集合和简易逻辑典型例题解析

1、集合与简易逻辑典型例题解析例1以下说法中正确的个数有M=Q2与N=2,1表示同一个集合财=1,2与方=仅1表示同一个集合；空集是唯一的；般=7；+与N=巾=/+1,££吐那么集合A.3个B.2个C1个D0个M=m+ZJ,N=工卜=-zP=1a|a=+例2假设集合：I6JI23J,I：:匕那么M,N,P的关系是a.M=NuPb.MuN=Pc.,：_1_D.；一_t例3设全集U=R,火=卜上一1,或,1,£=卜|工-22.,判断CqA与CuB之间的关系.例4.如下图,I是全集,M、P、S是I的3个子集,那么阴影局部所表示的集合是A阻G9nsBMe?usc.Mn?n；s

2、d.Mn?uc例5解不等式卜+2+14.例6解不等式2工TxT7.例7解不等式/-J+nx+a'O4为参数例8不等式g*-4-加-1.的解是全体实数,求实数口的取值范围.例9H=k-+Q+2X+l=0,工E及,且即尹=0,叱=口工凡&明,求实数P的取值范围.例10解关于X的不等式：工-2心工-2/°例ii分别指出以下复合命题的形式及构成它的简单命题,并判断它们的真假.1三个角相等的三角形不是直角三角形；2小的元素既是幺的元素又是S的元素；3假设1是幺的元素或1是3的元素,那么工是RUB的元素；4两条对角线垂直的平行四边形是菱形或正方形；(5)1=3不是方程4=1的解.

3、例12把以下命题改写成“P那么的形式,并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题：(1)两条平行线不相交.(2)正数的算术平方根是正数.例13判断以下命题的真假,并写出它的逆命题,否命题,逆否命题.同时,也判断这些命题的真假.(1)假设仪与«.,那么440或640.(2)假设a,那么就加.(3)假设在二次函数y=GX+bx+匕中卜2-4.匕<0,那么该二次函数图像与I轴有公共点.例14三个关于X的方程：I2+4dtx4+3=0,x+(a-1)x+a=0,/+2白工+2以=0中至少有一个方程有实数根,求实数lI的取值范围.例15关于X的一元二次方程(加E2)然/-41+4=./-4加工

4、+4毋-4幽-5=0求方程和的根都是整数的充要条件.例16p：-24L0；q：1一然二+加伽?o).假设是飞的必要而不充分条件,求实数期的取值范围.1.判断以下命题的真假：(1)a,b,c,dRR,假设a=c,或b=d,那么a+b=c+d.32(2)Vx=N,x>x(3)假设m>1,那么方程x2-2x+m=0无实数根.(4)存在一个三角形没有外接圆.22,命题P：x_x_6,q：xZ且“p且q,与“非q,同时为假命题,求x的值.22P:14.取值范围.x-13.方程x(2kT)xk=0,求使方程有两个大于1的实数根的充要条件.-222；q：x-2x1-m0(m>0)假设P是q

5、的必要非充分条件,求实数m的15 .设0<a,b,c<1,求证：(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不同时大于4.26 .命题p:方程x+mx+1=0有两个不等的正实数根,2命题q:方程4x+4m+2x+1=0无实数根.假设"p或q为真命题,求m的取值范围.答案1、解：集合M表示由点1,2组成的单点集,集合N表示点2,1组成的单点集.由集合元素无序性可知M,N表示同一个集合.由01c0且0：匚01其中0卜均为空集由集合相等定义可知01=0即证实空集唯一性.对于要熟悉一个集合,应从以下方面入手判断集合元素是什么；元素有何属性如表示数集,点集等,表示集合时与代表元素采用的

