下失灵的情况下A有效的概率有效的概率（2 2）当发生意外时，这两种报警系统至少有一个有效的概率）当发生意外时

8、，这两种报警系统至少有一个有效的概率解：解：设设A=A有效有效 ， B=B有效有效 P P( (A) = 0.92) = 0.92， P P( (B) =0.93) =0.93（1 1）在）在B失灵的情况下失灵的情况下A有效的概率有效的概率: :P(AB)P(A)- P(AB)P(A| B)=1 P(B)P(B)= = 0 0. .8 82 29 9（2 2）当发生意外时，这两种报警系统至少有一个有效的概率）当发生意外时，这两种报警系统至少有一个有效的概率()( )( )()0.988P ABP AP BP AB P(B | A ) =0.85()( )()(|)( )1( )P BAP BP

9、 ABP B AP AP A ()0.862P AB 3. 3. 性质性质1) 1) 对于任一事件对于任一事件B, B, (|)0 P B A 2)2)1)|(ASP)|(1ABPii)|(1ABPii3) 3) 设设 互不相容互不相容21BB4) 4) )|(ABP)|(1ABP1212125)()| (| )(| )(| )P BBAP B AP B AP B B A SBABA : () P B/A说说明明的的理理解解1 1、空间缩小空间缩小 事件事件A发生发生，可可把把事件事件A 看看成新的样本空间成新的样本空间 ( (前面前面解释的那样解释的那样) ) 2 2、 P( (B|A) )

10、理解新概率理解新概率 P( (B|A) )定义域为任一事件定义域为任一事件B B，是关于事件的函数，因此是一新的概率的定义（可以验是关于事件的函数，因此是一新的概率的定义（可以验证他满足概率的定义）证他满足概率的定义）3(A|B)、P P的的计计算算方方法法由条件概率的定义由条件概率的定义()(|) ( )P ABP B AP A立刻可得下述定理立刻可得下述定理()( ) (|)P ABP A P B A可推广可推广()() (|)P ABP B P A B P(ABC) = P(A)P(B/A)P(C/AB) 乘法定理乘法定理：( )0P A设设 则有则有 ()() () (/)P ABCP

11、AB CP AB P CAB证证明明 ( )0P B 则有则有P(ABC)= P(A)P(B/A)P(C/AB)P(ABC)表示表示A、B、C均发生的概率，首先是均发生的概率，首先是A发生，因此有发生，因此有P(A)， A发生之后发生之后B又发生，又有又发生，又有P(B|A), , 再次，再次，C 又发生，有又发生，有P(C|BA)因此因此 P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|BA)注意：在解决实际问题时，事件理解为条件， 事件发生即满足什么条件这学期学习代数及概率两门数学课，假设每门课这学期学习代数及概率两门数学课，假设每门课的及格率为的及格率为80%，某同学两门课都及格的概率是，某同

12、学两门课都及格的概率是多少？多少？思考题？思考题？一批零件共一批零件共100100件件, , 其中有其中有10 10 件次品件次品, , 每次从每次从其中任取一个零件，取后不放回。试求：其中任取一个零件，取后不放回。试求：2) 2) 若依次抽取若依次抽取3 3 次次, , 求第求第3 3 次才抽到合格品的概率次才抽到合格品的概率3) 3) 如果取到一个合格品就不再取下去，求在如果取到一个合格品就不再取下去，求在3 3 次次内取到合格品的概率内取到合格品的概率 iA“第第 次抽到合格品次抽到合格品”i解解: : 设设3,2, 1i1) 1) 前三次都抽到合格品的概率。前三次都抽到合格品的概率。

13、123121312P(A A A )= P AP A /AP A /A A908988908988= =100999810099981)一批零件共一批零件共100100件件, , 其中有其中有10 10 件次品件次品, , 每次从每次从其中任取一个零件，取后不放回。试求：其中任取一个零件，取后不放回。试求：2) 2) 若依次抽取若依次抽取3 3 次次, , 求第求第3 3 次才抽到合格品的概率次才抽到合格品的概率3) 3) 如果取到一个合格品就不再取下去，求在如果取到一个合格品就不再取下去，求在3 3 次次内取到合格品的概率内取到合格品的概率 iA“第第 次抽到合格品次抽到合格品”i解解: :

14、 设设3,2, 1i1) 1) 前三次都抽到正品的概率。前三次都抽到正品的概率。123()P A A A1010= = 1001002)2)312(|)P AA A)|(12AAP1= ()P A99990980083. 0一批零件共一批零件共100100件件, , 其中有其中有10 10 件次品件次品, , 每次从每次从其中任取一个零件，取后不放回。试求：其中任取一个零件，取后不放回。试求：2) 2) 若依次抽取若依次抽取3 3 次次, , 求第求第3 3 次才抽到合格品的概率次才抽到合格品的概率3) 3) 如果取到一个合格品就不再取下去，求在如果取到一个合格品就不再取下去，求在3 3 次次

