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文档简介

1、线性代数复习题一、判断题 (正确在括号里打,错误打)1. 把三阶行列式的第一列减去第二列,同时把第二列减去第一列,这样得到的新行列式与原行列式相等,亦即 . ( )2. 若一个行列式等于零,则它必有一行(列)元素全为零,或有两行(列)完全相同,或有两行(列)元素成比例. ( )3. 若行列式D 中每个元素都大于零,则D 0. ( )4. 设都是阶矩阵,且,则. ( ) 5. 若矩阵A的秩为r ,则A的r1阶子式不会全为零. ( )6. 若矩阵A与矩阵B等价,则矩阵的秩R(A) = R(B). ( )7. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合. ( )8. 若向量组线性相关,则一定可由线性

2、表示. ( )9. 向量组中,若与对应分量成比例,则向量组线性相关. ( )10. 线性无关的充要条件是:该向量组中任意两个向量都线性无关. ( )11. 当齐次线性方程组的方程个数少于未知量个数时,此齐次线性方程一定有非零解. ( )12. 齐次线性方程组一定有解. ( ) 13. 若为可逆矩阵A的特征值,则为的特征值. ( )14. 方程组的解向量都是矩阵A的属于特征值的特征向量. ( )15. n阶方阵A有n个不同特征值是A可以相似于对角矩阵的充分条件. ( )16. 若矩阵与矩阵相似,则. ( ) 二、单项选择题1. 设行列式则行列式 ( ) 2. 行列式的元素的代数余子式的值为 (

3、)3. 四阶行列式中x的一次项系数为 ( )4. 设则D2与D1的关系是 ( )5. n阶行列式的值为 ( ) 6. 已知 则 ( )7. 设A是n阶方阵且,则 ( )8. 设A是矩阵,B是矩阵,则下列运算结果是m阶方阵的是 ( )9. A和B均为n阶方阵,且,则必有 ( )10. 设A、B均为n阶方阵,满足等式,则必有 ( ) 11. 设A是方阵,若有矩阵关系式,则必有 ( ) 12. 已知方阵,以及初等变换矩阵,则有 ( ) 13. 设A、B为n阶对称阵且B可逆,则下列矩阵中为对称阵的是 ( ) 14. 设A、B均为n阶方阵,下面结论正确的是 ( )(A) 若A、B均可逆,则A+B可逆(B

4、) 若A、B均可逆,则AB可逆(C) 若A+B均可逆,则AB可逆(D) 若A+B可逆,则A、B均可逆15. 下列结论正确的是 ( )(A) 降秩矩阵经过若干次初等变换可以化为满秩矩阵(B) 满秩矩阵经过若干次初等变换可以化为降秩矩阵(C) 非奇异阵等价于单位阵(D) 奇异阵等价于单位阵16. 设矩阵A的秩为r,则A中 ( )(A) 所有r1阶子式都不为0(B) 所有r1阶子式全为0(C) 至少有一个r阶子式不为0(D) 所有r阶子式都不为017. 设A、B、C均为n阶矩阵,且ABC = E,以下式子(1) BCA = E,(2) BAC = E,(3) CAB = E,(4) CBA = E中

5、,一定成立的是 ( )(A) (1) (3)(B) (2) (3)(C) (1) (4)(D) (2) (4)18. 设A是n阶方阵,且(s为正整数),则等于 ( ) 19. 已知矩阵,是A的伴随矩阵,则中位于(1, 2)的元素是 ( )(A) 6(B) 6(C) 2(D) 220. 已知A为三阶方阵,R(A) = 1,则 ( )21. 已知矩阵A的行向量组线性无关,则矩阵AT的秩等于 ( )(A) 1(B) 2(C) 3(D) 422. 设两个向量组和均线性无关,则 ( )(A) 存在不全为0的数使得和(B) 存在不全为0的数使得(C) 存在不全为0的数使得(D) 存在不全为0的数和不全为0

6、的数使得和23. 设有4维向量组,则 ( )(A) 中至少有两个向量能由其余向量线性表示(B) 线性无关(C) 的秩为4(D) 上述说法都不对24. 设线性无关,则下面向量组一定线性无关的是 ( )25. n维向量组线性无关的充要条件是 ( )(A) 中任意两个向量都线性无关(B) 中存在一个向量不能用其余向量线性表示(C) 中任一个向量都不能用其余向量线性表示(D) 中不含零向量26. 下列命题中正确的是 ( )(A) 任意n个n+1维向量线性相关(B) 任意n个n+1维向量线性无关(C) 任意n+1个n维向量线性相关(D) 任意n+1个n维向量线性无关27. 已知线性方程组的系数行列式D

