工程力学第七章截面的几何性质

1、课 时 授 课 计 划授课日期2011.10.23班 别1044-3题 目第七章 截面的几何性质目的要求Ø 了解重心、形心、静矩、惯性矩的概念Ø 会求解静矩、惯性矩及几何形心Ø 了解平行移轴定理重点静矩、惯性矩难点平行移轴定理教 具课本教 学 方 法课堂教学报书设计第七章 截面的几何性质第一节 静矩与形心第二节 惯性矩、极惯性矩和惯性积第三节 惯性矩的平行移轴定理教学过程：复习： 1、复习材料在轴向拉伸和压缩时的力学性质的概念。新 课：第七章 截面的几何性质第一节 静矩与形心一、静矩如图所示平面图形，可以将它看作是某杆件的横截面，其面积为A，其上任一微面积为dA。

2、若选取如图所示平面计较直角坐标系yoz，dA到y轴和z轴的距离分别为z和y，我们把对ydA称作微面积dA对z轴的静矩，把zdA称作微面积dA对y轴的静矩；把dA对z轴（或y轴）的静矩总和称作截面A对z轴（y轴）的静矩。用Sz(或Sy)表示。定义式：， （6-1）若已知截面的形心C（zC，yC），则静矩可用下式计算：，（6-2）该式表明：1）截面对某轴的静矩等于截面面积A与截面形心到该轴的距离的乘积。2）若某轴经过形心，则截面对该轴的静矩一定等于零，；反之，若截面对某轴的静矩等于零，则该轴一定通过截面的形心。静矩与所选坐标轴有关，其值可能为正，负或零。单位为：m3、cm3、mm3。二、形心工程上

3、许多物体可以看作是匀质物体，即物体的单位体积重为常量，这类物体的重心往往取决于物体的几何形状，而与物体的重量无关。由物体的几何形状和尺寸决定的物体的几何中心称作物体形心。对匀质物体来说，形心和重心是重合的。截面的形状和尺寸以及放置方式都是影响杆件承载能力的重要因素，而这些影响因素又是通过截面的某些几何性质来反映的，所以，我们要研究杆件的强度、刚度和稳定性问题，就必须研究截面的几何性质及其计算。三、组合截面的静矩计算公式由几个简单截面组合而成的截面称为组合截面。组合界面的静矩等于各简单截面对同一坐标轴静矩的代数和：（6-3）四、组合截面形心由公式（6-2）可知，若将公式（6-3）代入该式，则有由

4、此可推出组合截面形心坐标的计算公式为：（6-4）式中分别表示各简单图形的面积及形心坐标值。第二节 惯性矩、极惯性矩和惯性积一、惯性矩的概念如图所示，微面积dA到y轴和z轴的距离分别为z和y，我们把对y2dA称作微面积dA对z轴的惯性矩，把z2dA称作微面积dA对y轴的惯性矩；把y2dA（或z2dA）的总和称作截面A对z轴（y轴）的惯性矩。用Iz(或Iy)表示。， （6-5）惯性矩Iz、Iy恒为正值，不会等于零。惯性矩的单位为：m4、cm4、mm4。在工程中有时为了便于使用，也可以将惯性矩的计算公式写成一下形式： （6-6）或 ， 式中：A截面面积； 称作截面的惯性半径。dAyyO图I2zz如图

5、I2所示平面图形代表一任意截面，在图形平面内建立直角坐标系zOy。现在图形内取微面积dA，dA的形心在坐标系zOy中的坐标为y和z，到坐标原点的距离为。现定义y2dA和z2dA为微面积dA对z轴和y轴的惯性矩，2dA为微面积dA对坐标原点的极惯性矩，而以下三个积分 （I7）分别定义为该截面对于z轴和y轴的惯性矩以及对坐标原点的极惯性矩。由图（I2）可见，所以有 （I8）即任意截面对一点的极惯性矩，等于截面对以该点为原点的两任意正交坐标轴的惯性矩之和。另外，微面积dA与它到两轴距离的乘积zydA称为微面积dA对y、z轴的惯性积，而积分 （I9）定义为该截面对于y、z轴的惯性积。从上述定义可见，同

6、一截面对于不同坐标轴的惯性矩和惯性积一般是不同的。惯性矩的数值恒为正值，而惯性积则可能为正，可能为负，也可能等于零。惯性矩和惯性积的常用单位是m4或mm4。zdACz1y1y1abO图I3z1yzy二、惯性矩、惯性积的平行移轴和转轴公式1、惯性矩、惯性积的平行移轴公式图I3所示为一任意截面，z、y为通过截面形心的一对正交轴，z1、y1为与z、y平行的坐标轴，截面形心C在坐标系z1O y1中的坐标为（b，a），已知截面对z、y轴惯性矩和惯性积为Iz、Iy、Iyz，下面求截面对z1、y1轴惯性矩和惯性积Iz1、Iy1、Iy1z1。 （I10）同理可得 （I11）式（I10）、（I11）称为惯性矩的

7、平行移轴公式。下面求截面对y1、z1轴的惯性积。根据定义 由于z、y轴是截面的形心轴，所以Sz=Sy=0，即 （I12）式（I12）称为惯性积的平行移轴公式。2、惯性矩、惯性积的转轴公式图（I4）所示为一任意截面，z、y为过任一点O的一对正交轴，截面对z、y轴惯性矩Iz、Iy和惯性积Iyz已知。现将z、y轴绕O点旋转角（以逆时针方向为正）得到另一对正交轴z1、y1轴，下面求截面对z1、y1轴惯性矩和惯性积、。 （I13）同理可得 （I14） （I15）式（I13）、（I14）称为惯性矩的转轴公式，式（I15）称为惯性积的转轴公式。第三节 惯性矩的平行移轴定理一、平行移轴定理同一个截面对不同的坐

8、标轴的惯性矩是不相同的。但截面对任一坐标轴的惯性矩与经过截面形心、且与该坐标轴平行的坐标轴之间存在一些关系。下图所示截面形心为C，过形心的坐标轴为。坐标轴z和y是与轴平行的坐标轴，a和b是z轴和轴、y轴和间的距离，若已知截面对形心轴的惯性矩Izc和Iyc，则截面对z和y轴的惯性矩Iz和Iy，则可由下试求出简单证明之：  其中 为图形对形心轴 的静矩，其值应等于零，则得：   。上式称作平行移轴定理，它表明：（1）截面对任一坐标轴的惯性矩等于截面对该轴的形心轴的惯性矩加上截面面积和两轴之间距离的平方的乘积。（2）由于a2和b2恒为正值，面积也为正值，因此截面对一些相互平行的坐标轴的惯性矩中，经过截面形心的惯性矩是的最小。二、组合截面对形心轴惯性矩的计算组合截面对某一坐标轴的惯性矩等于各简单截面对同一坐标轴的惯性矩的和。 由于组合截面的形心轴一般不是各简单截面的形心轴，因此可以应用平行移轴定理先计算出各简单截面对组合截面形心轴的惯性矩，然后求出它们的和，即为该组合截面对其形心轴的惯性矩。以上关系可由下式表示式中：Izc、Iyc组合截面对其形心轴的惯性矩；Izci、Iyci各简单图