苏科版七年级数学上册第4章《一元一次方程》专题训练(含答案)

1、七年级数学一元一次方程专题训练1含参数的一元一次方程方程是中学数学中最重要的内容之一，最简单的方程是一元一次方程，它是进一步学习代数方程的基础，很多方程都可以通过变形化为一元一次方程来解决.本讲主要介绍一些解一元一次方程的基本方法和技巧.一元一次方程皿的解由”、旧的取值来确定：(1)若日，则方程有唯一解国(2)若巨I,且巨！，方程变为三,则方程有无数多个解；(3)若三，且叵I,方程变为封，则方程无解.经典例题解方程：解题策略本题将方程中的括号去掉后产生回，但整理化简后可以消去引，也就是说，原方程实际上仍然是一个一元一次方程.在化为国的形式后.需要讨论他、怛的情况.将原方程整理化简得(1)当Ll

2、，即日时，方程有唯一解IKI(2)当LJ，即叵J或匹！时，若日，即时，方程无解；若回时，当方程有无数多个解画龙点睛含有字母系数的方程，一定要注意字母的取值范围，解这类方程时，需要从方程有唯一解、无解、有无数多个解这三种情况进行讨论举一反三1 .解关于Ig的方程：【一2 .解关于|三的方程：IxI3 .解关于|g的方程：I="=|融会贯通4 .已知关于|三的方程Ix|的解为巨|,求代数式的值.2利用解的情况求参数的值.这在上一节，我们知道了，一元一次方程的解有三种情况，有唯一解、有无数解以及无解一节我们将通过方程解的情况来确定方程中未知参数的值或取值范围经典例题(1)关于的方程一二有唯

3、一解，求口I、目满足的条件(2)已知关于的方程|3|无解，求忙的值解题策略(1)首先将方程化为三的形式，由于方程有唯一解，则S,取一切实数.整理得:|X|,由于方程有唯一解，则目，回可取任意实数，得.取任意实数，回.(2)整理得,由于方程无解，则区I可得，当方程无解时，冈画龙点睛三的形式，再根据方程根的利用解的情况求参数的值或取值范围时，首先将方程化为情况判断参数的取值范围.举一反三1 .已知方程和方程I有相同的解，试求后的值.2 .己知方程I的解为叵I,求方程的解.3 .求当|回为何值时，方程11的解是正数？融会贯通4 .已知关于|川的方程|一|，且凹为某些正整数时，方程的解为正整数，试求正

4、整数|的最小值.3整体考虑在解一元一次方程时，若要将式子全部化简，往往会很繁琐，这时把某个含勺的式子当作一个整体来考虑进行运算，往往能使问题简化经典例题解方程：(1) II(2) I解题策略(1)原方程可以化为,解得|L-J,故原方程的解为|0（2）原方程可化为因为三I,所以日故原方程的解画龙点睛上面两个例题，我们都可以去分母，然后整理成一元一次方程的标准形式去求解，但是在求解过程中，如果结合整体思想（在中，把口和S分别作为整体，在（2）中,把臼作为整体）可以巧妙求解.举一反三1 .解方程:2 .解方程:3 .解方程:融会贯通4.若三,解方程:4列方程解应用题列方程解应用题的关键在于能够正确地

5、设立未知数，找出等量关系，从而建立方程.而找出等量关系，又在于熟练运用数量之间的各种已知条件.掌握了这两点，就能正确地列出方程列方程解应用题白一般步骤是：1 .弄清题意，找出未知数，并用上表示；2 .找出应用题中数量之间的相等关系，列方程；3 .解方程；4 .检验，写出答案.经典例题有大、中、小三种衬衣的包装盒共50个，分别装有70、30、20件衬衣，一共装了1800件衬衣，其中中盒的数量是小盒的三倍.求三种盒子各有多少个.解题策略设其中小盒的数量是|川个，则中盒的数量是凹个，大盒数量是|L=J个，于是有方程解得三1所以，小盒的数量是10个，中盒的数量是|一|个，大盒的数量是1一（个）.画龙点

