202X届高中数学第四章圆与方程4.3空间直角坐标系课件新人教A版必修2

1、4.3空间直角坐标系一二一、空间直角坐标系1.如图1,在数轴上,一个实数就能确定一个点的位置.如图2,在平面直角坐标系中,需要一对有序实数才能确定一个点的位置.一二(1)为了确定空间中任意一点的位置,需要几个实数?提示:三个.(2)平面直角坐标系由两条互相垂直的数轴组成,那么空间直角坐标系该由几条数轴组成?其相对位置关系如何?提示:三条交于一点,且两两互相垂直的数轴.(3) x轴、y轴、z轴上的点的坐标有何特点?xOy平面、yOz平面、xOz平面上的点的坐标有何特点?提示:x轴上的点(x,0,0);y轴上的点(0,y,0);z轴上的点(0,0,z);xOy平面上的点(x,y,0);yOz平面上

2、的点(0,y,z);xOz平面上的点(x,0,z).一二2.填空:空间直角坐标系 一二3.填空:坐标如图所示,设点M为空间直角坐标系中的一个定点,过点M分别作垂直于x轴、y轴和z轴的平面,依次交x轴、y轴和z轴于点P,Q和R.设点P,Q和R在x轴、y轴和z轴上的坐标分别是x,y和z,那么点M就和有序实数组(x,y,z)是一一对应的关系,有序实数组(x,y,z)叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标,记作M(x,y,z),其中x叫做点M的横坐标,y叫做点M的纵坐标,z叫做点M的竖坐标.一二4.对于空间两点P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),则线段P1P2的中点P的坐标是什么?一二二、

3、空间两点间的距离公式1.在空间直角坐标系中,坐标轴上的点A(x,0,0),B(0,y,0),C(0,0,z)与坐标原点O的距离分别是什么?提示:|OA|=|x|,|OB|=|y|,|OC|=|z|.2.在空间直角坐标系中,坐标平面上的点A(x,y,0),B(0,y,z),C(x,0,z)与坐标原点O的距离分别是什么?一二3.在空间中,设点P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),如何求点P1,P2之间的距离|P1P2|?一二5.做一做:在空间直角坐标系中,点A(1,0,1)和点B(2,1,-1)间的距离为.4.填空:空间中点P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)之间的距离

4、 探究一探究二探究三思维辨析求空间点的坐标求空间点的坐标例1在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是D1D、BD的中点,G在棱CD上,且CG= CD,H为C1G的中点,试建立适当的坐标系,写出E、F、G、H的坐标.思路分析:要求点的坐标,需求得横、纵、竖坐标的值,从而确定出所求点的坐标.探究一探究二探究三思维辨析解 探究一探究二探究三思维辨析反思感悟反思感悟空间中点的坐标的确定方法1.建立空间直角坐标系时应遵循以下原则(1)让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内;(2)充分利用几何图形的对称性.2.求某点的坐标时,一般先找出这一点在某一坐标平面上的射影,确定其两个坐标,再找

5、出它在另一轴上的射影(或者通过它到这个坐标平面的距离加上正负号),确定第三个坐标.探究一探究二探究三思维辨析变式训练 在棱长都为2的正三棱柱ABC-A1B1C1中,建立恰当的空间直角坐标系,并写出三棱柱ABC-A1B1C1各顶点的坐标.解取BC,B1C1的中点分别为O,O1,连接OA,OO1,根据正三棱柱的几何性质,OA,OB,OO1两两互相垂直,且 ,以OA,OB,OO1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图所示,则正三棱柱ABC-A1B1C1各顶点的坐标分别为:探究一探究二探究三思维辨析求对称点的坐标求对称点的坐标例2 在空间直角坐标系中,点P(-2,1,4).(1)求点

6、P关于x轴的对称点的坐标;(2)求点P关于xOy平面的对称点的坐标;(3)求点P关于点M(2,-1,-4)的对称点的坐标.思路分析:求对称点的坐标,可以过该点向对称平面或对称轴作垂线并延长,使得垂足为所作线段的中点,再根据有关性质即可写出对称点坐标.探究一探究二探究三思维辨析解:(1)由于点P关于x轴对称后,它在x轴的分量不变,在y轴、z轴的分量变为原来的相反数,所以对称点为P1(-2,-1,-4).(2)由于点P关于xOy平面对称后,它在x轴、y轴的分量不变,在z轴的分量变为原来的相反数,所以对称点为P2(-2,1,-4).(3)设对称点为P3(x,y,z),则点M为线段PP3的中点.由中点

