职高数学知识点总结(2)

1、职高数学概念与公式初中根底知识:1 .相反数、绝对值、分数的运算；2 .因式分解：提公因式：xy-3x=(y-3)x十字相乘法如：3x25x2=(3x+1)(x2)配方法如：2x2+x-3=2(x+-)2-48公式法：(x+y)2=x2+2xy+y2(x-y)2=x2-2xy+y2x2-y2=(x-y)(x+y)3 .一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程组的解法：(1)代入法(2)消元法6 .完全平方和(差)公式：a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)27 .平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)8 .立方和(差)公式：a3+b3=(a+b)(a2ab+b2)

2、a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)第一章集合1 .构成集合的元素必须满足三要素：确定性、互异性、无序性.2 .集合的三种表示方法：列举法、描述法、图像法(文氏图).注：描述法及|立工,;另重点类型如：y|y=x2-3x+1,xw(-1,3元素元素性质取值范围3.常用数集:集合名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集表不N一一*N3NZQR4.元素与集合、集合与集合之间的关系：(1)元素与集合是“w与“正的关系.(2)集合与集合是“三“三“=“马的关系.注：(1)空集是任何集合的子集,任何非空集合的真子集.(做题时多考虑小是否满足题意)(2)一个集合含有n个元素,那么它的子集有2n个,真

3、子集有2n-1个,非空真子集有2n-2个.5 .集合的根本运算(用描述法表示的集合的运算尽量用画数轴的方法)(1)交集：AB=x|x乏A且x乏B:A与B的公共元素(相同元素)组成的集合2并集：AUB=x|xwA或xwB:A与B的所有元素组成的集合相同元素只写一次3补集：CuA:U中元素去掉A中元素剩下的元素组成的集合.注：CuAB=CuACuBCuAB=CuACuB6 .逻辑联结词：且八、或非如果那么口量词：存在3任意V真值表：PAq：其中一个为假那么为假,全部为真才为真;pvq:其中一个为真那么为真,全部为假才为假;P：与P的真假相反.同为真时“且为真,同为假时“或为假,真的“非为假,假的“

4、非为真；真“推假为假,假“推真假均为真.7 .命题的非1是T不是都是T不都是至少有一个不是23,使得p成立t对于V,都有p成立.对于卡,都有P成立T3,使得P成立(3)(Pq)=-Pq一(Pq)=P-q8.充分必要条件P是q的条件不充分p:1二q必要p.一二qp二;二qp是条件,q是结论p是q的充分不必要条件充分条件p是q的必要不充分条件必要条件p是q的充分必要条件充要条件p是q的既不充分也不必要条件第二章不等式1.不等式的根本性质：注：1比拟两个实数的大小一般用比拟差的方法；另外还可以用平方法、倒数法如:J2021J2021与J2021-、2021(倒数法)等.(2)不等式两边同时乘以负数要

5、变号！(3)同向的不等式可以相加(不能相减),同正的同向不等式可以相乘.2 .重要的不等式：(均值定理)(1) a2+b2之2ab,当且仅当a=b时,等号成立.(2) a+b2x；ab(a,bR+),当且仅当a=b时,等号成立.(3) a+b+c3Vabc(a,b,c=R4),当且仅当a=b=c时,等号成立.注：山(算术平均数)之踊(几何平均数)23 .一元一次不等式的解法=b2-4ac0=0A0)的根后两个不等的实根xi,x2(xi0(a0)的解集&|xMx1或xx2x|x-R2_LI_LCax+bx+c0)的解集&|%xx244.一元二次不等式的解法(1)保证二次项系数为正(2)分解因式(

6、十字相乘法、提取公因式、求根公式法),目的是求根:(3)定解：(口诀)大于两根之外,大于大的,小于小的；小于两根之间注：假设A=0或A0,用配方的方法确定不等式的解集.5 .绝对值不等式的解法|x|au-axaxaEx0 特殊函数定义域y=x0,x=0y=ax,(a:0且a=1),xwRy=logax,(a0且a=1),x031y二tanx,x二k二?,(kZ)(2) 值域的求法：y的取值范围 正比例函数：y=kx和一次函数：y=kx+b的值域为R 二次函数：y=ax2+bx+c的值域求法：配方法.如果x的取值范围不是R那么还需画图像1反比例函数：y=的值域为y|y#0x(3)解析式求法：在求