6、睛本题中要求求出小盒的数量，就直接设小盒的数量是|e个.还要求中盒的数量、大盒的数量,当然，也可以把它们设为未知数，比如臼、|沙等，但设未知数的个数应少一些为好，不必要的未知数尽量不设，以免列方程和解方程时麻烦举一反三1 .甲、乙两小组人数的和是28,如果甲组增加4人，乙组增加1人，那么甲组人数与乙组人数的比是2:1,求原来甲、乙两组的人数.2 .甲、乙、丙、丁四位小朋友共有81本书，如果把每人的书的本数作以下变化：甲加2,乙减2,丙乘以2,丁除以2后，各人所有书的本数相等，求甲、丁原来各有书多少本？3 .甲、乙两车同时从寸、|回两地出发.相向而行在川、|回两地间不断往返行驶.甲车到达日地后，

7、在|也地停留了2个小时，然后返回国地;乙车到达|9地后，马上返回Id地.两车在返回途中又相遇，相遇地点距山地288千米.已知甲车速度是每小时60千米，乙速度是每小时40千米.求、|旧两地距离.融会贯通4 .幼儿园有三个班，甲班比乙班多4人，乙班比丙班多4人，老师给小孩分巧克力，甲班每个小孩比乙班每个小孩少分3个巧克力，乙班每个小孩比丙班每个小孩少分5个巧克力，结果甲班比乙班总共多分了3个巧克力，乙班比丙班总共多分了5个巧克力.问三个班总共分了多少个巧克力？5商品销售问题在日常生活中，我们经常会遇到商品销售问题.在商品销售过程中，有如下几个基本概念：进价:商店购进商品时的价格；标价:商店销售商品

8、时标出的价格；售彳：实际销售价格，也叫成交价格；利润:因销售商品而赚的钱；利润率：利润占进价的百分率；销售折扣：商品售价占商品标价的百分率.利润售价引进价，利润率售价匕标价销售折扣.经典例题某商店一种商品的进价降低了8%,而售价保持不变，可使得商店的利润提高10%,问:原来的利润率是百分之几？解题策略设原来的进价为日元，原利润率为K.由题意知，原售价为0I元，现在的进价为元，所以，利润率为现在的售价仍然是I - 元，于是可得方程所以.解得日所以，原来的利润率画龙点睛这里的原进价旧是一个辅助未知数”，在解题过程中.它消去了，但是有了它，许多关系就好表达了.举一反三1 .某商品的进价是2019元，

9、标价是3000元，商店要求以利润率不低于20%的售价打折出售,售货员最低可以打几折出售此商品？2 .某商品的标价比成本高rl%,当该商品降价出售时，为了不亏损成本，售价的折扣（即降价的百分数）不得超过回,试用也表示目3 .张先生向商店订购某一商品，每件定价100元.共订购60件，张先生向商店经理说：如果你肯减价。每件每减价1元，我就多订3件."店经理算了一下，如果减价4%,那么仍可获得同样利润.求这种商品的成本.融会贯通4 .某商场经销一种商品，由于进货时价格比原进价降低了6.4%,使得利润率增加了8个百分点，求经销这种商品原来的利润率.6行程问题行程问题是应用题中的一类典型问题，与

10、小学阶段所接触的行程问题相比，中学阶段学习的行程问题复杂度更高一些，涉及的未知量个数也更多一些，这时通过列方程可以使求解过程更加直观，也更加便捷.经典例题甲、乙分别从d、I两地出发相向而行，若同时出发，经36分钟相遇；若甲比乙提前15分钟出发，乙出发后30分钟相遇，求甲由地到回地、乙由1地到回地所用的时间.解题策略寻找题目中的等量关系：甲走的路程+乙走的路程=全路程（用1表示）.由于路程=速度L时间，可由甲行时间、速度、路程之一设元，得三种解法解法一：设甲由至引用分钟，则甲的速度为可，乙的速度为S,那么乙从|凶到I需上I分钟，根据题意，得解得匹I于是，有I答:甲由d地到21地用90分钟，乙由当