6、字母无关.而中的集合都表示大于等于1的实数组成的集合,故相等,选Ao6w+l3P7.M,x=,mcZpfX=peZ2、解对集合6对集合6对于6McN=P,应选Bo3、解：.H=巾<7垢A七-1工工41.5=卜上22.kB,巾<2.翦丸一4、解此阴影局部是属于M且属于P,即McP.但又不属于S集,所以为例门为UCiS,应选Co*53,止_<Ki5、I22J这是一个含有两个绝对值的符号的不等式,为了使其转化为解不含绝对值符号的不等式,要进行分类讨论.6、葭；1."7、分析这是一个含有字母的一元二次不等式,在解题时要注意对字母的讨论.解：原不等式可化为''

7、假设口?J,那么以<0,即0Q1,原不等式的解集为卜卜/或工?叟；假设7,即4.或171,那么原不等式的解集为卜卜高或工?/I；假设好一,即a=.或仪=1,那么原不等式的解集为卜七郎*.且"1J因此,当0,<1时,原不等式的解集为卜卜/松>口；当以.或白1时,原不等式的解集为加读工户说明：此题是带字母问题,要涉及到分类讨论问题.讨论中又涉及到解二次不等式,所用到的知识比拟多,条理也要求必须清楚,才能正确解决此题.8、分析：此题应就所给不等式是一次还是二次进行分类讨论,针对二次的情形应结合二次函数的图象,知此时应有J-l0且,特别要强调此时A0.解：假设1,不等式为-

8、1.,其解集为假设a=T,不等式为2i-K0,其解集显然不是全体实数,故a=A不符合条件.假设4h,不等式为二次不等式,有1LT?0,J333炉+恤T0,解得已八L即.不公1综上得,-不ML说明：解含有字母的一元二次不等式要根据字母范围进行讨论,当二次系数含有字母时,应首先考虑其值是否为零.9、解：由力9=0知,关于X的二次方程/+0+21+1".无正根.1假设方程无实根：A=p+2y-40,得-4歹0；2假设方程有实根11,占,但无正根；此时由A2.,得?4Y或,而由韦达定理卜+%=-»+2,西电=1由而4=1知两根均为正或均为负,由条件显然须百.,°,于是-3

9、+20,9-2因此p.,由上述的1,2得P的取值范围是P一4,ir分析：由于字母系数a的影响,不等式可以是一次的,也可以是二次的,在二次的情况下,二次项系2数口可正、可负,且对应二次方程的两个根2,a的大小也受a的影响,这些都应予以考虑.解：当仪=0时,原不等式化为1-20,其解集为H工2.22当.时,有21原不等式化为2lx-<x<2>,其解集为Ia»9f2,7.2-3-2工-一0卜卜2或,当0a1时,ao原不等式化为a,其解集是口当&=1时,原不等式化为工一2炉.,其解集是卜衣20%卜2或了2当白1时,原不等式化为a,其解集是IaJ说明对于二次项系数含有

10、字母的不等式,一定要注意对二次项系数讨论,分为一元一次不等式和一元二次不等式两种情况.11解：1这个命题是“非P的形式,其中P:三个角相等的三角形是直角三角形.由于P是假命题,所以这个命题是真命题.2这个命题是“p且g的形式,其中p:Rpli的元素是A的元素,q:RRB的元素是B的元素.由于p、9都是真命题,所以这个命题是真命题.3这个命题是“p或夕的形式,其中p：假设是乂的元素,那么工是RU3的元素,q：假设x是3的元素,那么x是RLJ3的元素.由于p、g都是真命题,所以这个命题是真命题.4这个命题是“p或g的形式,其中P:两条对角线垂直的平行四边形是菱形,q:两条对角线垂直的平行四边形是正

11、方形.由于P是真命题,.是假命题,所以这个命题是真命题.5这个命题是“非P的形式,其中P:是方程k-4>1的解.由于p是真命题,所以这个命题是假命题.12、 解：1原命题可写成：假设两条直线平行,那么两直线不相交；逆命题：假设两条直线不相交,那么两直线平行；否命题：假设两直线不平行,那么两直线必相交；逆否命题：假设两直线相交,那么两直线不平行.2原命题：假设一个数是正数,那么它的算术平方根是正数；逆命题：假设一个数的算术平方根是正数,那么它是正数；否命题：假设一个数不是正数,那么它的算术平方根不是正数；逆否命题：假设一个数的算术平方根不是正数,那么它不是正数.1&解：1该命题为真

