基本不等式常见题型归纳汇总

1、基本不等式常见题型归纳汇总【例1】求下列函数的最大（小）值: (1) y = 4x +(x>-l)(2)广4邑+二 X(3) v = 4x(3-2.r) (0<x<|)(4) y = .v(l-x)J(O<x<l)(5) y = .v(l -x2)(O<x< 1)I 9(6) :r = x + y(- + = 1, x>0, y>0) x y(7) y = xM=？v7 3 V(8)广匚一(x>-l)x + 1(1) y = 4(.r+l) + -4> 2v4(x + l)-4 = 0 ；(凑项 x + V x +1变换)(2)

2、 y = 2<2x2 + 2x1V1 + - > 32<2x2 . 2<2x2 = 6 ；(拆项变换)(3) >，= 221(3-2242(2工 + ；-2工)=9 .(系数变换)(4) y = x(l-x)'=；2x(l-x)(l-x)弓.产+|一;±1可*;(系数变换) 力-(将X'看成，同上),工”毕； 279(平方变换)(6)二=(工 + 丁)(1 + 2) = 1 + * + 1 + 9210 + 2、性1=16 x y y x y x(常数代换)(7)令X=§皿。(-：二，4£), 22则尸sine,cos

3、e = ；sin20w-；,；(三角代换)法二=i A ye -Ui ；(平 2 J 42 2方变换)(8) ”史3任U = x+ +，_5x+1x+122 gI).工-5 = -l.(分离变换) x + lL 变式提L求下列函数的最大（小）值小8 .3、(1) y = -+-?(<彳) 2x-32(2) y = ；x(l-2x)(0<xvg)(3) y = 4x(-x)2(0<x<)(4) y = cos sin (0 < 6? < y)(5) y = (x>3)2x'2.设二次函数/(x) = ax2-4x + c(x w A)的值域为0,

4、 + 8),则19+的最大值是. :鬲牛力宇芸题册%如小交)C+1 4+9求,2x + l + J2y +1 的 高卬女字冽短彤星3力444失3【例2】已知x>0, j>0,且x + y = l, 最大值.之根据常用疗”、财产基本不等整P思委警班何. “2x+l + J2”l) 肿< 2x +1 + 2y +1 = 4.* V2xT1 + J2y +1 < 2x<2.已知任意非零实数.t，户满足3/+4中4/ +y)恒成立，则实数2的最小值为()A.4wrr4，1,一此类题型常常以和以及积的等式形式出现，然后求和或者积的取值范; 围，速型切入口为将等式转化为不等式

5、，常见的解就思路育构造法、判 别式法、化法，变量代换、整体代换等。【例1(1)若正数小力满足b = + b + 3,则必的取值范围为.(2)若正数。，6满足必= + 6 + 3,则 + 8的取值范围为丁高中攻学拼廊研先公力3W4953 解 s (1)法一:ab = a + b + 3> 2ab + 3,e* (4ab + )(4ab -3) > 0,解得&N3或、V-l (舍去)，”N9.(构造法)法二：ab = ci + b + 3, *. a = (易得6>1), b 1,(b + 3)b (/> !)' +5( -1) + 4 .,4_ab = &

6、#39;- = = 5 + (力一1) + 29.(变b-b-b-量代换法)(2)法-zab = a + b + 3<>=>( + /> + 2)(« + 66)20,。+ />26或。+ 6S-2 (舍去).(构造法)法二：同(1)变量代换法.法三：令。+ 6 = /,则1=/一6,代入4b = 十分+ 3得 “-6)8=/ + 3, 万一活 + / + 3 = 0有解，则A =-4(/ + 3)20, 解得/N6或T-2 (舍去),(判别式法/啮竽耨.疑为阳如【例2】已知x，y为正实数，H2x + 8y-xy = 0,则x + 4y的 最小值为_,

7、»的最小值为_"解：(1)法一：2工 + 8)，一.w = 0 = 2x + 8y工 4y 2 2(.v + 4y)44解得12 32.(构造法)法二：= 2x + 8y-xy = 0,(易得y>2), y-2. 8y .8(y 2)+16- ox + 4v = + 4v = - + 4()，-2) + 8y-2y-2=16+生+ 4()，-2)232.(变量代换法)y-29 Q法三:方程21+ 8)，-刈，=0两边同时除以个得：- + - = 1, y x乘以x + 4y得：(2 + g(x + 4)，)=N + 8 + 8 +型232.(化 1 y X)yx法).