11、地到J地用60分钟.解法二：设甲每分钟走悒，则乙每分钟走叵，那么甲由引地到回地，乙由山地到怛地的时间分别是弓，可分钟，根据题意，得解得凶.下略.解法三：设甲、乙在36分钟内的行程分别为悒.和|回，则他们的速度分别为0和冈，行全程的时间分别为国和叵|，即目和因，根据题意，得解得0，下略画龙点睛行程问题是最基本的数学模型，许多题型都是由行程问题转化而来的，如流水行船问题，时钟问题等.只要找到合适的数学模型，建立等量关系，问题将迎刃而解举一反三1 .某商场有一部自动扶梯匀速由下而上运动，甲、乙都急于上楼办事，因此在乘自动扶梯的同时匀速登楼，甲登55级后到达楼上，乙登楼速度是甲的2倍，他登了60级后到

12、达楼上，那么，由楼下到楼上自动扶梯级数为多少级？2 .某人匀速走在马路上，马路的前后两端都有公共汽车站，每间隔相同的时间发出一辆公共汽车他发现每隔15分钟有一辆汽车追上他；每隔10分钟有一辆公共汽车迎面驶来.问公共汽车每隔多少分钟发车一辆（设每辆公共汽车速度相同）?3 .上午9点钟的时候，时针和分针成直角，那么下一次时针与分针成直角的时间是什么时彳H?融会贯通4 .某校运动会在400米的环形跑道上进行10000米跑步比赛，甲、乙两运动员同时起跑后，乙速超过甲速.在第15分钟时，甲加速，在第18分钟时甲追上乙并且开始超过乙；在第23分钟时，甲再次追上乙；且在第23分50秒时，甲到达终点.求乙跑完

13、全程所用的时间.7工程问题.它的基本数量关系是工程问题是研究工作效率、工作时间和工作总量之间关系的应用题工作效率工作时间=工作总量.在工程问题中，我们常常把工作总量看作单位"1"工作效率则用每天完成工作总量的几分之几”来表示.经典例题一项挖土工程，如果甲队单独做，需16天完成，乙队单独做，需20天完成.现在两队同时施工，工作效率提高20%,当工程完成时，突然遇到地下水，影响施工进度，使得每天少1挖了47.25方土，结果共用了10天完成工程.问:整个工程要挖多少方土？解题策略可设工作总量为“1；甲队干一天，完成三乙队干一天，完成三，两队合干一天，完成所以，完成日所需时间为1x

14、I（天），完成J需要时间|=|（天，实际完成三所需时间为x（天）.设整个曰的土有引方，可得目解得三|.所以，整个工程有日（方）.画龙点睛工程问题的关键是把项工程”看成一个单位，这样，工作效率就可以用工作时间的倒数来表示了.另外，要抓住基本数量关系：工作效率X工作时间=工作总量”来列方程解题举一反三1 .一项工程，甲单独做24小时完成，乙单独做36小时完成.现在要求20小时完成，并且两人合作的时间尽可能少，那么，甲乙合作多少小时？2 .某码头原有一定量的存货，并且不断有轮船将货运到码头，现要用卡车将货物运到仓库.轮船卸货速度是匀速的，用15辆卡车10小时可将所有货物运到仓库，如果轮船卸货速度变为

15、原来的3倍，则用20辆卡车20小时能将货运完，若有轮船卸货速度变为原来的5倍，要多少辆卡车才能在5小时内将货运完？3 .现有男、女工人1100人，其中全体男工和全体女工可用同样的天数完成同样的工作.若将男工人数和女工人数对调一下，则全体男工25天能完成的工作，让女工做 36天才能10 / 20完成.问男、女工人数各是多少 ？ 融会贯通4.某项工程，如果由甲、乙两队承包,000元;由乙、丙两队承包，000元，由甲、丙两队承包000元.现在工程由一个队单独承包,1801501600天完成，需付0天完成，需付,习天完成，需付在保证一周完成的前提下，哪个队承包费用最少8浓度问题糖与糖水重量的比值叫做糖