12、.逆命题：假设以0或6:0,那么仪64.为假.否命题：假设易.,那么也0,bQ,为假.逆否命题：假设窗?0,力.,那么ab0.为真.2该命题为假.逆命题：假设讹？儿乙那么以方.为真.否命题：假设aJ,那么起吆3d.为真.逆否命题：假设214bd,那么以26.为假.3该命题为假.逆命题：假设二次函数y=+c的图像与】轴有公共点,那么.T优<0.为假.否命题：假设二次函数1y=苏+bx+c中,-4或20,那么该二次函数图象与X轴没有公共点.为假.逆否命题：假设二次函数y=的图像与X轴没有公共点,那么M-4配2.为假.评注：1写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是正确找出原命题的条件和

13、结论,然后依照定义来写.2在判断原命题及其逆命题、否命题以及逆否命题的真假时,要应用“原命题与其逆否命题同真或同假；逆命题与否命题同真或同假来判定.14点拨这类求参数取值范围的问题,直接求需分类讨论,很繁冗.假设用反证法的思想和补集的思想求解,就一目了然.解设三个关于I的方程均无实数根,那么(a-I)5-4s1<0,(2a)2-4x(-2a)<0口解,得a/解,得u<T,或3；解,得-2a0.M=|a|-11取,的交集,即不等式组的解集为I2J那么使三个方程中至少有一个方程有实根的实数a的取值范围应为C*m,即|14或值之is解方程有实数根的充要条件是A=16-4'4

14、jk20,解得附41；32附之二方程有实数根的充要条件是=16"-44苏-4取-520,解得-工.<1<5-4-以所OH-阴或-O=溺或*一当加二1时,方程为/+4x-4=0,无整数根；当加=0时,方程为x-5=0,无整数根;当期=1时,方程为/-4i+4=0,方程为?-4x-5=0,和的根都是整数.从而,和的根都是整数二附=1；反之,溺=In和的根都是整数.所以方程和的根都是整数的充要条件是溺二1.16点拨可以有两个思路：1先求出7和7,然后根据F寸飞,飞二了,求得册的取值范围；2假设原命题为“假设飞,那么Y,其逆否命题是“假设P那么灯,由于它们是等价的,可以把求V是飞

15、的必要而不充分条件等价转换为求P是q的充分而不必要条件.解法-求出V：'-工巳&H.或耳一2,飞：5ke&|x1+血或了1-刑,第0.由7是飞的必要而不充分条件,知B£a,它等价于制?0,1-雨<2,1+曜".同样解得期的取值范围是湫X.解法二根据思路二,“是飞的必要而不充分条件,等价于p是q的充分而不必要条件.设P：金山后町-2d0g：B上町1-那4工«+弗附加)0,<-2,所以,AGB,它等价于1.解：(1)为假命题,反例:1=4,或5=2,而15=42(2)为假命题,反例：x=0,32一xAX不成立(3)为真命题,由于ma

16、1=|_=44m<0=无实数根(4)为假命题,由于每个三角形都有唯一的外接圆.2.解：非q为假命题,那么q为真命题；p且q为假命题,那么p为假命题,即2x-x<x2-x-6:二0口2,-2：x：3,xZ6,且xWZ,得卜-x+6>0/.x=_1,0,1,或23.22解：令f(x)=x+Qk-1)x+k,方程有两个大于1的实数根'=(2k-1)2-4k2之02k-1d-12f(1)010:二k<-即4,所以其充要条件为4.p:1_解：x-1>2,x<一2,或x>10,A=x|x<-2,或x>10)q:x2-2x+1-m2a0,x<1-m,或x>1+m,B=(x|x<1-m,或x>1+m)1p是q的必要非充分条件,二B=A,即1-m：二-2=m9,m91m10<o5,证实：假设(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a都大于4,即11(1-a)b,(1-b)c,441(1-c)a1-ab11-b-c1