22春“数学与应用数学”专业《常微分方程》在线作业答案参考4

1、22春“数学与应用数学”专业常微分方程在线作业答案参考1. 证明：Gauss整环Zi关于映射 ：a+bia2+b2作成一个欧氏环证明：Gauss整环Zi关于映射 ：a+bia2+b2作成一个欧氏环正确答案：显然对任意Zi有rn ()=|2 ()=()()rn故当0时令-1=s+ti(stQ)且ab分别是最接近st的整数于是q=a+biZi且rnrn从而由上知：rn (-1-q)=(s-a)2+(t一b)2 (1)rn再令r=-q则r=0或由(1)有rn (r)=(-q=()(-1一q)rn因此Zi关于作成一个欧氏环显然,对任意,Zi,有()=|2,()=()()故当0时,令-1=s+ti(s,

2、tQ)且a,b分别是最接近s,t的整数于是q=a+biZi,且从而由上知：(-1-q)=(s-a)2+(t一b)2(1)再令r=-q,则r=0,或由(1)有(r)=(-q=()(-1一q)因此,Zi关于作成一个欧氏环2. 当x0时，与x相比是( ) A高阶无穷小 B低阶无穷小 C等价无穷小当x0时，与x相比是(  )  A高阶无穷小  B低阶无穷小  C等价无穷小C当x0时，是等价无穷小，可知选C3. 极值点一定包含在区间的内部驻点或导数不存在的点之中。( )A.正确B.错误参考答案：A4. 求直线L在平面：x-y

3、+z+8=0上的投影直线方程求直线L在平面：x-y+z+8=0上的投影直线方程5. 当x0时，f(x)=tan2x/x的极限是( )。A.0B.1C.2D.1/2参考答案：C6. 对10名正常男子空腹测定血糖结果为93，102，110，98，109，92，97，102，100，103(mg%)，求正常男子的空腹血糖值的95%对10名正常男子空腹测定血糖结果为93，102，110，98，109，92，97，102，100，103(mg%)，求正常男子的空腹血糖值的95%可信区间。正常男子的空腹血糖值的95%可信区间是    96.3m104.9 7. 设人们到售票口购买球赛票

4、的平均到达率为每分钟1人，售票员卖一张票平均需20s(到达间隔与服务时间都为负指数设人们到售票口购买球赛票的平均到达率为每分钟1人，售票员卖一张票平均需20s(到达间隔与服务时间都为负指数分布)。  (1)如果比赛开始前2min某球迷到达，若他买好票，估计他寻到其座位大约需1.5min，那么球迷能期望在球赛开始前坐好吗?  (2)该球迷在球赛开始前坐好的概率为多少?  (3)为了在球赛开始前坐好的把握为99%该球迷应多早到达?(1)本问题为M/M/1排队模型，如果以分钟为时间单位，则=1，u=3，。于是，有    

5、    得到票的平均时间W与到达座位的时间之和恰为2min，所以球迷能期望在球赛开始前坐好。    (2)该问题即球迷在服务系统逗留时间U不超过0.5min的概率，有    P(U0.5)=1-e-(3-1)×0.5=1-e-10.63    (3)我们先求时间t，使P(Ut)=0.99，即要求：    P(Ut)=e-(u-)t=e-(3-1)t=e-2t=0.01    -2t=ln0.01,    因此，该球迷能以99%的把握在2.3min

6、内(等待和购票)得到一张票。因为在买到票以后，他需要用1.5min找座位，所以该球迷必须提前2.3+1.5=3.8min到达，才能以0.99概率在球赛开始前就入座。 8. 若数列收敛，则该数列的极限惟一。( )A.正确B.错误参考答案：A9. 试证明： 设f:RnRn，且满足 (i)若是紧集，则f(K)是紧集； (ii)若Ki是Rn中递减紧集列，则，则fC(Rn)试证明：  设f:RnRn，且满足  (i)若是紧集，则f(K)是紧集；  (ii)若Ki是Rn中递减紧集列，则，则fC(Rn)证明 对x0Rn，0，令B0=B(f(x0)，

7、)以及      (mN)，    则由(ii)知又由(i)知Fm=(RnB0)(Km)是紧集，且Fm是递减列，交集是空集，从而存在m0，使得，即    |f(x)-f(x0)，|x-x0|1/m0.    这说明x0是f(x)的连续点，证毕 10. 对一个函数先求不定积分再求微分，两者的作用抵消后只差一个常数。( )A.正确B.错误参考答案：B11. 设向量组1，2，3线性相关，向量组2，3，4线性无关.问 (1) 1能否由2，3线性表出?证明你的结论. (2) 4设向量组1，2，3线性相关，向量组2，