16、水的浓度；盐与盐水的重量的比值叫做盐水的浓度.我们习惯上把糖、盐称为溶质（被溶解的物质力把溶解这些物质的液体，如水、油等称为溶剂；把溶质和溶剂混合成的液体，如糖水、盐水等称为溶液一些与浓度有关的应用题，称为浓度问题.浓度问题中的量有以下基本关系：溶液=溶质+溶剂；浓度=SM00%经典例题设有甲、乙两个杯子.甲杯中装有10升A溶液，乙杯中装有10升B溶液.现在从甲杯中取出一定量的A溶液，倒入乙杯并搅拌均匀.再从乙杯中取出等量的混合液倒入甲杯.测得甲杯A溶液和B溶液的比为5:1,求第一次从甲杯中取出的A溶液是多少升？解题策略设从甲杯取出|升A溶液倒入乙杯，则乙杯中A溶液与B溶液的比为山：10.从这

17、混合液中取出引升，其中含A溶液为叵（升），B溶液为3（升），所以化简得11，即皿.所以，第一次从甲杯中取出的A溶液是2升.画龙点睛注意到：(1)经过两次混合后.甲、乙两杯仍各有10升混合液，甲杯中A、B溶液比为5:1,说明乙杯中A、B溶液比为1:5;(2)第一次混合后乙杯中的A、B溶液比就是1:5.所以，设第一次从甲杯倒入|回升A溶液到乙杯，则在第一次倒入后得区，即佃二2(升)，解浓度问题时，要找出问题中不变白量，建立方程.举一反三1 .130克含盐5%的盐水，与含盐9%的盐水混合，配成含盐6.4%的盐水，这样配成的6.4%的盐水有多少克？2 .甲种酒含纯酒精60%,乙种酒含纯酒精35%,现在

18、要用这两种酒配制成含纯酒精55%的混合酒30OF克，那么甲种酒、乙种酒各要取多少千克？3 .两容器中分别装有浓度为30%和50%的酒精溶液，将它们倒在一起混合为浓度为35%的酒精溶液；再加入6升80%的酒精溶液，则溶液浓度变为65%.问原来30%和50%的酒精各有多少升？融会贯通4 .在某种浓度的糖水中加入一杯水后，得到新糖水，它的浓度为20%；又在新糖水中加入与前一杯水质量相同的纯糖后，糖水的浓度变为m.求原来糖水的浓度.9含绝对值的方程绝对值符号内含有未知数的方程，称为含有绝对值的方程在解含有绝对值的方程时，关键是利用绝对值的定义，去掉绝对值符号，从而转化为不含绝对彳1的方程.(1)最简单

19、的绝对值方程为归.当W1时，1n;当山时，回；当国时，此方程无解.砥q令点(2)对含有两个或两个以上绝对值的方程，仍然是根据绝对值的定义，一般采用分段法”，在每一段上去掉绝对值符号，最后转化为不含绝对值的方程.经典例题解方程：I1解题策略采用零点分段法，将全体实数分成三段，在这三个范围内讨论当日时，原方程可化为-1，解得X，与条件曰I矛盾，此时无解.(2)当叵时，原方程可化为|,解得区,满足H.所以S是原方程的解.(3)当0时，原方程可化为I-,解得|皿|,满足因，所以国是原方程的解.综上所述，原方程的解为国或画龙点睛解这类含绝对值的方程，先把方程整理为一边只含有绝对值符号，另一边不含有绝对值

20、符号的方程，再利用零点分段法”，分段去掉绝对值号，最后要检验求得的解是否满足隐含条件，将不符合的解舍去.举一反三1 .解方程：II2 .解方程：Ix|3 .解方程|融会贯通4 .设因为有理数，且回，方程一|有三个不相等的解，求0的值.10利用一元一次方程无穷多解解题一元一次方程曰的解由的取值来确定：(1)若山，则方程有唯一解困；(2)若WI,且巨1,方程变为日,则方程有无穷多个解；(3)若叵，且叵I,方程变为口，则方程无解.所以，关于的方程|曰如果有无穷多个解，那么山且回经典例题如果因是定值，无论习为何值时，关于u的方程总有一个解是1,求叵的值.解题策略因为三是方程的解，所以，把回代入，得把它

