教案3级第五讲二元一次方程组

1、 黄冈七级思维数学(第三级)第六讲二元一次方程教学内容：二元一次方程教学目标：1、使学生正确掌握二元一次方程、二元一次方程组和它的解的含义，并会检验一对数是不是某个二元一次方程组的解；2、通过练习和讨论，进一步培养学生的观察、比较、分析问题的能力；3、使学生正确掌握用代入消元法和加减消元法解二元一次方程组；4、理解代入消元法和加减消元法的基本思想体现了“化未知为已知”，“变陌生为熟悉”的化归思想方法；5、使学生了解三元一次方程组的概念，会用消元法解简单的三元一次方程组；6、使学生正确掌握布列二元一次方程组解应用题；7、通过将实际问题转化数学问题的训练，培养学生分析问题和解决问题的能力。教学重点

2、： 1、用代入消元法和加减消元法解二元一次方程组； 2、用代入法解未知数系数的绝对值不为1的二元一次方程组； 3.、运用消元法解三元一次方程组； 4.、根据已知量与未知量间的等量关系布列方程组。教学难点： 1、明确用加减法解二元一次方程组的关键是必须使两个方程中同一未知数的系数绝对值相等 2.、进一步理解在用代入消元法和加减消元法解方程组时所体现的化归意识 3、选择恰当的方法消元，解方程组4.、如何正确分析实际问题中的等量关系教学方法：讲授法、自主合作探究法.教学过程：第一课时一、创设情境问题：1我们在初一时学习了一元一次方程的有关概念及其解法，谁能写出一个元一次方程，并指出它的解是多少？2为

3、什么它(是指学生回答问题(1)时例举的方程)叫一元一次方程？3方程中“元”是指什么？“次”是指什么？4.一个农民有若干只鸡和兔子，它们共有50个头和140只脚，问鸡和兔子各多少只？教师提出：这是一个非常有意思的问题，它曾在好几个世纪里引起过人们的兴趣，我想这个问题也一定会使在坐的每一名同学感兴趣那么，现在我们怎样来解答这个问题呢？(先让学生思考一下，然后自己做出解答，教师巡视最后，在学生动手动脑的基础上，教师引导给出各种解法)解法一：在分析时，可提出如下问题：150只动物都是鸡，对吗？(不对，因为50只鸡有100只脚，脚数少了)250只动物都是兔子对吗？(不对，因为50只兔子共有200只脚，脚

4、数多了)3一半是鸡，一半是兔子对吗？(不对，因为25只鸡，25只兔共有150只脚，多10只脚)怎么办？(在学生思考后，教师指出：我们可采取逐步调整，验算的方法来加以解决)4若增加一只鸡，减少一只兔，那么动物总只数，脚数分别怎样变化？(当增加一只鸡，减少一只兔时，动物的总只数不变，脚数比原来少两只)5现在你是否知道有几只鸡、几只兔？(若学生回答还是感到困难，教师应引导学生根据一半是鸡，一半是兔时多10只脚，做出5次如问题4所述的方法进行调整，即增加5只鸡，减少5只兔，则多出的10只脚就没有了，故答案是30只鸡、20只兔)此时，教师指出：这个问题是解决了，但它在很大程度上依赖于数字，50和140比

5、较小，比较简单，若它们相当大且又很复杂，那么像上述方法这样一次次的试算就很麻烦了然后提出问题：是否可有其它的方法来解决这个问题呢？(若学生在思考后，还很茫然，则教师引导学生尝试可否用一元一次方程来解由一名学生板演，其余学生自行完成)解法二：设有x只鸡，则有(50-x)只兔根据题意，得2x4(50-x)=140(解方程略)追问：对于上面的问题用一元一次方程可解，是否还有其它方法可解？(若学生想不到，教师可引导学生注意，要求的是两个未知数，能否设两个未知数列方程求解呢？让学生自己设未知数，列方程然后请一名学生板演解所列的方程)解法三：设有x只鸡，y只兔，依题意得xy=50，2x+4y=140二、探