7、函数解析式时可用换元法、构造法、待定系数法等.4 .函数的奇偶性：(1)定义域关于原点对称(2)假设f(x)=f(x)T奇假设f(-x)=f(x)T偶注：假设奇函数在x=0处有意义,那么f(0)=0常值函数f(x)=a(a=0)为偶函数f(x)=0既是奇函数又是偶函数5 .函数的单调性：对于Vxi、X2wa,b且xiX2,假设f(x1)“乂2),称汽)在口力上为减函数增函数：x值越大,函数值越大；x值越小,函数值越小.减函数：x值越大,函数值反而越小；x值越小,函数值反而越大.复合函数的单调性：h(x)=f(g(x)f(x)与g(x)同增或同减时复合函数h(x)为增函数；f(x)与g(x)相异

8、时(一增一减)复合函数h(x)为减函数.注：奇偶性和单调性同时出现时可用画图的方法判断.6 .二次函数：(1)二次函数的三种解析式：一般式：f(x)=ax2+bx+c(a=0)顶点式：f(x)=a(x-k)2+h(a=0),其中(k,h)为顶点两根式：f(x)=a(xx1)(xx?)(a=0),其中x1、x2是f(x)=0的两根(2)图像与性质：二次函数的图像是一条抛物线,有如下特征与性质：开口a0T开口向上ac0T开口向下对称轴：x=-2aA顶点坐标：(啖现/)A0T有两交点与x轴的交点：A=0T有1交点00一f(X)0)图像包于X轴上万0fa0,、一f(x)0u1匕图像包于x轴下万0 假设

9、二次函数对任意x都有f(tx)=f(t+x),那么其对称轴是x=t. 假设二次函数“*)=0的两根“、x2.一一-f至01.右两根xx2一正一负,那么xXix20假设同负,那么x1+x20,那么f(a)A0假设a0,那么f(a)0J(b)0,m,nN第n1)(3)实数指数幕的运算法那么：(a0,m,neR)Damnm-na=amnmnnnn(a)=a(ab)=ab2.幕运算时,注意将小数指数、个数的n次方.根式都统一化为分数指数;般将每个数都化为最小的3.aara/ra当aA0时,A号函数y=xa当ac0时,y=xa在(0,+r)上单调递增y=xa在(0,+00)上单调递减4.指数与对数的互化

10、ba=NulogaN=b(a0且a#1)、(N0)对数根本性质：logaa=1loga1=010gaaN=N1.logab与logba互为倒数ulogablogba=1ulogab=logbannlogamb=logabm5 .对数的根本运算：Aloga(MN)=logaM+logaNlogaM=logaMTogaNN6 .换底公式:logaN=l0gbN(b0Hb1)logba7.指数函数、对数函数的图像和性质指数函数对数函数定义y=ax(a0,a=1的常数)y=logax(a0,a#1的常数)(次)或用换底公式或是利用中间值0,1来过渡.9.指数方程和对数方程(1)指数式和对数式互化(2)

11、同底法(3)换元法(4)取对数法注：解完方程要记得验证根是否是增根,是否失根.第五章数列等差数列等比数列每一项与前一项之差为同一个常数每一项与前一项之比为同一个常数定a2-ai=a3-a2=,-=anan/=da2a3an一小=,=q(q#0)义a1a2an注：当公差d=0时,数列为常数列注：等比数列各项及公比均不能为0;当公比为1时,数列为常数列通项an=a1+(n-1)dnU公式an=aq推(1)d=anam(1)qnn-mam论(2)an=am+(n-m)dn-man=amq(3)假设m+n=p+q,那么am+an=ap+aq(3)假设m+n=p+q,那么aman=apaq中项公式二个数

12、a、b、c成等差数列,那么有a+c2b=a+c=b=2三个数a、b、c成等比数列,那么有b2=ac前n项和公式Sn=n(a1+an)+n(n-1)d现(1-qn)a1-anqna122dDnqJ/1-q1-q其它S2n1=(2n-1)不如:S7=7a4等差数列的连续n数列项之和仍成等差等比数列的连续n项之和仍成等比数列1.前n项和Sn的解析式,求通项an:anS1(n=1)Sn-Sn_i(n之2)第六章三角函数1.2.弧度和角度的互换：180=n弧度,扇形弧长公式和面积公式1=工弧度比0.01745弧度,1弧度=d80)0忠5718180二112L扇=|a|r,AS扇=2Lr=2|a|r,1(