8、【例3】若正数码b满足1+ ! = 1,则工+匕的最小值 a ba- 0-1l1 高中劲学婚嬲孙先会沿9444汕3a - 1 = -9 b - 1b工高中效学苗题班先会?句 :一 + = 1,a + b = aba b416 4b 6a ” += - - + >16.a- b- a b基于复杂变换类型的构造此类题型常常题设复杂,需要向基本不等式方向变换多次或者多次运用 基本不等式，考察的角度为学生综合处理问题能力以及对不等式的熟练 程度。能够掌握这类题型需要建立在掌握题型一、题型二的基础上，解 题的中心思踣还是住和为定值或者积为定值的方向*化。【例1】若正数，b满足！+： = 1,则工+

9、£的最小值a b a- b-14七高中效字都题阴无色3州M49”ati 1 1 .,. a . . b解：:一 + = 1, ： a + b = ab,a 1 = > b-T =.a bb a416 4b 16a/. +二= + 16.高卬女孕IW新方全：a- b- a b【例2】若>6>0,则苏+/工的最小值为.b(a - b：高中效学涕夔班先会?力.解："+16b(a-b)=(b + a b)2 +16b(a-b)i r八=b + ( by + 2b(a - b) + 12 4b(a - b) + -2 16.b(a-b)b(a-b)当且仅当人&quo

10、t;从仇”b) = 2时等号成警军懒形法知如刖【例 3】若 a, b, c>0 ,且a( + b + c) + bc=4 ,贝IJ2a + b + c的最小值为().A.VJ - I B.V3 + I C.26 + 2D.2V3-2解：a(a + b + c) + bc = a(a + b) + c(a + b) = (a + c)(a+b)-4-2i3(a + c + a + b 与 ,6 ix< => 2a + b + c N 2(v3 1).I 2 J 1.若a, b, c>Ot 且a、+ lab + lac + Abe = 12.贝Ija+ b + c的最小值是

11、高卬女字第短萧先会乃笑为叼将46c拆成2bc + 2bc,然后利用？ 2bc可得 a' + lab + 2ac + 4bc < a: +5 +c2 + lab + lac + 2bc = (« + /> + c)即可.-评a勿究微斫先会为例44加：;【例4】若是正实数，加+3加= 10,则，J2 +加的最大值工、鬲中效学跻题诉先之力如月妁求租的最值,转化为和有定值的形式，把所求关系式往题设方程的 方向转化即可得弊.rz7T 1Al 2T7T , 1 2。+6 + 33cjy/2 + V, r*v6 + 3/>* 4-V2 V3 V6 2二.鬲中女字解题册无专

12、8 476前二亍【例5】若正数工，）满足2x + y-3 = 0,则巨幺的最小值为 xyZ 55中曲字潺题班兄会为94449以解：法一：v = 3 - 2x.x+2y_x + 6-4x_ 6-3x _ I xy x(3-2x) -x(3-2x)- -2x2+3x6-3x2(-2) + 2 25 + _6-3.r3(x-2)33 3(.r-2)=522233T3(2-43(2-切当且仅当x = |时等号成立.法二:2x + y = 3,x + 2y 3 x + 2y (2x +y)(x + 2y) 2x 5 2y、, = - = + H 2 3.1.设正实数X, y,二满足3个+ 4歹-二=0,

13、她当V取得最 大值时,2+L-2的最大值为（）.x y z9A °BJC- 4 高中物字然&忌2*«4双2.已知。>0, b > 0, 值为.将z表示成X , y的形式，利用基本不等式得出取等时x , y , z之间 的等量关系.进而求解。且满足3。+ 6 =。+b,则2。+ 6的最小Z荷卬女字第短明先会3涉阳羽 籽b表示成a的形式,将题设2a + b转化为关于a的函数关系式，然 后利用分离变换结合基本不等式求解即可.基于第箸类型的对称转换构造这类题型考察的构造思想属于深层次的，属于中上造度的题型，在碰见 这类题型如果能掌握对称原理，构造思路好会破壳而出。最值原理是对 称原理最基本呈现形式，对称原理应用在不等式最值问题中，就是当对 称元素达到地位相同、作用一样、数值相等时，他们的对称性就达到了 极致的和谐、平衡，此时问题也就达到了一种最优化的最值状态.【例1】设X，» Z是正实数，求出山上的最小