8、3，4线性无关.问  (1) 1能否由2，3线性表出?证明你的结论.  (2) 4能否由1，2，3线性表出?证明你的结论.(1) 解法1 1能由2，3线性表出.因为已知2，3，4线性无关，所以2，3线性无关，又因为1，2，3线性相关，由定理3.7即知1能由2，3线性表出.    解法2 1能由2，3线性表出.因为已知1，2，3线性相关，故存在不全为零的数k1，k2，k3，使    k11+k22+k33=0    其中k10.因为若k1=0，则k2，k3不全为零，使k22+k33=0，即2，3线

9、性相关，从而2，3，4线性相关，这和已知矛盾，故k10，于是得        (2) 4不能由1，2，3线性表出.用反证法：设4可由1，2，3线性表出，即有数1，2，3，使得4=11+22+33.由(1) 知，有1=l22+l33，代入上式，得    4=(2+1l2)2+(3+1l3)3    即4可由2，3线性表出，从而2，3，4线性相关，这与已知矛盾.因此，4不能由1，2，3线性表出.本题主要利用了部分组与整体组的线性相关性之间的关系.注意，由本题(1) 的结论已说明2，3是向量组1，2，3的一个极大无关组，

10、由于在线性表出问题中，极大无关组可以代替向量组本身，注意到这一点，则本题(2) 的结论是显然的. 12. 设随机变量X(5)，求k，使得概率PX=k在分布律中最大设随机变量X(5)，求k，使得概率PX=k在分布律中最大泊松分布    已知X(5)，则其分布律为计算相邻两项的比值，得    当k4时，pk+1pk；当k4时，pk+1pk因此，最大值在k=4，或k=5时取到计算得，即共有两项最大 13. 设A为n阶正交矩阵，Rn，求证设A为n阶正交矩阵，Rn，求证14. 甲从2，4，6，8，10中任取一数，乙从1，3，5，7，9中任取一数，求甲取得的数大于乙

11、取得的数的概率甲从2，4，6，8，10中任取一数，乙从1，3，5，7，9中任取一数，求甲取得的数大于乙取得的数的概率甲从2，4，6，8，10中任取一数，乙从1，3，5，7，9中任取一数各有5种取法，因此共有25种取法，即样本空间含基本事件总数为25；下求A=甲取得数大于乙取得数含基本事件数，当甲取10时，乙只能取1，3，5，7，9共5种取法；甲取8时，乙只能取1，3，5，7共4种取法，同理当甲取2，4，6时，乙分别只有1，2，3种取法，故A含基本事件数为：1+2+3+4+5=15，因此     15. 在有界闭区域D上的多元初等函数，必取得介于最大值和最小值之间的任何值。(

12、 )A.正确B.错误参考答案：A16. 设函数f(x)在a，b上可导，且f(x)0，证明：存在一点(a，b)，使得设函数f(x)在a，b上可导，且f(x)0，证明：存在一点(a，b)，使得  证明令F(x)=lnf(x)，则    因为F(x)在a，b上满足拉格朗日定理的条件，所以，存在一点(a，b)，使得    F(b)-F(a)=F'()(b-a)，即        分析将要证的等式变形为        可观察出应构造函数F(x)=lnf(x)

13、，在a，b上应用拉格朗日定理 17. 把长为的线段截为两段，问怎样截法能使以这两段线为边所组成的矩形的面积最大?把长为的线段截为两段，问怎样截法能使以这两段线为边所组成的矩形的面积最大?正确答案：设一段长为x则另一段长为-x矩形面积为f(x)=x(-x)则f"(x)=-2x=0故x=/2f"(x)=-20故x=/2是f(x)的极大值点。 rn 故当两段等长度截开时以这两线段为边所组成的矩形面积最大。设一段长为x,则另一段长为-x,矩形面积为f(x)=x(-x),则f"(x)=-2x=0,故x=/2,f"(x)=-20,故x=/2是f(x)的极大值点。故当

14、两段等长度截开时,以这两线段为边所组成的矩形面积最大。18. 根据研究对象的不同性质，预测模型可以分为( )。 A比例关系模型 B时间关系模型 C相关关系模型 D结构根据研究对象的不同性质，预测模型可以分为(  )。  A比例关系模型  B时间关系模型  C相关关系模型  D结构关系模型  E发展关系模型BC19. 当x0时，确定无穷小量y的主要部分cxn(c是常数)：y=tan(sinx)-sin(tanx)当x0时，确定无穷小量y的主要部分cxn(c是常数)：y=tan(

15、sinx)-sin(tanx)首先建立展式        事实上，将tanx表为        并利用展式2)、3)、4)，得    即为所求的结果    利用此公式以及先前的展式得        由此得 20. 设有一代数系统(I，*)满足封闭性，其中l为整数集，运算“*”定义为：对于任意的abI，a*b=a+b-5证明(I，*)是群设有一代数系统(I，*)满足封闭性，其中l为整数集，运算“*”定义为：对于任意的abI，a*b=a+b-5证明(I，*)是群证明  (1)(a*b)*c=(a+b-5)*c    =a+b-5+c-5=a+b+c-10，    a*(b*c)=a*(b+c-5)    =a+b+c-5-5    =a+b+c-10