7、坐标公式,可得x=22-(-2)=6,y=2(-1)-1=-3,z=2(-4)-4=-12,所以P3(6,-3,-12).探究一探究二探究三思维辨析反思感悟对称点的坐标的确定方法求对称点的坐标可按以下规律写出:“关于谁对称谁不变,其余的符号均相反.”在空间直角坐标系中,任一点P(a,b,c)的几种特殊的对称点的坐标如下:探究一探究二探究三思维辨析延伸探究延伸探究点P(-3,2,-1)关于平面xOz的对称点是,关于z轴的对称点是,关于M(1,2,1)的对称点是.解析:点P关于平面xOz对称后,它的纵坐标变为原来的相反数,其他不变,因此第一个空应填(-3,-2,-1);P关于z轴对称后,它的竖坐标

8、没变,横、纵坐标变为原来的相反数,因此第二个空应填(3,-2,-1);设P关于M(1,2,1)对称后的点为(x,y,z),则由中点坐标公式得答案:(-3,-2,-1)(3,-2,-1)(5,2,3) 探究一探究二探究三思维辨析空间两点间距离公式及应用空间两点间距离公式及应用【例3】 如图所示,PA,AB,AD两两互相垂直,ABCD为矩形,M,N分别为AB,PC的中点,求证:MNAB.思路点拨:写出点的坐标,代入距离公式即可.探究一探究二探究三思维辨析证明:如图所示,以A为坐标原点,分别以AB,AD,AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),设B(a,0,0),D(0

9、,b,0),C(a,b,0),P(0,0,c).因为M,N分别是AB,PC的中点,故MNAM,即MNAB. 探究一探究二探究三思维辨析反思感悟空间中两点间距离的求法1.求线段长度问题就是把点的坐标代入空间两点间距离公式进行计算,其中确定点的坐标或合理设出点的坐标是关键.2.若所给题目中未建立坐标系,需先结合已知条件建立适当的坐标系,再利用空间两点间的距离公式计算,其一般步骤为:探究一探究二探究三思维辨析一题多变空间两点间的距离典例在空间直角坐标系中,已知A(2,0,3)和B(-3,0,-2),试问在y轴上是否存在点M,满足|MA|=|MB|.解假设在y轴上存在点M,满足|MA|=|MB|.因为

10、M在y轴上,可设M(0,y,0).显然,此式对任意yR恒成立,即y轴上所有点都满足关系|MA|=|MB|.探究一探究二探究三思维辨析变式训练 1本例中将点A的坐标改成“A(3,1,1)”,其余条件不变,请再探讨结论.解假设在y轴上存在点M,满足|MA|=|MB|.因为M在y轴上,可设M(0,y,0).由|MA|=|MB|,可得解得y=-1,所以y轴上存在点M(0,-1,0)满足关系|MA|=|MB|.探究一探究二探究三思维辨析变式训练 2将本例改为“在空间直角坐标系中,已知A(2,0,3),B(-3,0,-2),C(1,2 ,-1)”,试判断三角形ABC的形状?解由空间两点间的距离公式知:所以

11、|AC|=|BC|,|AC|2+|BC|2=|AB|2,所以三角形ABC为等腰直角三角形.探究一探究二探究三思维辨析方法总结 解决空间两点间的距离的方法(1)若两点坐标已知,直接代入空间两点间的距离公式求解.(2)若两点坐标未知,则需建立适当的空间直角坐标系(有些题目已给出坐标系),利用平面图形及空间图形的性质,结合坐标系表示出相关的坐标,最后代入空间两点间的距离公式求解.12341.点P(3,0,4),Q(0,0,-3)在空间直角坐标系中的位置分别是在()A.y轴上、x轴上B.xOz平面上、y轴上C.xOz平面上、z轴上D.xOy平面上、yOz平面上答案:C12342.已知点A(-3,1,4),则点A关于x轴对称的点的坐标为()A.(-3,-1,-4)B.(-3,-1,4)C.(3,1,4)D.(3,-1,-4)解析:点A(-3,1,4),点A关于x