7、=0,则此方程组 ( )(A) 一定有唯一解(B) 一定有无穷多解(C) 一定无解(D) 不能确定是否有解28. 已知非齐次线性方程组的系数行列式D =0,把D的第一列换成常数项得到的行列式,则此方程组 ( )(A) 一定有唯一解(B) 一定有无穷多解(C) 一定无解(D) 不能确定是否有解29. 已知A为矩阵,齐次方程组仅有零解的充要条件是 ( )(A) A的列向量线性无关(B) A的列向量线性相关(C) A的行向量线性无关(D) A的行向量线性相关30. 已知A为矩阵,且方程组有唯一解,则必有 ( )31. 已知n阶方阵A不可逆,则必有 ( ) (D) 方程组只有零解32. n元非齐次线性

8、方程组的增广矩阵的秩为n+1,则此方程组 ( )(A) 有唯一解(B) 有无穷多解(C) 无解 (D) 不能确定其解的数量33. 已知是非齐次线性方程组的任意两个解,则下列结论错误的是 ( )(A) 是的一个解(B) 是的一个解(C) 是的一个解(D) 是的一个解34. 若是线性方程组的基础解系,则是该方程组的 ( )(A) 解向量(B) 基础解系(C) 通解(D) A的行向量35. 若是线性方程组的解,是方程的解,则以下选项中是方程的解的是 ( ) (C为任意常数)36. 已知矩阵A的秩为,是齐次线性方程组的任意两个不同的解,k为任意常数,则方程组的通解为 ( ) 37. n阶方阵A为奇异矩

9、阵的充要条件是 ( )(A) A的秩小于n(C) A的特征值都等于零(D) A的特征值都不等于零38. 已知A为三阶方阵,E为三阶单位阵,A的三个特征值分别为,则下列矩阵中是可逆矩阵的是 ( )39. 已知是n阶方阵A的两个不同特征值,对应的特征向量分别为,则 ( )(A) 和线性相关(B) 和线性无关(C) 和正交(D) 和的内积等于零40. 已知A是一个阶方阵,下列叙述中正确的是 ( )(A) 若存在数和向量使得,则是A的属于特征值的特征值(B) 若存在数和非零向量使得,则是A的特征值(C) A的两个不同特征值可以有同一个特征向量(D) 若是A的三个互不相同的特征值,分别是相应的特征向量,

10、则 有可能线性相关41. 已知是矩阵A的特征方程的三重根,A的属于的线性无关的特征向量的个数为k,则必有 ( )42. 矩阵A与B相似,则下列说法不正确的是 ( )(A) R(A) = R(B)(B) A = B(D) A与B有相同的特征值43. n阶方阵A具有n个线性无关的特征向量是A与对角阵相似的 ( )(A) 充分条件(B) 必要条件(C) 充要条件(D) 既不充分也不必要条件44. n阶方阵A是正交矩阵的充要条件是 ( )(A) A相似于单位矩阵E(B) A的n个列向量都是单位向量(C) (D) A的n个列向量是一个正交向量组45. 已知A是正交矩阵,则下列结论错误的是 ( )必为1(

11、D) A的行(列)向量组是单位正交组46. n阶方阵A是实对称矩阵,则 ( )(A) A相似于单位矩阵E(B) A相似于对角矩阵(D) A的n个列向量是一个正交向量组47. 已知A是实对称矩阵,C是实可逆矩阵,则 ( )(A) A与B相似(B) A与B不等价(C) A与B有相同的特征值(D) A与B合同3、 填空题1. 已知是五阶行列式中的一项且带正号,则i = ,k = .2. 已知三阶行列式,表示元素对应的代数余子式,则与 对应的三阶行列式为.3. 已知,则x = .4. 已知A,B均为n阶方阵,且,则 , .5. 已知A是四阶方阵,且,则 , .6. 已知三阶矩阵A的三个特征值分别为,则