13、记忆法：与S-2ah类似)注：如果是角度制的可转化为弧度制来计算3.任意三角函数的定义：.一对边一倒数,一,1sin-=人,esc-=斜边sin记忆法：S、C互为倒数邻边倒数1cos=二-sec：=斜边cosa记忆法：GS互为倒数tan二对边wT倒数1tan-4.特殊三角函数值:ot0=00-0一=30600一二4540-0一=6030-0一=902一象限sin&v102近2交2理2北2cosav142石2交2&2近2tan口0x-331V3/、存在5.三角函数的符号判定tana=Sinc=1可用于化简、证实等cos二cot;sin2u+cos2a=11.可用于sina求cosa;或者反过来运

14、用.2.注意1的运用1+tan2o=sec2a可用于cosa或sina求tana或者反过来运用7 .诱导公式：（1） 口诀：奇变偶不变,符号看象限.解释：指k.-+akZ,假设k为奇数,那么函数名要改变,假设k为偶数函数名不变.22分类记忆去掉偶数倍n即2kn将剩下的写成口一象限、n-a二象限、n+a三象限、豆四象限再看象限定正负号函数名称不变；或写成“-口一象限、“+a二象限,再看象限定正22负号要变函数名称要特别注意以上公式中立余、互补公式及运用；做题时首先观察两角之间是否是互余或互补的关系.8 .三角函数值求角a1确定角a所在的象限2求出函数值的绝对值对应的锐角a3写出满足条件的02n的

15、角4加上周期同终边的角的集合9 .和角、倍角公式：sin(aP)=sincecosPcosasinP注意正负号相同co契土P)=coscossisinP注意正负号相反tan:；：tan:=tan(,之二P)(1tan二tan:)tan:二tan:tan(二)二1-tan-tan-sin2=2sin口cos,-2.2-22cos2-cos-sin-=2cos二-1=1-2sin-tan2二2tan二,21-tan二Oftan二21-cos：sin-sin二_1-cos：1cos二11cos：10.三角函数的图像与性质函数图像性质定义域值域同期奇偶性单调性y=sinx451LxwR-1,1T=2n

16、奇nn2kn,2kn+2233r2kn+,2kn+J22y=cosxJL/lxwR-1,1T=2n偶2kn-n,2kn2kn,2kn+兀Jy=tanxT;y工rjix/依十一2kwZRT=n奇n:n(kn,kn+-)22-I111.正弦型函数y=Asin(ccx十中)(A0,0)(2)周期：T=(1)定义域R,值域-A,A0(3)注意平移的问题：一要注意函数名称是否相同,二要注意将x的系数提出来,再看是怎样平移的.(4)y=asinx+bcosx类型,y=asinxbcosx=,a2b2sin(x:)12.正弦定理：asinAbsinBcsinC=2R(R为MBC的外接圆半径)其他形式：(1)

17、a=2RsinAb=2RsinBc=2RsinC(注意理解记忆,可只记一个),222八bc-acosA=2bc(2)a:b:c=sinA:sinB:sinC13.余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA14.三角形面积公式SAbc11,.1二一absinC=bcsinA=acsinB15.三角函数的应用中,注意同次、同角、同边的原那么,以及三角形本身边、角的关系.如两边之各大于第三边、三内角和为180,第一个内角都在(0产)之间等.第七章平面向量1.向量的概念(1)定义：既有大小又有方向的量.(2)向量的表示：书写时一定要加箭头！另起点为A,终点为B的向量表示为AB(3)向量的模(长度)：|

18、AB|或(4)零向量：长度为0,方向任意.单位向量：长度为1的向量.向量相等：大小相等,方向相同的两个向量.反(负)向量：大小相等,方向相反的两个向量.2,向量的运算(1)图形法那么加法：AB+BC=AC减法：ABAC=CA(3)运算律：加法交换律、结合律注：乘法(内积)不具有结合律3,数乘向量：入a(1)模为：|九|a|(2)方向：九为正与a相同；九为负与a相反.4. AB的坐标：终点B的坐标减去起点A的坐标.AB=(xB-xA,yB-yA)5. 向量共线(平行)：三惟一实数九,使得a=Kb.(可证平行、三点共线问题等)6. 平面向量分解定理：如果E,是同一平面上的两个不共线的向量,那么对该

19、平面上的任一向量a,都存在惟一的一对实数a1,a2,使得a=2161+a2e2.向量a在基e,e2下的坐标为(ai,a2).1一一7 .中点坐标公式：M为AB的中点,那么OM=(OA+OB)28 ,注意以ABC中,(1)重心(三条中线交点)、外心(外接圆圆心：三边垂直平分线交点)、内心(内切圆圆心：三角平分线交点)、垂心(三高线的交点)的含义1 -2假设D为BC边的中点,那么AD=(AB+AC)坐标：两点坐标相加除以22(3)假设O为MBC的重心,那么AO+BO+CO=0;(重心坐标：三点坐标相加除以3)9,向量的内积(数量积)：(1)向量之间的夹角：图像上起点在同一位置；范围0,叼.(2)内