15、内取到合格品的概率内取到合格品的概率 解解: :1) 1) 前三次都抽到正品的概率。前三次都抽到正品的概率。3) 3) 设设A“三次内取到合格品三次内取到合格品”112123AAA AA A A则则)(1AP9993. 0)|()(121AAPAP)|()|()(213121AAAPAAPAP一批零件共一批零件共100100件件, , 其中有其中有10 10 件次品件次品, , 每次从每次从其中任取一个零件，取后不放回。试求：其中任取一个零件，取后不放回。试求：2) 2) 若依次抽取若依次抽取3 3 次次, , 求第求第3 3 次才抽到合格品的概率次才抽到合格品的概率3) 3) 如果取到一个合

16、格品就不再取下去，求在如果取到一个合格品就不再取下去，求在3 3 次次内取到合格品的概率内取到合格品的概率 解解: :1) 1) 前三次都抽到合格品的概率。前三次都抽到合格品的概率。3) (3) (方法二方法二) ) 利用对立事件利用对立事件A“三次都取到次品三次都取到次品”123AA A A仿照前面的过程求解即可仿照前面的过程求解即可设一个班中设一个班中1010名学生采用抓阄的办法分一张名学生采用抓阄的办法分一张电影票的机率是否相等电影票的机率是否相等解：解：设设iA“第第 名学生抓到电影票名学生抓到电影票”i1() P A 1012() P A 9112P( A A ) 21() P A

17、A 1() P A 1091013() P A 123123 P( A A A ) P( A A A ) 312. () P AA A21() P AA 1= () P A981110981010, 2 , 1i练习题练习题 . .甲给乙打电话，但忘了电话号码的最后一位数字，甲给乙打电话，但忘了电话号码的最后一位数字，因而对最后一位数字随意拨号，求：因而对最后一位数字随意拨号，求：（1）到第）到第k次才拨通的概率次才拨通的概率（2）不超过）不超过k次而拨通的概率次而拨通的概率某厂生产的仪器每台以某厂生产的仪器每台以 0.7 0.7 的概率可以出厂，的概率可以出厂，以以 0.3 0.3 的概率需

18、要进一步调试，的概率需要进一步调试，经调试后以经调试后以 0.8 0.8 的概率的概率可以出厂，可以出厂，以以 0.2 0.2 的概率为不合格品，不能出厂。的概率为不合格品，不能出厂。求每求每台仪器能出厂的概率。台仪器能出厂的概率。不需要调试的部分（不需要调试的部分（70%）需要调试的部分（需要调试的部分（30%）最终可以出厂最终可以出厂100%80%0.30.810.70.94 =某厂生产的仪器每台以某厂生产的仪器每台以 0.7 0.7 的概率可以出厂，的概率可以出厂，以以 0.3 0.3 的概率需要进一步调试，的概率需要进一步调试，经调试后以经调试后以 0.8 0.8 的概率的概率可以出厂

19、，可以出厂，以以 0.2 0.2 的概率为不合格品，不能出厂。的概率为不合格品，不能出厂。求每求每台仪器能出厂的概率。台仪器能出厂的概率。解解设设 A A “ “仪器能出厂仪器能出厂” B B1 1 “ “仪器需要调试仪器需要调试” B B2 2 “仪器不需要调试仪器不需要调试” 3 . 01BP7 . 02BP8 . 0/1BAP1/2BAP 1122( )(|)(|)P AP A B P BP A B P B( )0.30.81 0.70.94P A =S1B2B3BnB设设S S 是随机试验是随机试验E E 的样本空间的样本空间12, nBBBE是是一一组组事事件件若：若：1) ijB

20、B 122) nBBBS 12, nBBBS则则称称是是样样本本空空间间的的一一个个划划分分划分也被称为分割、剖分等划分也被称为分割、剖分等B可以理解为具体的条件SA1B2B3BnB设随机试验设随机试验E E 的样本空间的样本空间S SnB0)(iBP且), 2 , 1(ni11( )(|) ()P AP A B P B定理定理: :A A 为为 E E 的任意一个事件的任意一个事件, ,为为 S S 的一个划分的一个划分, ,则则,21BB(|) () nnP A BP B 全概率公式的意义全概率公式的意义: : 通过将样本空间划分成几个部分通过将样本空间划分成几个部分( (事事件件) )，