6、索新知 1.二元一次方程的定义 针对学生列出的这两个方程，提出如下问题：1结合前面的复习提问，这两个方程应该叫几元几次方程呢？2为什么叫二元一次方程呢？3什么样的方程叫二元一次方程呢？结合学生的回答，教师板书二元一次方程的定义：含有两个未知数，且未知项次数是1的方程，叫做二元一次方程从解法一我们还知道，x=30，y=20，使方程组中每一个方程成立所以我们把（板书：使二元一次方程组的两个方程左、右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解)将上述问题的三种解法进行优劣对比，你有哪些想法呢？(若学生回答得不全面，不确切，教师可补充归纳如下：当我们运用代数知识将问题翻译成代数语言列方程时

7、，就可以借助代数运算来求解，从上面的问题可以看到，列二元一次方程组比列一元一次方程容易)精例精析例1、（1）已知方程是二元一次方程，求，的值。分析：根据二元一次方程的概念可知，所给的方程必须含有两个未知数，一个是，另一个是，这就要求，另外，含未知数的项的次数都是1，即，。解：由题意得 所以 所以（2）已知是方程的解，求值。分析：把代入方程即可求得值。解： 把代入方程，即【小结】能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解。（3）设，为正整数，求的所有解。分析：分别以，2，3，4代入方程即可求解。解：分别以，2，3，4代入方程，得出相应的值，当 取比4大的值时，相应的值都不是“正整数”。所以原方程

8、的正整数解是： 【小结】二元一次方程虽有无穷多个解，但是未知数有某些限制条件时，二元一次方程的解有有限个，找解时，由系数较大者先决定的较方便。练习：P53:初试身手12.二元一次方程组的解法（1）用代入消元法解二元一次方程组。代入消元法： 在二元一次方程组中，由二元一次方程组中的一个方程，将一个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫代入消元法，简称代入法。精例精析： 例2、解方程组： 分析：方程的特点是用含x的代数式表示，索引可以直接把代入即可消去。解：把代入，得，解x=4把x=4代入,得y=5所以原方程组的解为【小结】用

9、代入消元法解二元一次方程组，关键是灵活“变形”和“代入”，达到消元的最终目的。练习：P54:初试身手2（2）用加减消元法解二元一次方程组。加减消元法：两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反（或相等）时，将两个方程的两边分别相加（或相减）。就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。精例精析：例3、解方程组：分析：方程组中未知数x的系数相等，y的系数互为相反数，选用加法可消去y，选用减法可消去x解：由+得6x=18，所以x=3由-得4y=2，所以所以原方程的解为【小结】当未知数的系数相等或互为相反数时，可直接用加减法消元；当未知数的系数成倍数关系时，可将其中一

10、个方程的两边同乘一个数，使其系数相等或互为相反数，再进行加减消元；当以上条件都不具备时，可以考虑两个方程同时变形。练习：P54:初试身手33.三元一次方程组的解法三元一次方程组的定义：有三个未知数，每个含未知数的项的次数都是1，并且共有三个方程。三元一次方程组的解法：对于三元一次方程组，解题思想是采用化复杂问题为简单问题的“化归”的数学思想，通过各种“消元”方法将三元一次方程组“化归”为二元一次方程组来解。精例精析：例4、解方程组： 分析：因为中的y是用含其他未知数的代数式表示的，中不含有y，所以把代入即可消去y，把方程组化为二元一次方程组。解：把代入得：，即，把组成方程组：解方程组：，解得所