20、积公式：ab=|a|b|cos10.向量内积的性质：,、,rab(1)cos0)其中圆心(a,b),半径r.(2) 一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F0)圆心(-|,-1D2E2-4F半径：rE4F(3)参数方程:(x-a)2+(y-b)2=r2的参数方程为x=rcos日+aJHCOSH+b.,)(4)直线和圆的位置关系：主要用几何法,利用圆心到直线的距离d和半径r比拟dr相离(6)圆.1与圆.2的位置关系：利用两圆心的距离d与两半径之和十上及两半径之差1-2比拟,再画个图像来判定.(总共五种：相离、外切、内切、相交、内含)(7)圆的切线方程： 过圆x2+y2=1上一点

21、P(x0,y)的圆的切线方程：xx+y0y=r2 过圆(x-a)2+(y-b)2=r2外一点P(x,y)的圆的切线方程：肯定有两条,设切线的斜率为k,写出切线方程(点斜式),再利用圆心到直线的距离等于半径列出方程解出k06.圆锥曲线的定义：动点到定点(焦点)的距离和到定直线(准线)的距离之比为常数e(离心率的点的轨迹.当0e1时,为椭圆；当eA1时,为双曲线；当e=1时为抛物线7.椭圆几何定义动点与两定点焦点的跑离之和等于常数2a|PR|十|PF2|=2a标准方程22二十二=1焦点在x轴上ab22勺+上2=1焦点在y轴上ba图像C-2a,b,c的关系a2=b2十c2注意：通常题目会隐藏这个条件

22、对称轴与对称中央x轴:长轴长2a；y轴:短轴长2b；00,0顶点坐标土a,00,土b焦点坐标土c,0焦距2c注：要特别注意焦点在哪个轴上准线方程2,ax=土c离心率c/b2e-1-21a曲线范围x0)2y=-2px(p0)2-,x=2py(p0)x=2py(pa0)隹百八、八、坐标pF(合0)pF(-f,0)pF*)pF(*)准线方程x=.R2x2y=2py=i顶点O(0,0)对称轴x轴y轴离心率e=1注：(1)p的几何意义表示焦点到准线的距离.(2) 掌握焦点在哪个轴上的判断方法(3) AB是抛物线y2=2px(p0)的焦点弦,A(x,yi),B(x2,y2),那么弦长2P2|AB|=Xi+

23、X2+pX1X2=；y1y2=-p4第九章立体几何1 .空间的根本要素：点、线、面2 .平面的根本性质1 1)三个公理：如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上的所有的点都在这个平面内.如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们的所有公共点组成的集合是过该点的一条直线.经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面.2 2)三个推论：经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面.经过两条相交直线,有且只有一个平面.经过两条平行直线,有且只有一个平面.3 .两条直线的位置关系：(1)相交：有且只有一个公共点,记作“aCb=A(2)平行：a.过直线外一点有且只有一条直线与该直线平行.b.

24、平行于同一条直线的两条直线平行(3)异面：定义：不同在任何一个平面内的两条直线的角.注异面直线的夹角：对于两条异面直线,平移一条与另一条相交所成的不大于2意在找异面直线之间的夹角时可作其中一条的平行线,让它们相交.异面直线间的距离：与两异面直线都垂直相交的直线为其公垂线；夹在两异面直线间的局部为公垂线段；公垂线段的长度为异面直线间的距离.4 .直线和平面的位置关系：(1) 直线在平面内：1三口(2)直线与平面相交：1na=A(3)直线与平面平行义定质平定判性线没有公共点,记作：1/a如果平面外一条直线与平面内一条直线平行,那么该直线与平面平行.如果一条直线与一平面平行,且过直线的另一平面与该平面相交,那么该直线与交05.两个平面的位置关系(1)相交：anP=1(2)平行:定义：没有公共点,记作：IB 判定：如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面都平行,那么两平面平行 性质：a.两个平行平面与第三个平面都相交,那么交线互相平行b.平行于同一平面的两个平面平行c.夹在两平行平面间的平行线段相等d.两条直线被三个平行平面所截得的对应线段成比例6 .直线与平面所成的角：(1)定义：直线与它