21、事件，事件A也随之划分成几个也随之划分成几个“更小更小”的事件的事件( (ABi), ), 概率概率P(A)转换成了几个转换成了几个“更小更小”事件的概率和事件的概率和. .设某工厂甲设某工厂甲, , 乙乙, , 丙丙 3 3 个车间生产同一种产品个车间生产同一种产品, , 产量产量依次占全厂的依次占全厂的4545, 35, 35, 20, 20, ,且各车间的合格品且各车间的合格品率为率为 0.96, 0.98, 0.95, 0.96, 0.98, 0.95, 现在从仓库中抽查一件现在从仓库中抽查一件, ,问抽出的是次品概率是多大？问抽出的是次品概率是多大？思考题：（思考题：（1）样本空间是

22、什么？）样本空间是什么？（2）样本空间如何划分？）样本空间如何划分？设某工厂甲设某工厂甲, , 乙乙, , 丙丙 3 3 个车间生产同一种产品个车间生产同一种产品, , 产量产量依次占全厂的依次占全厂的4545, 35, 35, 20, 20, ,且各车间的合格品且各车间的合格品率为率为 0.96, 0.98, 0.95, 0.96, 0.98, 0.95, 现在从仓库中抽查一件现在从仓库中抽查一件, ,问抽出的是次品概率是多大？问抽出的是次品概率是多大？解解: :分别表示该产品是由甲、乙、丙车间生产分别表示该产品是由甲、乙、丙车间生产 设设 A = “= “任取一件产品为次品任取一件产品为次

23、品”45. 0)(1BP35. 0)(2BP20. 0)(3BP04. 0)|(1BAP02. 0)|(2BAP05. 0)|(3BAP由题意由题意, ,321BBB( ) P A 45. 004. 031(|) () iiiP A B P B 35. 002. 020. 005. 0035. 0设某工厂甲设某工厂甲, , 乙乙, , 丙丙 3 3 个车间生产同一种产品个车间生产同一种产品, , 产量产量依次占全厂的依次占全厂的4545, 35, 35, 20, 20, ,且各车间的合格品且各车间的合格品率为率为 0.96, 0.98, 0.95, 0.96, 0.98, 0.95, 现在从仓

24、库中抽查一件现在从仓库中抽查一件, ,问抽出的是次品概率是多大？问抽出的是次品概率是多大？( ) P A 45. 004. 031(|) () iiiP A B P B 35. 002. 020. 005. 0035. 0全概率公式的进一步的认识全概率公式的进一步的认识抽出一件是次品的概率，即整个车间的次品率抽出一件是次品的概率，即整个车间的次品率p？2%5%p 能否取平均？能否取平均？最合理的做法应该是以各个车间所占比例取加权平均最合理的做法应该是以各个车间所占比例取加权平均1 1七红七红三黄三黄2 2五蓝五蓝五白五白3 3八蓝八蓝两白两白现在三个盒子现在三个盒子, , 先在第一先在第一个盒

25、子中任取一球个盒子中任取一球, , 若取到红球若取到红球, , 则在第二个盒子中任取两球则在第二个盒子中任取两球; ; 若在第一个盒子中取到黄球，则在第三个盒子中若在第一个盒子中取到黄球，则在第三个盒子中任取两球任取两球, , 求求第二次取到的两球都是蓝球第二次取到的两球都是蓝球的概率的概率解解: : 设设1B= “= “从第一盒子取红球从第一盒子取红球”2B= “= “从第一盒子取黄球从第一盒子取黄球”A= “= “第二次取两只蓝球第二次取两只蓝球”107)(1BP103)(2BP)|(1BAP)|(2BAP则则21025CC21028CC452892)()|()()|()(2211BPBA

26、PBPBAPAP342. 0情景、原因、条件情景、原因、条件 B1情景、原因、条件情景、原因、条件 B2情景、原因、条件情景、原因、条件 Bn后果后果A什么状况可能导致后果发生？什么状况可能导致后果发生？状况状况B发生的可能性发生的可能性P(B)多少？多少？状况状况B发生的条件下发生的条件下A发生的可能性发生的可能性P(A|B)多少？多少？1(|)P A B(|)nP A B1()P B()nP B11() (|)1P B P A BBA本本质质是是原原因因对对后后果果 的的贡贡献献问题问题: :2 23 3? ?从如图所示的箱子从如图所示的箱子中任取一球中任取一球 , , 发现是红球发现是红

27、球 , ,问取自一号箱的概率问取自一号箱的概率. .解解: : 设设iiB = “ = “球取自球取自 号箱号箱”A= “= “取得红球取得红球” 求求 P P( (B B1 1| |A A) )|(1ABP运用全概率公式运用全概率公式计算计算P P( (A A) )()(1APABP31)(iiBP)|()(11BAPBP)(kBAP1 1nBBB,21,0)(AP0)(iBP),2, 1(ni)|(ABPi),2, 1(ni设随机试验设随机试验 E E 的样本空间为的样本空间为S S , , A A是是E E 的任意一个事件的任意一个事件, ,为为S S 的一个划分的一个划分, , 且且)