11、以 把代入得：，所以原方程组的解为： 【小结】把其中一个方程转化为其中的一个未知数用其他的未知数来表示，再代入另外的一个或两个方程，化三元为二元来解方程组，然后再代入原方程组中的一个方程求出第三个未知数的值，得到方程组的解。练习：P55:初试身手4例6、已知方程组 的解适合方程，求的值。分析：方法1：把方程组中的看成是已知数，先用的代数式把方程组的解表示出来，再代入，得到关于的一元一次方程，解方程即可求出值。方法2：由方程组中的两个方程消去，得到关于的二元一次方程，与组成新方程组求解，代入方程组中求得。解：方法1：×2，得 ，×3，得 ，得，把代入，得，解得，再把代入，得，

12、所以。方法2：把代入，得，即 。把方程与方程组成方程组，得，把代入得。再把代入得所以。【小结】在数学教学中，要培养学生一题多解的能力，关键是培养学生的发散思维，而发散思维的培养首先要学生从多个方面、多个角度去思考问题，其次要为培养学生发散思维创设内（外）部环境。P57:初试身手6三、归纳小结1、二元一次方程（组）和它的解的有关概念。2、熟练代入消元法、加减消元法解二元一次方程组和三元一次方程组。3、进一步理解和掌握数形结合思想和整体代入的思想。4、在数学学习中，要培养学生一题多解的能力。四、作业：请你试一试：选择题：第2题填空题：第3、4、5、6、7、题解答题：第13、14、15、16 题五、

13、教学反思（各位老师授课后撰写好教学反思。）第二课时教学过程一、创设情景问题：我们学习了运用一元一次方程解决实际问题请看下例，小华买了10分与20分的邮票共16枚，花了2元5角求10分与20分的邮票各买了多少枚？问：怎样求解这个问题呢？引导学生分析，提问：题目中的已知量是什么？未知量是什么？已知量与未知量的相等关系是什么？(结合学生的回答，教师将分析依次写在黑板上)分析：已知量 未知量10分与20分邮票共16枚 10分邮票买多少枚这两种邮票共花了2元5角 20分邮票买多少枚相等关系(1)10分邮票的枚数+20分邮票的枚数=总枚数；(2)10分邮票的总价+20分邮票的总价=全部邮票的总价(请学生在

14、笔记本上设未知数，并布列方程，教师请一名学生板演)解：设10分邮票买了x枚，则20分邮票买了(16-x)枚依题意，得 10x+20(16-x)=250(解方程略)二、探索新知引言：结合上题解答过程，教师指出，对于此题，是否可以用其他方法求解？解：设10分的邮票买了x枚，20分的邮票买了y枚，根据题意得，答：（略）师生共同归纳列二元一次方程组解应用题的步骤：l 审题l 设未知数l 找等量关系l 解方程l 检验l 写出答案简记为：审，设，列，解，简，答。精例精析：二元一次方程组的综合运用 列方程组解应用题的基本思想：列方程组解应用题，是把“未知”转化成“已知”的重要方法，它关键是把已知量和未知量联

15、系起来，找出题目中的相等关系。例5、如图，在长方形ABCD中，AB=8cm，BC=6cm，且的面积比的面积大5cm²，求DF的长。分析：本题是数形结合题，未知数只有一个，若直接设DF的长为，不易找出等量关系，可分步来解，如设的面积为，的面积为梯形ABED的面积为，则有 从中求出的面积，再求DF就容易了。 解：设的面积为cm ²，的面积为cm ²，梯形ABED的面积为cm ²，依题意，得 -，得，即的面积为43cm²，DF长为：。答：DF长为cm。【小结】本题综合性较强，涉及到的知识有三角形的面积、长方形的面积、看图识图、列方程等。本题解方程组有

16、一定的技巧，要求整体求解。解题思路超出常规，要求我们认真理解题意，努力探索解题方法。初试身手5例7、某球迷协会组织36名球迷拟租乘汽车赴比赛场地，为中国国家男子足球队呐喊助威，现有的汽车有两种：一种每辆车可乘8人，另一种每辆车可乘4人，要求租用的车不留空座也不超载。（1）请你给出三种不同的方案。（2）若8个座位的车租金是300元/天，4个座位的车的租金是200元/天，请你设计费用最小的租车方案，并简述你的理由。分析：本题是应用方程知识解决有实际情境的应用题，实质是求二元一次方程组的非负整数解，一要掌握数的整除性质，二要结合实际问题考虑实际意义，三要善于分析，找到合理租车方案。解：（1）设8个座