12、 .7. 设矩阵,B是方阵,且AB有意义,则B是 阶矩阵,AB是 行 列矩阵.8. 已知矩阵,满足,则A与B分别是 , 阶矩阵.9. 可逆矩阵A满足,则 .10. 已知,若线性相关,则x,y满足关系式 .11. 矩阵的行向量组线性 关.12. 一个非齐次线性方程组的增广矩阵的秩比系数矩阵的秩最多大 .13. 设A是矩阵,若为非齐次线性方程组的两个不同的解,则该方程的通解为 .14. 已知A是矩阵,则齐次线性方程组的一个基础解系中含有解的个数为 .15. 已知方程组无解,则a = .16. 若齐次线性方程组只有零解,则需要满足 .17. 已知矩阵可相似对角化,则x = .18. 已知向量、的长度

13、依次为2和3,则向量内积 .19. 已知向量,c与a正交,且,则 ,c = .20. 已知为的特征向量,则a = ,b = .21. 已知三阶矩阵A的行列式,且有两个特征值和4,则第三个特征值为 .22. 设实二次型的秩为4,正惯性指数为3,则其规范形为 .23. 二次型的矩阵为 .24. 已知二次型的矩阵为,则此二次型 .25. 已知二次型是正定的,则t要满足 .4、 行列式计算1. 已知A,B为三阶方阵,求行列式.2. 已知行列式,求.3. 计算n阶行列式,其中主对角线上的元素都是2,另外两个角落的元素 是1,其它元素都是0.4. 计算n阶行列式.5. 计算n阶行列式.6. 计算行列式.7

14、. 计算行列式.8. 计算行列式.5、 矩阵计算1. 设,求 (1);(2).2. 已知,且,求X.3. 设,B均为三阶方阵,E为三阶单位阵,且,求B.4. 设,E为四阶单位阵,且矩阵X满足关系式,求X.5. 已知,且,求X.6. 设,问:当k取何值时,有 (1);(2);(3).6、 向量组的线性相关性及计算1. 设,求向量组的秩和一个最大线性无关向量组,并判断是线性相关还是线性无关.2. 设,求此向量组的秩和一个最大无关组,并将其余向量用该最大无关组线性表示.3. 当a取何值时,向量组线性相关?4. 将向量组规范正交化.7、 线性方程组的解1. 给定向量组,试判断是否为的线性组合;若是,则

15、求出线性表达式.2. 求解非齐次线性方程组.3. 求解非齐次线性方程组.4. 当k满足什么条件时,线性方程组有唯一解,无解,有无穷多解?并在有无穷多解时求出通解.5. 当k满足什么条件时,线性方程组有唯一解,无解,有无穷多解?并在有无穷多解时求出通解.6. 已知非齐次线性方程组为,问:当a、b取何值时,方程组有无穷多个解?并求出该方程组的通解.7. 设方程组与方程有公共解,求a的值.8. 设四元非齐次线性方程组的系数矩阵A的秩为3,已知是它的三个解向量,且,求该方程组的通解.9. 设非齐次线性方程组的增广矩阵,经过初等行变换为,则 (1) 求对应的齐次线性方程组的一个基础解系; (2) 取何值

16、时,方程组有解?并求出通解.8、 方阵的特征值与特征向量1. 已知,若方阵A与B相似,求x、y的值.2. 设方阵的一个特征值为3,求y的值.3. 已知三阶方阵A的特征值为1、2、,求行列式的值.4. 求方阵的特征值与对应的特征向量.5. 设,求可逆矩阵P,使得为对角矩阵.6. 设,求正交矩阵P,使得为对角矩阵.7. 已知矩阵, 判断是否存在一个正交矩阵P, 使得为对角矩阵.8. 已知矩阵的特征值为1、1、,求正交矩阵P,使得为对角阵.9、 二次型1. 当t取何值时,为正定二次型?2. 求一个正交变换把二次型化成标准形.10、 证明题1. 已知向量组线性无关,而,证明:向量组线性无关.2. 设A、B都是n阶对称阵,证明:AB是对称阵的充要条件是AB = BA.3. 已知方阵A满足,证明:A与都是可逆矩阵,并求出它们的逆矩阵.4. 设A、B为n阶对称阵,且B是可逆矩阵,证明:是对称阵.5. 设n阶方阵A的伴随矩阵为,证明:.6. 已知向量b可由向量组线性表示且表达式唯一,证明:线性无关.7. 设是n阶方阵A的三个特征向量,它们的特征值互不相等,记,证明:不是A的特征向量.8. 已知向量组线性无关,证明:向量组线性无关.9. 设是非齐次线性方程组的一个特解,是对应的线性

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