21、整理为关于的一元一次方程形式因为上式对无穷多个E都成立，也就是说，这个关于目的方程有无穷多个解，所以L=J,且I1于是画龙点睛本题中，u可以取无穷多个值，所以，把它整理成关于g的一元一次方程的形式，利用方程有无穷多个解，得到国满足的方程，从而求出回举一反三1 .如果方程有无穷多个解，求R的值.2 .解关于国的方程：|3 .如果关于|的方程-I有无穷多个解，求LJ的值.融会贯通4 .如果关于|的方程口有无穷多个解，问q1应该满足什么条件？11设而不求的未知数所谓设而不求”的未知数，就是在我们解决数学问题时，除了应设的未知数外，增设一些辅助未知数（也叫做参数），其目的不是要具体地求出它们的值，而是

22、以此作为桥梁，沟通数量之间的关系，架起连接已知量和未知量的桥梁作用.设而不求”这种方法也叫做参数法（辅助元素法等）.经典例题旅行者从下午3时步行到晚上8时，他先走平路，然后上山倒达山顶后就按原路下山，再走平路返回出发地，若他走平路每小时行4千米，上山每小时行3千米，下山每小时行6千米,问旅行者一共行多少千米？封千米，则他上山需 回小时，下山需J小时，走解题策略设旅行者所走的全程为J千米，山路长为平路来回需S小时，依题意，有方程所以|XI,解得三.所以，旅行者一共行了20千米.画龙点睛本题中的是设而不求的未知数，它在解题过程中消去了举一反三1 .书架上有三种书：文学、科技、生活常识，比例为5:2

23、:4,若文学书增加35本，科技书增加到原来的3倍，则生活常识书占22%,问生活常识书有多少本？2 .甲、乙两人在圆形跑道上从同一地点A出发，按相反方向跑步.甲速度为每秒6米，乙速度为每秒7米，直到它们第一次又在A处相遇之前，在途中共相遇多少次？3 .一个水池，底部装有一个常开的排水管，上部装有若干个粗细相同的进水管，打开4个进水管时.需要5小时注满水池打开2个进水管时，需要15小时才能注满水池，现在要在2小时内将水池注满，至少要打开多少个进水管？融会贯通4 .从两块重量分别为12千克和8千克，且含铜的百分数不同的合金上切下重量相等的两块,把所切下的每块和另一块剩余的合金放在一起，熔炼后两块合金

24、含铜的百分数相等,求每块所切下的合金重量是多少千克参考答案1含参数的一元一次方程1 .将原方程整理化简为一当I日即国,日，其解为任意实数当II,即国，所以，当团,有唯一解当因,解为任意实数2 .将原方程整理化简为I当回时，方程有唯一解目当回，且国时，方程为国，由无数多个解当|回，且国时，方程无解3 .将原方程变形为化简得LyI当|1时，方程有唯一解叵当|日时，方程无解4 .将|日代入方程，得整理得I-1则日，国令国，日2利用解的情况求参数的值1 .解方程一I得皿得mi2 .将wi代入得三代入匚得回3 .整理得|当何为正数时,则 或 得 当rni ,且 三|,且1_2_1 或 LsJ国 时，方程

25、有无数个解,可以是正数，也可以是负数或零.不满足要求.综上所述，|也的取值范围为目或目，且日4.由原方程可解得因为佃为正整数，所以m应是大于H的整数又因为|三为正整数，要使 团 为整数，必须是回的倍数，而且为使|司最小所以应取三I所以所以满足题设的正整数的最小值为日3整体考虑1.因为，”所以原方程可变形为化简整理为化简整理为所以，冈为原方程的解4列方程解应用题1 .设甲组原有1人，乙组原有日人，一得三I所以甲组原有18人，乙组原有10人.2 .设丙原有书本，则他后来有回本，丁原有回本，甲原有日本，乙原有依题意，得解得叵I故甲原有书16本，丁原有书36本.3 .设臼距离为千米得日所以间、,距离4

