高数-chap3-2用微商研究函数1

1、概率统计概率统计下页结束返回一、函数单调性的判定法一、函数单调性的判定法 二、函数极值的检验法二、函数极值的检验法3.2 用微商研究函数 第三章第三章 三、曲线的凹凸性与拐点三、曲线的凹凸性与拐点四、函数的作图四、函数的作图概率统计概率统计下页结束返回一、一、 函数单调性的判定法函数单调性的判定法定理定理 1. 设函数设函数)(xf( )0fx 则则 在在 I 上单调递增上单调递增)(xf( )0) ,fx (递减递减)在在区间在在区间 I 内可导内可导,若若1.定义定义(略略)2.判定定理判定定理xyo)(xfy xyo)(xfy abAB0)( xf0)( xfabBA概率统计概率统计下页

2、结束返回定理定理 1. 设函数设函数)(xf则则 在在 I 上单调递增上单调递增)(xf(递减递减)证证: 不妨设不妨设( )0,fx任取任取)(,2121xxIxx由拉格朗日中值定理得由拉格朗日中值定理得)()()(1212xxfxfxf),(21xxI0 故故12()().f xfx 这说明这说明 在在 I 内单调递增内单调递增.)(xf在区间在区间 I 内可导内可导,若若2.判定定理判定定理( )0fx ( )0) ,fx 概率统计概率统计下页结束返回2.判定定理判定定理注注:1是函数在区间上单调的充分是函数在区间上单调的充分条件，并非必要函数单调增条件，并非必要函数单调增(减减)可能在

3、个别点的导数可能在个别点的导数不存在不存在.如如13( )f xx 在在(-,+)上递增但上递增但(0)f 不存在不存在.注注:2函数单增与单减的分界点只能是导数为零的点或函数单增与单减的分界点只能是导数为零的点或f(x) 无意义的点无意义的点. 它们将函数的定义域分成若干个它们将函数的定义域分成若干个单调区间单调区间.定理定理 1. 设函数设函数)(xf则则 在在 I 上单调递增上单调递增)(xf(递减递减)在区间在区间 I 内可导内可导,若若( )0fx ( )0) ,fx ( )0fx ( )0),f x 概率统计概率统计下页结束返回例例1. 确定函数确定函数31292)(23xxxxf

4、的单调区间的单调区间.解解:12186)(2xxxf)2)(1(6xx令令,0)( xf得得2, 1xxx)(xf )(xf) 1,(2001)2,1 (),2(21故故)(xf的的单调增单调增区间为区间为, ) 1,();,2()(xf的的单调减单调减区间为区间为).2,1 (或或(,1,2,);或或1, 2.概率统计概率统计下页结束返回例例2. 确定函数确定函数232( )(4)f xx的单调区间的单调区间.解解:1324( )3(4)xfxx令令,0)( xf得得0;x x)(xf )(xf(,2) 002( 2, 0)(0, 2)0234故故)(xf的的单调增单调增区间为区间为:)(x

5、f的的单调减单调减区间为区间为:( )fx 在在x=2处无意义处无意义.2(2,)0概率统计概率统计下页结束返回例例3. 证明：证明：0 x 时时, 1.xex 证证: 令令( )1,.xf xex xR ( )1xfxe0 x ( )0,fx( )0,f x 总之总之x0时时,时,( ) ,f x 0 x ( )0,fx时,( ) ,f x ( )(0)0f xf( )(0)0f xf即1.xex 概率统计概率统计下页结束返回二、函数极值的检验法二、函数极值的检验法1.定义定义:0( )(),f xf x (1) 则称则称 为为 的的极大点极大点 ,0 x)(xf称称 为函数的为函数的极大值

6、极大值 ;)(0 xf0( )(),f xf x (2) 则称则称 为为 的的极小点极小点 ,0 x)(xf极大点与极小点统称为极大点与极小点统称为极值点极值点 .极大值与极小值统称为极大值与极小值统称为极值极值 .设函数设函数 f(x) 在在 x0 的某领域内的某领域内U(x0 ) 有定义有定义,0()xU x 有有,若若称称 为函数的为函数的极小值极小值 ;)(0 xf概率统计概率统计下页结束返回例例4. 求函数求函数31292)(23xxxxf的单调区间的单调区间.解解:12186)(2xxxf)2)(1(6xx令令,0)( xf得得2, 1xxx)(xf )(xf) 1,(2001)2

