大学物理量子物理量子19章14节

1、一一. .德布罗意波德布罗意波（实物（实物hmcE2hmvp19.1 19.1 实物实物hEphhmc222201cvhcmmvh2201cvvmh1927年美国的年美国的戴维孙和革末实验证戴维孙和革末实验证实了实物粒子波动性实了实物粒子波动性探测器探测器镍单晶镍单晶同年，小汤姆逊的电子束穿同年，小汤姆逊的电子束穿过多晶薄膜后的衍射实验，过多晶薄膜后的衍射实验，得到了与得到了与x射线实验极其相射线实验极其相似的衍射图样似的衍射图样2021vmeU 02meUv vmh0002meUmhUemh02m102 .1210UoA2 .12U例例3. 计算电子通过计算电子通过100V和和10000V加

2、速电压后加速电压后的德布罗意波长的德布罗意波长eUume 221eUmumPee2 eUmhPhe2 考虑相对论效应：考虑相对论效应：cuVU 时时，10000 2222022mccmcP 202202cmmccmmc 202cmeUeU 2202222cmmccP 2021cmeUeUcP Ph (2) (2) 波动性波动性 “弥散性弥散性”“”“可叠加性可叠加性”“”“干涉干涉”“”“衍衍射射”“”“偏振偏振” 具有频率和波矢具有频率和波矢 不是经典的波不是经典的波, ,不代表实在的物理量的波动不代表实在的物理量的波动 对波粒二象性的理解对波粒二象性的理解(1) (1) 粒子性粒子性 “原

3、子性原子性”或或“整体性整体性” 不是经典的粒子不是经典的粒子, ,抛弃了抛弃了“轨道轨道”概概念念概率波和概率幅概率波和概率幅粒子性与波动性是如何相联系的？粒子性与波动性是如何相联系的？受到经典概念的影响，受到经典概念的影响，设想一：设想一：波是基本的，粒子是许多波组合起来的波是基本的，粒子是许多波组合起来的波包波包设想二：设想二：粒子是基本的，波是粒子是基本的，波是大量粒子分布密度的变化大量粒子分布密度的变化波动性是由于有大量粒子分布于空间而形成的疏密波。波动性是由于有大量粒子分布于空间而形成的疏密波。波包在媒质中会逐渐扩展而消灭，粒子不会；波包在媒质中会逐渐扩展而消灭，粒子不会； 波在媒

4、质分界面上会分为反射和折射两部分，而粒子是不可分的；波在媒质分界面上会分为反射和折射两部分，而粒子是不可分的；电子双缝衍射实验证明波动性是各个电子具有的性质电子双缝衍射实验证明波动性是各个电子具有的性质(1)(1)入射强电子流入射强电子流(2)(2)入射弱电子流时间足够长入射弱电子流时间足够长事实说明，运用经典波的概念，粒子与波是难以统一的事实说明，运用经典波的概念，粒子与波是难以统一的德布罗意波的统计解释德布罗意波的统计解释 1926年德国物理学家玻恩首先提出年德国物理学家玻恩首先提出概率波的概念概率波的概念：1.1.玻恩的统计解释玻恩的统计解释波函数体现了发现粒子的概率与光类比：波函数体现

5、了发现粒子的概率与光类比：概概率率振振幅幅),(tr 概概率率密密度度 *2),(tr光振幅光振幅2光强光强 光子出现的概率光子出现的概率 光子数目光子数目 代表单位体积发现一个粒子的概率代表单位体积发现一个粒子的概率2. 2. 用电子双缝衍射实验说明概率波的含义用电子双缝衍射实验说明概率波的含义概率波的干涉结果概率波的干涉结果电子束电子束电子束电子束P1P2P12概概率率幅幅相相加加2112 概概率率相相加加2112PPP 2221 22121212 P3. 3. 波函数满足的条件波函数满足的条件v 自然条件：自然条件：单值、有限和连续单值、有限和连续v 归一化条件归一化条件 1,2dVtr

6、)(全全空空间间 4. 4. 波函数统计诠释涉及对世界本质的认识波函数统计诠释涉及对世界本质的认识在已知的给定条件下，不可能精确地预知结果，在已知的给定条件下，不可能精确地预知结果，只能预言某些可能的结果的概率。只能预言某些可能的结果的概率。和经典物理的严格因果律直接矛盾，至今争论未息。和经典物理的严格因果律直接矛盾，至今争论未息。哥本哈根学派哥本哈根学派 VSVS 爱因斯坦爱因斯坦狄拉克狄拉克经典力学：经典力学：运动物体具有完全确定运动物体具有完全确定的位置、动量、能量、角动量等的位置、动量、能量、角动量等电子单缝衍射实验：电子单缝衍射实验：x1yxpypxp1sin0ppx1sinppx1

