《高等数学》下期中段试卷分析

1、xxx学年学年高等数学高等数学第二学期期中考试试题答案第二学期期中考试试题答案一一、填填空空题题（每每小小题题3 3分分, ,共共1 15 5分分）zyyozy223 1.1.坐坐标标面面上上的的曲曲线线绕绕 轴轴旋旋转转而而成成的的旋旋转转曲曲面面2 2_.的的方方程程是是xzy22223 f x yxy00( , ),2.2.写写出出函函数数在在点点()()处处的的偏偏导导数数的的定定义义公公式式xfxy00(,)_. 00000(,)(,)limxf xx yf xyx uxyzxy z223.2(0, 1, 2) 函函数数在在点点P P处处沿沿方方向向的的方方向向导导数数最最大大. .

2、( 4,0,4) 转转化化为为柱柱面面坐坐标标系系下下的的三三次次积积分分应应为为22()f xy dxdydz. xyzz22.0,1 设设 是是柱柱面面= =1 1与与平平面面所所围围成成的的闭闭区区域域，则则三三重重积积分分2112000()ddfdz dV_. 5 5. .球球面面坐坐标标系系下下的的体体积积元元素素2sin d d drr 二、二、单项选择题（每小题单项选择题（每小题 3 3分，共分，共1515分）分）xyz221327 xyz:6414240 1. 直线直线L:与平面与平面的位置关系是的位置关系是( ).(A)直线与平面平行但不共面；直线与平面平行但不共面； (D)

3、直线与平面垂直直线与平面垂直.D (C)直线在平面上；直线在平面上； (B) 直线与平面斜交；直线与平面斜交； 二、二、单项选择题（每小题单项选择题（每小题 3 3分，共分，共1515分）分）Cdxdy( )23 zf x yxy002.( , )(,) 设设在在点点处处具具有有偏偏导导数数是是它它在在该该点点连连续续的的(A)充分而非必要条件充分而非必要条件(B)必要而非充分条件必要而非充分条件(). .D(C)充分必要条件充分必要条件(D)既非充分又非必要条件既非充分又非必要条件Czx yyz223. 函函数数在在点点( (1 1, ,1 1) )处处的的全全微微分分d d( ).Axyd

4、xxy dy2( )2(2 ) Bdy( )3()Ddx2二、二、单项选择题（每小题单项选择题（每小题 3 3分，共分，共1515分）分）xxf x yy1005.d( , )d 累累次次积积分分等等于于（ ）ddxAyf x yx110()( , ); yByf x yx110( )d( , )d ; 100( )d( , )d ;yCyf x yx ( )( , ).100ddxDyf x yx Bzf ug x uux y4.( )( , ), 设设其其中中 是是的的函函数数，假假定定各各导导数数存存在在，A( )dfugguAduxxux( ) ( )dfuguB f uduxux(

5、) ( )dfugguC f uduxxux()fuguDuxux zx则则( ).xyzxyzxoy222222(1)(1)1,1.1.已已知知两两球球面面的的方方程程为为和和求求它它们们的的交交线线C C在在面面上上的的投投影影曲曲线线方方程程xyy222(1)1xoy则则曲曲线线在在面面上上的的投投影影曲曲线线方方程程为为：三、计算题（每题分，共三、计算题（每题分，共48分）分）xyzxyzzxoy222222(1)(1)1 解解：由由方方程程组组消消去去 得得经经过过曲曲线线C C垂垂直直于于面面的的柱柱面面方方程程xyyz222200 xyy22即即：. 设 ,sintvuz.ddt

6、zztvutttzddtvettttcos)sin(cosetuuzddtvvzddtz求全导数,etu ,costv 解法一解法一:tusintcos三、计算题（每题分，共三、计算题（每题分，共48分）分）. 设 ,sintvuz.ddtz求全导数,etu ,costv 解法二：解法二：tteztsincos ttetedtdzttcos)sin(cos.cos)sin(costttet 三、计算题（每题分，共三、计算题（每题分，共48分）分）zzf x xyfx y2.( ,),. 设设函函数数其其中中 具具有有二二阶阶连连续续偏偏导导, ,求求zffufyfxxux12, zx y2 x