7、,1 (),2(21故故)(xf的的单调增单调增区间为区间为, ) 1,();,2()(xf的的单调减单调减区间为区间为).2,1 (或或(,1,2,);或或1, 2.的极值的极值极大值极大值极小值极小值2) 1 (f1)2(f极小值极小值: 极大值极大值:概率统计概率统计下页结束返回定理定理 2 (极值第一充分条件极值第一充分条件)0()U x且在空心邻域且在空心邻域内有导数内有导数,0时由小到大通过当xx(1) )(xf “左左正正右右负负” ,;)(0取极小值在则xxf(2) )(xf “左左负负右右正正” ,.)(0取极大值在则xxf2.极值的必要条件极值的必要条件定理定理 1 (极值

8、的必要条件极值的必要条件)0()f x若若是函数是函数f(x)的极值的极值,则则0()0fx或或0()fx不存在不存在.3.极值的充分条件极值的充分条件证明证明(略略)(3) )(xf “不变号不变号” ,0()f x则则不是极值不是极值设函数设函数f(x)在在上连续上连续,00()U x概率统计概率统计下页结束返回例例5. 求函数求函数32) 1()(xxxf的极值的极值 .解解:1) 求导数求导数32)(xxf3132) 1(xx35235xx2) 求极值可疑点（驻点或求极值可疑点（驻点或f(x) 无意义的点）无意义的点）令令,0)( xf得得;521x3) 列表判别极值点的情况列表判别极

9、值点的情况x)(xf )(xf05200)0,(),0(52),(52极大值为极大值为:0)0(f极小值为极小值为:23322555( )( ) .f 233255( )极大值极大值极小值极小值( )fx在在x=0无意义无意义.概率统计概率统计下页结束返回定理定理3 (极值第二充分条件极值第二充分条件)二阶二阶 导数导数 , 且且处具有在点设函数0)(xxf,0)(0 xf0)(0 xf,0)() 1 (0 xf若则则 在点在点 取极大值取极大值 ;)(xf0 x,0)()2(0 xf若则则 在点在点 取极小值取极小值 .)(xf0 x证证: (1)(0 xf 00)()(lim0 xxxfx

10、fxx0)(lim0 xxxfxx,0)(0知由 xf存在存在0(, ),U x 0(, ),xU x 0)(0 xxxf时，故当00 xxx;0)( xf时，当00 xxx,0)( xf0 x0 x0 x由第一判别法知由第一判别法知.)(0取极大值在xxf(2) 类似可证类似可证 .有有概率统计概率统计下页结束返回例例6. 求函数求函数1) 1()(32 xxf的极值的极值 . 解解: 1) 求导数求导数,) 1(6)(22xxxf) 15)(1(6)(22 xxxf2) 求驻点求驻点令令,0)( xf得驻点得驻点1,0, 1321xxx3) 判别判别因因,06)0( f故故 为极小值为极小

11、值 ;0)0(f又又,0) 1 () 1( ff故需用第一判别法判别故需用第一判别法判别.,1)(左右邻域内不变号在由于xxf.1)(没有极值在xxf概率统计概率统计下页结束返回极值的判别法极值的判别法( 定理定理2 , 定理定理3) 都是充分的都是充分的. 说明说明:当这些充分条件不满足时当这些充分条件不满足时, 不等于极值不存在不等于极值不存在 .,0( )1,0,0 xxf xxxx另外另外1,0( )xfx 1,0 x 0 x 不可导不可导,由极值的第一充分条件得由极值的第一充分条件得,(0)1f为极小值为极小值.实际上实际上(0)1f为极大值为极大值.xy。（）局部最大概率统计概率统

12、计下页结束返回三、曲线的凹凸与拐点三、曲线的凹凸与拐点1 定义定义 . 设函数设函数)(xf是区间是区间 (a,b) 上可微上可微 函数函数,如果曲线如果曲线( )yf x位于此曲线每一点切线的位于此曲线每一点切线的上上 方，则称曲线方，则称曲线( )yf x在区间在区间(a,b)内是内是向下凸向下凸的。的。(下下)（向上凸的）（向上凸的）凹的凹的凸的凸的xyo)(xfy xyo)(xfy abABabBA凹的凹的凸的凸的概率统计概率统计下页结束返回定义定义 2. 设函数设函数)(xf在区间在区间 I 上连续上连续 ,21Ixx(1) 若恒有若恒有,2)()()2(2121xfxfxxf则称则

13、称的)(xf图形是图形是凹的凹的;xyo)(xfy xyo)(xfy abABabBA凹的凹的凸的凸的1212xxxx1212xxxx(2) 若恒有若恒有,2)()()2(2121xfxfxxf则称则称的)(xf图形是图形是凸的凸的 .概率统计概率统计下页结束返回定义：定义：点点M是连续曲线是连续曲线yf(x)上的凹凸分界点，且过上的凹凸分界点，且过M的切线与曲线相交成十字形，点的切线与曲线相交成十字形，点M称为称为拐点拐点 .yox2x1x221xx yox1x221xx 2xyox定理（拐点的必要条件）：定理（拐点的必要条件）：设函数在点设函数在点x0处有连续的处有连续的二阶微商，若点二阶

