一元多项式环的概念及其通用性质（课堂PPT）

1、17.1 7.1 一元多项式环的概念及其通用性质一元多项式环的概念及其通用性质2 一、多项式一、多项式 定义定义. . 设设x是一个变量是一个变量( (文字文字),),n是非负整数是非负整数. .表表示式示式 anxn+an-1xn-1+a1x+a0 ,其中其中an, an-1,a1, a0全属于数域全属于数域K,称为系数在称为系数在数域数域K中的中的一元多项式一元多项式,简称数域简称数域K上的一元多上的一元多项式项式.3注注: (1) 一元多项式指只含一个变量一元多项式指只含一个变量. (2) n是非负整数是非负整数. . ( (3) ) 多项式常用多项式常用f(x), g(x)等表示等表示

2、,或简记作或简记作f, g等等. .4 设数域设数域K K上的多项式上的多项式 f(x) = anxn+an-1xn-1+a1x+a0 , (1) an,an-1,a1,a0称为称为f(x)的的系数系数,系数全为系数全为0的多项式称为的多项式称为零多项式零多项式,记作记作0. (2) akxk (k=n,n-1,1,0)称为称为f(x)的的k次项次项,ak称称为为f(x)的的k次项系数次项系数. (3) 零次项零次项a0也称为也称为f(x)的的常数项常数项.5 (5)(5) 非零常数是零次多项式非零常数是零次多项式. . (6)(6) 零多项式是唯一无法确定次数的多项式零多项式是唯一无法确定次

3、数的多项式. . (7)(7) 只有只有f(x) 0, degf(x)才有意义才有意义. .(4)(4) 若若an 0, ,称称anxn为为f(x)的的首项首项, an称为称为f(x)的首项系数的首项系数, n 称为称为f(x)的的次数次数,常记作常记作degf(x),或或( ).f x 6二 多项式的运算 设设 f(x) = anxn+an-1xn-1+a1x+a0 , g(x) = bmxm+bm-1xm-1+b1x+b0 , 1、相等、相等: f(x)=g(x) 若若f(x)与与g(x)的所有同次项系数全相等的所有同次项系数全相等. 2、加、加(减减)法法: f(x) g(x) 将将f(

4、x)与与g(x)的所有同次项系数相加的所有同次项系数相加(减减); 若若mn,则则ai=0;若若jm,则则bj=0. . (2)(2)乘法运算式可按竖式进行乘法运算式可按竖式进行. .0()n mkijkij ka bx 8乘法运算式乘法运算式 例例1.设设f(x)=2x2+3x-1, g(x)=x3+2x2-3x+2,则则 f(x)=2x2+3x-1, ) g(x)=x3+2x2-3x+2 . 2x5+3x4- x3 4x4+6x3-2x2 -6x3-9x2+3x 4x2+6x-2 . f(x)g(x)=2x5+7x4- x3- 7x2+9x-29一些性质 1 1、数域、数域K K上的两个多

5、项式经过加、减、乘运上的两个多项式经过加、减、乘运算后算后, ,所得的结果仍然是数域所得的结果仍然是数域K K上的多项式上的多项式 2 2、deg(f(x) g(x) max(deg f(x),deg g(x) deg(f(x)g(x)=deg f(x)+deg g(x) 3、若、若f(x) 0,g(x) 0,则则f(x)g(x) 0,而且而且f(x)g(x)的的首项就等于首项就等于f(x)的首项与的首项与g(x)的首项之积的首项之积; f(x)g(x)的首项系数等于的首项系数等于f(x)的首项系数与的首项系数与g(x)的首项系数之积的首项系数之积. .10运算规律 1 1、加法交换律、加法交

6、换律 2 2、加法结合律、加法结合律 3 3、乘法交换律、乘法交换律 4 4、乘法结合律、乘法结合律 5 5、乘法对加法的分配律、乘法对加法的分配律 6 6、乘法消去律、乘法消去律 定义定义 所有系数在数域所有系数在数域K K中的一元多项式全中的一元多项式全体体, ,称为数域称为数域K K上的上的一元多项式环一元多项式环, ,记作记作K K x , , P称为称为K x 的的系数域系数域. . 11设设 ( ), ( ), ( ) f x g x h xR x (1) 证明证明: 若若 222( )( )( ),fxxgxxhx 则则 ( )( )( )0f xg xh x =(2) 在复数域上在复数域上(1)是否成立？是否成立？练习：练习：12(1) 证：若证：若 ( )0,f x 则则 222( )( )( )0,x gxhxfx 于是于是 2222( )( )( ( )( )xgxxhxx gxhx 为奇数为奇数. 故故 ( )0,f x 从而从而 22( )( )0.gxhx从而从而 22( )( )0.gxhx2( )fx 但但 为偶数为偶数. 这与已知矛盾这与已知矛盾.222( )( )( ),x gxhxfx 13(2) 在在 C上不成立如取上不成立