7、sinxxppxxhpxhpxxhpxx2xpxph)2(=h.同样能量与时间之间也有如下的不同样能量与时间之间也有如下的不确定性关系：确定性关系：2tE说明：说明：不确定性关系说明微观粒子不可能不确定性关系说明微观粒子不可能同时具有确定的位置和动量；粒子同时具有确定的位置和动量；粒子位置的不确定量越小，动量的不确位置的不确定量越小，动量的不确定量就越大，反之亦然定量就越大，反之亦然若可认为，则若可认为，则0h0 xpx此时任何粒子都可以同时精确测量此时任何粒子都可以同时精确测量位置和动量位置和动量00 亦亦可可时时，即即xpxm1010 xmpvxxxm2 xpx（按（按 /2 估算）估算）

8、10313410101.921005.1-m/s1065一一. .波函数波函数沿沿x方向传播的平面波波动方程为方向传播的平面波波动方程为)(2cos0 xtyy上式为下面复数形式的实数部分上式为下面复数形式的实数部分)(20 xtieyy为区别一般的波，奥地利物理学家为区别一般的波，奥地利物理学家薛定谔提出用薛定谔提出用物质波波函数物质波波函数描述微描述微观粒子的运动状态观粒子的运动状态)(20,xtietxpxEtie0rpEtietr0,hEph二二. .波函数的物理意义波函数的物理意义*2由玻恩的概率波概念，粒子出现在由玻恩的概率波概念，粒子出现在体积元体积元dV内的概率为内的概率为 d

9、Vdw2dVdw2在整个空间总能找到粒子，应有在整个空间总能找到粒子，应有12dV说明：说明：四四. .薛定谔方程薛定谔方程( (教研室好教研室好) )pxEtietx0,2222pxmpxm222222tixm2222-一维运动自由粒子一维运动自由粒子的含时薛定谔方程的含时薛定谔方程mpE22EitEti（非相对论情况下）在势场在势场U(x,t)中：中：粒子的总能量为粒子的总能量为),(txUEEk),(22txUmpEit),(22txUmpi),(22txUmpti222222xmmptitxUxm),(2222推广到三维空间推广到三维空间22222222zyxx2通常我们不考虑含时薛定

10、谔方程，而只讨论通常我们不考虑含时薛定谔方程，而只讨论U(x,t)（常数）的情况（常数）的情况2.2.定态薛定谔方程定态薛定谔方程U(x,t) 因为因为U(x,t)，对含时薛定谔方程可用分离变，对含时薛定谔方程可用分离变量法求解，经分析可知量法求解，经分析可知为以下具体形式为以下具体形式),sincos:()(),(为为粒粒子子能能量量注注EieextxiiEt 将上式代入含时薛定谔方程，可得将上式代入含时薛定谔方程，可得 EUxm 2222此式称为此式称为定态薛定谔方程，定态薛定谔方程，函数函数(x)(x)叫粒子叫粒子的的定态波函数定态波函数，它描写的粒子状态叫，它描写的粒子状态叫定态定态。

11、3.3.对薛定谔方程的说明（含时和定态）对薛定谔方程的说明（含时和定态）均为线性微分方程；（满足叠加原理）均为线性微分方程；（满足叠加原理）从）从数学上数学上来讲，对于任何值，定态来讲，对于任何值，定态薛定谔方程薛定谔方程均有解，但不是所有值的解都能满足均有解，但不是所有值的解都能满足物理上物理上的要求，的要求，作为有物理意义的波函数，这些解必须是：作为有物理意义的波函数，这些解必须是：单值的、单值的、有限的、连续的有限的、连续的。这些条件叫做波函数的标准条件。这些条件叫做波函数的标准条件。根据这些条件，由薛定谔方程可根据这些条件，由薛定谔方程可“自然地自然地”、“顺理顺理成章地成章地”得出量

12、子化条件。得出量子化条件。.空间定态薛定谔方程空间定态薛定谔方程直角坐标形式直角坐标形式 EUzyxm 22222222. .归一化条件归一化条件如一维情况：如一维情况：12 dx 说明：说明：薛定谔方程是量子力学中，态随时薛定谔方程是量子力学中，态随时间变化的方程，其正确性是由方程间变化的方程，其正确性是由方程的解与实验结果相符而得到证实的解与实验结果相符而得到证实设粒子作一维运动，势能函数为设粒子作一维运动，势能函数为)(xU)(00阱内ax )(, 0阱外axxx)(xUEdxdm222200aU(x)=0)()(222xEdxxdm0)()(222xkdxxd222mEk kxCxsi

13、n)(0)0(0)(a0sin C00sinkaCnkaank, 2 , 1nx0a00 xanCxsin)(dxtxa20),(dxxa20)(dxxanCa20sin1aC20, 00)(xxxnaxxana0sin2222mEk 22222manEn, 2 , 1nank讨论：讨论：n 0：因为：因为n=0 则则 n 0，无意义，无意义122222nmaEn22212maE2nEn除端点除端点(x=0,x=a)外，阱内外，阱内 n=0称为称为节点。节点。基态无节点，第一激发态有基态无节点，第一激发态有一个节点，第一个节点，第 n 激发态有激发态有n个节点个节点x0a)(xnx0a2)(xn1n2n3n4n0 xa概率密度概率密度), 3 , 2 , 1(sin2)