14、微商，若点 (x0, f(x0)是拐点，则是拐点，则 f (x0)=0f (x) 在在M可导或导数为无穷可导或导数为无穷概率统计概率统计下页结束返回2. 凹凸判定法凹凸判定法:)(xf(1) 在在 I 内内,0)( xf则则 在在 I 上图形是凹的上图形是凹的 ;)(xf(2) 在在 I 内内,0)( xf则则 在在 I 上图形是凸的上图形是凸的 .)(xf在区间在区间I 上二阶可导上二阶可导说明说明:1) 若在某点二阶导数为若在某点二阶导数为 0 ,则曲线的凹凸性不变则曲线的凹凸性不变 .在其两侧二阶导数不变号在其两侧二阶导数不变号,2) 根据拐点的定义及上述定理根据拐点的定义及上述定理,

15、可得可得拐点的判别法拐点的判别法如下如下:若曲线若曲线)(xfy 00(,),xy在在点点连连续续0)(0 xf或不存在或不存在,但但)(xf 在在 两侧两侧异号异号,0 x则点则点00(,)xy是曲线是曲线)(xfy 的一个拐点的一个拐点.概率统计概率统计下页结束返回例例7. 求曲线求曲线23(1)yxx凹凸区间与拐点凹凸区间与拐点. 解解:1352,3xyx 432(51)9xyx xy y1515(,) 15(,0)0因此曲线因此曲线凹区间为凹区间为 :凸凸凹凹0( 0,)凹凹拐点拐点23(1)yxx15,0,0,).凸区间为凸区间为 :15(,. 拐点为拐点为:61135525(,).

16、两区间不两区间不要合并要合并!概率统计概率统计下页结束返回四、函数图形的描绘四、函数图形的描绘步骤步骤 :1. 确定函数确定函数)(xfy 的定义域的定义域 ,2. 求求, )(, )(xfxf 并求出并求出)(xf 及及)(xf 3. 列表判别增减及凹凸区间列表判别增减及凹凸区间 , 求出极值和拐点求出极值和拐点 ;4. 求渐近线求渐近线 ;5. 作图作图为为 0 和不存在的点和不存在的点 ;并考察其对称性及周期性并考察其对称性及周期性 ;(2) 画出渐近线画出渐近线(3)描点描点:首先是表中的特殊点首先是表中的特殊点(4)结合单调性与凹凸性及渐近线分段连线作图结合单调性与凹凸性及渐近线分段

17、连线作图(必要时补充一些关键点必要时补充一些关键点)(1)画出坐标系画出坐标系(适当确定两轴的单位适当确定两轴的单位)概率统计概率统计下页结束返回若若lim( ),xf xb则曲线则曲线)(xfy 有水平渐近线有水平渐近线.by (,)xx 或若若0lim( ),xxf x 则曲线则曲线)(xfy 有铅直渐近线有铅直渐近线.0 xx 00(,)xxxx或或斜渐近线斜渐近线有则曲线)(xfy 斜渐近线斜渐近线(0).ykxb k(,)xx或或若若lim ( )0,xf x)(bxk ( )limxf xkxlim ( )xbf xkx(,)xx或或(,)xx 或或水平与铅直渐近线水平与铅直渐近线

18、概率统计概率统计下页结束返回例例8. 描绘描绘22331xxy的图形的图形.解解: 1) 定义域为定义域为, ),(无对称性及周期性无对称性及周期性.2),22xxy,22 xy,0 y令2,0 x得,0 y令1x得3)xyy y012)0,() 1 ,0()2, 1 (),2(00234(极大极大)(拐点）拐点）32(极小极小)4)01231无渐近线无渐近线,补充点补充点(-1,2/3)、(3,2)5)描点作图描点作图概率统计概率统计下页结束返回例例9. 描绘函数描绘函数21y22xe的图形的图形. 解解: 1) 定义域为定义域为, ),(图形对称于图形对称于 y 轴轴.2) y21,22xex y2122xe)1 (2x得令0 y;0 x得令0 y1x2100e21xyy y10) 1,0(), 1 (3)(极大极大)(拐点拐点)概率统计概率统计下页结束返回0limyx0y为水平渐近线为水平渐近线5) 作图作图4) 求渐近线求渐近线2221xeyxyoB122100 xyy y10) 1,0(), 1 (极大极大)(拐点拐点)概率统计概率