26、20千米.4 .设丙班有小孩人.由于甲班每个小孩比乙班每个小孩少分3个巧克力，乙班每个小孩比丙班每个小孩少分5个巧克力，所以甲班每个小孩比丙班每个小孩少分8个巧克力于是甲班的|1个小孩比丙班的旧个小孩共少分0个巧克力但甲班比乙班总共多分了3个巧克力，乙班比丙班总共多分了5个巧克力即甲班比丙班总共多分了8个巧克力，与刚才相比，共计相差日个巧克力，这是因为甲班比丙班多8个小孩所致所以甲班这8个小孩共分日个巧克力于是可知甲班每个小孩分得上J个巧克力同样，乙班|二小孩比丙班小孩共少分可个巧克力但乙班比丙班总共多分了5个巧克力，这日个巧克力分给了乙班比丙班多的4个小即每个乙班小孩分得二|个巧克力由于甲班

27、每个小孩比乙班每个小孩少分3个巧克力故得方程解此方程得日即丙班有11个小孩，甲班每个小孩分12个巧克力20个.由此可得：甲班共19个小孩，每个小孩分巧克力12个;乙班共15个小孩，每个小孩分巧克力15个;丙班共11个小孩，每个小孩分巧克力-（个）所以，三个班共分673个巧克力.5商品销售问题1 .设售货员最低可以打折出售此商品则1解得叵I|售货员最低可以打8折出售此商品.2 .设该商品的成本为则有=.3.减价4%,得（元），因此降价4元20 / 20设成本为元，可得方程解得国则每件成本为76元.4.设原进价为元，销售价为.元.那么按原进价销售的利润率为|=|原进价降低后再销售时的利润率为根据题

28、意，得故这种商品原来的利润率为6行程问题1 .设扶梯运动的速度为,甲登梯的速度为百，则乙登梯的速度为'J在人登梯的讨程中，人与扶梯一共运动了自动扶梯的级数门级.2 .设人的速度为巴米/分，公共汽车速度为目米/分，两辆公共汽车站之间间隔距离为|山米,可得得日发车间隔为Iy（分）.3 .设再经过,分钟，下一次时针与分针成直角.刚开始时分针指12,时针指9,然后分针与时针所成的角度逐渐增大，当增大到180°时，时针与分针所成的角度又逐渐变小，最后变成90°.相当于初始时，时针在前，分针在后，角度为270。，最终，时针在前，分针在后，角度为90。，所以分针追时针追了180。

29、，则有1F,解得区.即国分钟后，即9点区分时时针与分针成直角.4 .设出发时甲的速度是每分钟口|米，乙的速度是每分钟百米.第15分钟甲提高的速度是每分钟日米，所以第15分钟后甲的速度是每分钟0米依题意到第15分钟时，乙比甲多跑目米;甲提速后3分钟，追上乙，所以有.接着甲又跑了5分钟，已经超过乙一圈（400米）再次追上乙，所以有.000米,这10跑完的，所以有到了23分50秒时甲跑完了10000米前15分钟是以速度|司跑完的，后8分50秒是以速度区IIxI.将、代入，解得0（米/分），|日（米/分）.由于乙一直是匀速运动，所以乙跑完全程需要I一（分）.7工程问题1 .设两人合作|三小时，则|1M

30、z|解得回|所以，甲乙合作6小时.2 .设一辆卡车一次运1单位的货物，原来轮船的卸货速度为单位/时，码头原有存货量为H单位解得回若轮船卸货速度变为原来的5倍，设需要|N辆卡车5小时内将货运完则一d解得日故需要45辆卡车在5小时内将货运完3 .设男工白人，则女工W1人.设同一工作男工一人做需回天，女工一人做需天则有设甲、乙、丙单独承包各需 回、|回、期完成设甲、乙、丙单独工作一天，各需付 |日、|旧、元于是，由甲队单独承包, 乙队单独承包，费用为费用为（元）（元）即I=所以|工因为M为正整数故日所以男工500人，女工600人4.解得由于丙队不能在一周内完成，所以由乙队单独承包费用最少8浓度问题1 .设与旧克含9%的盐水混合解得目（克）所以，配成的6.4%的盐