四种传染病模型的建模分析

1、对四种传染病模型的讨论与分析模型一(1)模型假设1 .初始时,该地区存在一定的病人X0,2 .每个病人每天都接触到一定的人数,且每次接触都会造成感染3 .病人不被约束,可在一定区域内随机移动(2)建立模型(足以使人致病在这个*II型中,设时刻t的人数x(t)是连续、可微函数,并且每天每个病人有效接触的接触)的人数为常数入,考察到t+at病人人数的增加,就有x(+t)-x(t)=Xx(t)At再设t=0时有xo个病人,即得微分方程dx/dt=入xx(0)=x0方程(1)的解为x(t)=x0eA入t代码求解syms入tx0ezplot(y,0.100)figurey=x0eA入tplot(t,y)

2、(4)结果分析随着时间t的增长,病人数x(t)无线增长,与实际不符.模型二(SI模型)(1)模型假设1.在传播期内所考察地区的总人数N不变,人群分为健康人和病人,时刻t这两类人在总人数中所占比例为s(t)和i(t)2每个病人每天有效接的平均人数是常数a,a为为日接率,当病人与健康者有效接触时,可使患病.(2)建立模型根据假设,每个病人每天可使as(t)个健康人变成病人,t时刻病人数为Ni(1),所以每天共有aNs(t)i(t)个健康者被感染,即病人的增加率为：Ndi/dt=aNsi.又由于s(t)+i(t)=1再记日刻t=0时病人的比例为i0那么建立好的模型为：di/dt=ai(1-i),i(

3、0)=i0代码求解symsaIti0i=dsolve(Di=a*i*(1-i)'(0)=i0','t');y=subs(i,ai0,(0.3,0.02)ezplot(y,0.100)figurei=str2double(i);i=0:0.01:1;y=0.3*i.*(1-i);plot(i,y)(4)结果分析由上图可知,在i=0:1内,di/dt总是增大的,且在i=0.5时,取到最大值,即在t>inf时,所有人都将患病.上述模型显然不符合实际模型三(SIS模型)(1)模型假设假设条件12与模型SI相同3.每天核治的病人数占病人总数的比例为常数u,成为日治愈

4、率,病人治意后成为仍可被感染的康者.显然1/u和是平均传染期(2)模型建立病人的增加率；Ndi/dt=aNsi-uNi且1(t)+s(t)=1那么有:di/dt=ai(1-i)-ui成为接触数那么立好的在此定义k=a/b,可知k是整个传染传染期内每个病人有效接触的平均人数模型为：di/dt=-aii-1/k1(O)=iO代码求解»symsau11iO»dsolve('Di=a*i*(4)-u*l','i(O)=iO','t')»symsk»k=a/u;»i=dsolve('Di=a*i*(

5、1i)-u*l,'i(0)=i0','t')»y=subs(i,k,a,i0,2,0.3,0.02;»ezplot(y,0,100)»pause»gtext(17k)»legend('k>1)»figure»i=str2double(i);»i=0:0,01:1;»y=-0.3*i.*i-1/2;»plot(l,y)»gtext(-U/k")»legend(k=2)»y=subs(l,k,a,i0,0.8,03

6、,0.02)»ezplot(y,0.100)»legend(kW,)»i=str2double(i);»i=0:0,01:1;»y=-0.3*i.*i-(1-(1/0.8)»plot(l,y)»legend(k=0.8)»gext(k=l)(4)结果分析不难看出,接触数k=1是一个阈值,当k>1时,i(t)的增减性取决于i0的大小,但其极限值i(oo)=i-i/k随k的加而增加；当k<=1时,病人比例i(t)变小最终趋于0,这是由于传染期内经有效解除从而使健者患者的人数不超过原来病人数的缘故.模型四.S

7、IR模型(1)模型假设1_总人数N不变,人群分为健康者、病人和病愈者三类,称SIR型.时刻t三类人在总人数N中占得比例分别记作s(t),i(t),r(t).2病人的日接触率为入日治愈率为科,传染期接触数为(T=入/科(2)模型建立由假设1显然有s(t)+i(t)+r(t)=1对于病愈免疫的移出者而言应有Ndr/dt=Ni再记初始时刻的健康者和病人的比例分别是s0和i0,那么SIR模型的方程可以写作di/dt=入si-i,i(0)=t0ds/dt=-入si,s(0)=S0代码求解我们无法求出解析解,先做数值计算设入=1,科=0.3,i(0)=0.02,s(0)=0.98,使用matlab编程fu

8、nctiony=ill(t,x)a=1,b=0.03;y=a*x(q)*x(2)-b*x(1),-a*x(1)*x(2)'；ts=0:50;x0=0.02,0.98;t,x=ode45('ill',ts,x0);t,xplot(t,x(:,1),t,x(:,2),grid,pauseplot(x(:,2),x(:,1)(4)结果分析i,s的图形见左图,Ls的图形见右图,称为相轨线,随着t的增加,(s,i)沿轨线自右向左运动.由上图结合表1可知,i(t)由初值增长至约t=7时到达最大值,然后减少,t-8,t-0;s(t)那么单调减少t-8,S-0.0398进行相轨线分析,

9、可得：s-i平面称为相平面相轨线在相平面上的定义域(s,i)CD为D=(s,t)|s>=0,i>=0,s+i<=1)在方程(3)中消去dt,并注意到b的定义,可得di/dt=1/ss-1,i=i0(s=s0)(4)容易求出它的解为i=(s0+i0)-s+1/(TIns/s0(5)在定义域D内,上式表示的曲线即为相轨线1.不管初始条件s0,i0如何,病人终将消失,即3=0(6)2最终未被感染的健康者的比例是S8,在(5)式中令i=0得到,.S8是方程S0+i0-S00+1/(rlns8/s0=0(7)在(0,1/b)内的根.在图形上,S8是相轨线与S轴在(0,1/b)内交点的横

10、坐标3 .假设S0>1/(T那么i(t)先增加,当S=1/(T时,i(t)到达最大值3=s0+i0-l/(r(1+In(rs0)(8)然后i(t)减小且趋近于0,S(t)那么单调减小至soo04 .假设s0<=1/(T,那么i(t)单调减少至0,s(t)单调减少至s°°o如果仅当病人比例i(t)一段增长的时期才认为传病在蔓延,那么1/b是一个阈值,当s0>1/b时传染病就会蔓延,而减小传染期接触数b即提升值1/(T,使得s0w1/传染病就不会蔓延.并且,即使s0>1/d,从,(8)式可以看出“减少时,卬增加,im降低,也限制了蔓延的程度,在b=入/科中,人们的卫生水平越高,入越小,