28、()(APABPi则则niiiBPBAP1)()|()()|(iiBPBAPA A 发生的每个原因的概率发生的每个原因的概率. .贝叶斯公式常常用在观察到事件贝叶斯公式常常用在观察到事件 A A 已发生的条件下，寻找导致已发生的条件下，寻找导致例题例题15 15 商店论箱出售玻璃杯，每箱商店论箱出售玻璃杯，每箱2020只，其中每箱含只，其中每箱含0 0，1 1，2 2只次品的概率分别为只次品的概率分别为0.8, 0.1, 0.10.8, 0.1, 0.1，某顾客选中，某顾客选中一箱，从中任选一箱，从中任选4 4只检查，结果都是好的，便买下了这一只检查，结果都是好的，便买下了这一箱箱. .问这一

29、箱含有一个次品的概率是多少？问这一箱含有一个次品的概率是多少？B0, B1, B2分别表示事件每箱含分别表示事件每箱含0 0，1 1，2 2只次品只次品已知已知:P(B:P(B0 0)=0.8, P(B)=0.8, P(B1 1)=0.1, P(B)=0.1, P(B2 2)=0.1)=0.10 0P(A|B )=1P(A|B )=14 41 19 91 14 42 20 0C C4 4P P( (A A| |B B ) )= = =C C5 54 418182 24 42020C C1212P(A|B )=P(A|B )=C19C19解解: :设设 A:A:从一箱中任取从一箱中任取4 4只检

30、查只检查, ,结果都是好的结果都是好的. .123B0B1B2例题例题15(15(续）续）商店论箱出售玻璃杯，每箱商店论箱出售玻璃杯，每箱2020只，其中每只，其中每箱含箱含0 0，1 1，2 2只次品的概率分别为只次品的概率分别为0.8, 0.1, 0.10.8, 0.1, 0.1，某顾，某顾客选中一箱，从中任选客选中一箱，从中任选4 4只检查，结果都是好的，便买下只检查，结果都是好的，便买下了这一箱了这一箱. .问这一箱含有一个次品的概率是多少？问这一箱含有一个次品的概率是多少？已知已知:P(B:P(B0 0)=0.8, P(B)=0.8, P(B1 1)=0.1, P(B)=0.1, P

31、(B2 2)=0.1)=0.10 0P(A|B )=1P(A|B )=14 41 19 91 14 42 20 0C C4 4P P( (A A| |B B ) )= = =C C5 54 418182 24 42020C C1212P(A|B )=P(A|B )=C19C19由由Ba2yesBa2yes公式公式: :1 11 11 12 2i ii ii i= =0 0P P( (B B ) )P P( (A A| |B B ) )P P( (B B | |A A) )= =P P( (B B ) )P P( (A A| |B B ) )4 40 0. .1 15 5= =0 0. .0 0

32、8 84 48 84 41 12 20 0. .8 81 1+ +0 0. .1 1+ +0 0. .1 15 51 19 9解解: :2 2i ii ii i= =0 04 41 12 2P P( (A A) )= =P P( (B B ) )P P( (A A| |B B ) )= = 0 0. .8 81 1+ +0 0. .1 1+ +0 0. .1 15 51 19 9例题例题16 16 甲袋中有甲袋中有4 4个红球、个红球、4 4个白球，乙袋中个白球，乙袋中2 2个红球、个红球、3 3个白球，任取一个袋子并从中摸出两球，两个全是红球，个白球，任取一个袋子并从中摸出两球，两个全是红球

33、，问从甲袋中摸出球的概率是多少？问从甲袋中摸出球的概率是多少？ AA解解： 设设 表表示示球球是是从从甲甲袋袋中中摸摸出出的的， 表表示示球球是是从从乙乙袋袋中中摸摸出出的的B B表表示示摸摸出出的的两两球球均均为为红红球球。( )(|) ( )(|) ( )P BP B A P AP B A P A 4312 110.1578 725 42()(|) ()(|)0.683()()P ABP B A P AP A BP BP B 临记录诊断试验题16 根根据据以以往往的的床床, ,例例某某种种癌癌症症的的有有如如下下效效果果A, 如如以以 表表示示事事件件 试试验验反反映映为为阳阳性性以以C C 表表示示事事件件 被被诊诊断断,(|)0.95 (|)0.95.P A CP A C 者者患患有有癌癌症症 则则有有,现现在在对对自自然然人人群群进进行行普普查查 设设被被实实验验的的人人患患有有癌癌症症的的概概率率0.005, P(C|A)为为即即P P( (C C) )= =0 0.