7、uyxfuxy( , )zf x u解解: 令 则则xf12 zfyfy12() fyfyy12() fxyf222. 三、计算题（每题分，共三、计算题（每题分，共48分）分）xuyx12f f xy1 及曲线及曲线所围成的平面区域所围成的平面区域. .Dxdxdyy22, ,2yx x 其中其中D是由直线是由直线.计算二重积分计算二重积分xxxxy22111()d xxDxxdxdyxyyy2221221dd 解解: :D9.4 xxxx2211()d xxx231()d xx422111()42 三、计算题（每题分，共三、计算题（每题分，共48分）分） Dxy dxdyx y ayb222

8、225., 计计算算二二重重积积分分D D= = ( () ). .ba2220d(cos )(sin )d ba332().3 三、计算题（每题分，共三、计算题（每题分，共48分）分）Dxy dxdy22 解解：用用极极坐坐标标计计算算ba220dd 解法一：解法一： 如图如图22xyzz oyzxxyzdv，. .计算三重积分计算三重积分z2 和和平平面面所所围围在在的的闭闭区区域域. .xyz22 其其中中 是是由由曲曲面面= =2 2 和和积分域关于积分域关于yoz坐标面对称，坐标面对称，被积函数是被积函数是x的的奇函数奇函数,xyzdxdydz0. xyo22xyD解法二：用直角坐标

9、计算解法二：用直角坐标计算22xyzz oyzx22 xyDdxdyxyzdz原式xyzdv，. .计算三重积分计算三重积分z2 和和平平面面所所围围在在的的闭闭区区域域. .xyz22 其其中中 是是由由曲曲面面= =2 2 和和. 222142()Dxyxydxdyxyo22xyD解法三：用柱面坐标计算解法三：用柱面坐标计算2200cossinddzdz 2020:z 22xyzz oyzx22 xyDdxdyxyzdz原式xyzdv，. .计算三重积分计算三重积分z2 和和平平面面所所围围在在的的闭闭区区域域. .xyz22 其其中中 是是由由曲曲面面= =2 2 和和. 解法四：用球面

10、坐标计算解法四：用球面坐标计算020:cosr 22xyzz oyzxxyzdv，. .计算三重积分计算三重积分z2 和和平平面面所所围围在在的的闭闭区区域域. .xyz22 其其中中 是是由由曲曲面面= =2 2 和和zxy2212 2用用锥锥面面把把闭闭区区域域 分分成成和和. .2202:cossinr 2xyzdv1xyzdv2xyzdv2520cossincossincosdrr 40dsin20d22520cossinsincossincosdrr 24sind20d 6345026sindcos 6629426cosdsin 20122sind20122sind. 解解3( ,

11、, ),zF x y zezxy令令切平面方程切平面方程法线方程法线方程1221000()()()xyz 240,xy210120.xyz四、应用四、应用题（每题题（每题8 8分，共分，共16分）分）zxyznF F Fy x e(2,1,0)(2,1,0)(,)( , ,1) 1 2 0( , , )zzxy 1 1. .求求曲曲面面e e= =3 3在在点点( (2 2, ,1 1, ,0 0) )处处的的切切平平面面及及法法线线方方程程. .42022420( ,)xyfxfy 解：令得四、应用四、应用题（每题题（每题8 8分，共分，共16分）分）2222022022240( ,),(

12、,)( ,),xxxyyyAfBfCfACB Q228( ,)f 是极大值2222882( , )()()f x yxy 解法 ：配方得：四、应用四、应用题（每题题（每题8 8分，共分，共16分）分）22( ,)f是极大值2sin(23 )23xyzxyz 设设，1.zzxy证证明明：五、证明题（本题分）五、证明题（本题分）xzxzzyx3131322)(cos(yzyzzyx3232322)(cos(证明（一）：证明（一）：（直接法）（直接法）两边分别对两边分别对x,y求偏导得：求偏导得：12,33zzxy1.zzxy联立解得：联立解得：，故：( , , )2sin(23 )23F x y zxyzxyz yxzzFFFF2cos(23 )14cos(23 )2=16cos(23 )36cos(23 )3xyzxyzxyzxyz 证明（二）：证明（二）：（公式法）（公式法）令令左左右右2sin(23 )23xyzxyz 设设，1.zzxy证证明明：五、证明题（本题分）五、证明题（本题分）证明（三）：证明（三）：（微分法）（微分法）令令2cos(23 )(d2d3d )xyzxyz d2d3dxyz 12ddd33zxy12,33zzxy1.zzxy