17、位的车租x辆，4个座位的车租y辆，则，即，x，y为非负整数，x可取0，1，2，3，4等值。则租车方案有：8座车4辆，4座车1辆；8座车3辆，4座车3辆；8座车2辆，4座车5辆等。 （2）因为8座车座位多相对日租金较少，所以要使费用最小，必须尽量多租8座车，符合要求的租车方案：8座车4辆，4座车1辆，此时费用为：4×3001×200=1400(元/天)【小结】一般情况二元一次方程有无数多个解，但在一定范围限制下，有的二元一次方程是能够将解找出来的，本题具有开放性，是考查的热点。初试身手72.例题变招例8、某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机，已知该厂家生产三种不同的电视

18、机，出厂价分别为：甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元，（1）若商场同时购进其中两种不同型号的电视机共50台，用去9万元，请你研究一下商场进货方案；（2）若商场销售一台甲种电视机可获利150元，销售一台乙种电视机可获利200元，销售一台丙种电视机250元，在同时购进两种不同型号的电视机方案中，为使销售的利益最多，你选择哪种进货方案？分析：本题没有已知进哪种型号的电视机，故可从三种型号的电视机中任选两种，共有三种情况。解：设两种机型分别购进x台，y台。 方案一当购进甲、乙两种电视机时有 解得 此时的销售利润为：P=25150+25200=8750（元）；方案二 当购进甲、丙

19、两种电视机时有 解得 此时的销售利润为：P=35150+15250=9000（元）；方案三当购进乙、丙两种电视机时有 ，无正解，舍去。 答：为使销售的利润最多，应该选择方案二。【小结】本题集中各种条件，分散讨论不同条件可能产生的结论，进行综合，归纳，比较，选择最佳解决问题的方法，体现了分类讨论的数学思想。3.中考直通车例9、某商场用36万元购进A、B两种商品，销售完后共获利6万元，其进价和销售价如下表：AB进价（元/件）12001000售价（元/件）13801200（1）该商场购进A、B两种商品各多少件？（2）商场第二次以原价购进A、B两种商品，购进B种商品的件数不变，而购进A种商品的件数是第

20、一次的2倍，A种商品按原售价出售，而B商品打折销售，若两种商品销售完毕要使第二次经营活动获利不少于81600元，B种商品最低价销售为每件多少元？分析：找出题中等量关系，即总进价为36万和总利润为6万元然根据题意列方程。解：（1）设购进A种商品x；购进B种商品y件。 解得 即购进A商品200件，购进B商品120件。 （2）（81600-180×200×2）÷120+1000=1080（元）答：B种商品最低价销售为每件1080元。【小结】1、列方程组解应用题的关键是通过审题理解题意，把握各种已知量、未知量的相互关系，列出方程组。2、用表格、图形的形式显示数据，是近几年

21、中考应用题的新特点，处理这类问题的关键是：（1）读懂图形、表格，理解题意，寻找数据；（2）寻找隐含的数量关系，从而处理数据；（3）还可以进一步应用数据，这类问题仍然存在用方程或方程组处理数据时设元的技巧等相关问题 4、竞赛我能行例10、某次数学竞赛前60名获奖，原定一等奖5人，二等奖15人，三等奖40人；现调为一等奖10人，二等奖20人，三等奖30人，调整后一等奖平均分数降低3分，二等奖平均分降低2分，三等奖平均分降低1分，如果原来二等奖比三等奖平均分数多7分，求调整后一等奖比二等奖平均分数多几分？分析：整理数据之间的关系，从整体上寻求解题的关键，数据整理如下表：调整前奖级人数平均分总分一等奖5x+35（x+3）二