202X_202X版高中数学模块复习课第4课时利用向量解决平行与垂直、夹角问题课件新人教A版选修2_1

1、-1-第4课时利用向量解决平行与垂直、 夹角问题课前篇基础梳理知识网络要点梳理课前篇基础梳理知识网络要点梳理课前篇基础梳理知识网络要点梳理1.空间向量的有关概念 课前篇基础梳理知识网络要点梳理2.空间向量的线性运算及运算律 (2)运算律:a.加法交换律:a+b=b+a;b.加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c);c.数乘分配律:(a+b)=a+b.课前篇基础梳理知识网络要点梳理3.空间向量的有关定理课前篇基础梳理知识网络要点梳理4.空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念两向量的夹角两向量的数量积已知空间两个非零向量a,b,则|a|b|cos叫做向量a,b的数量积,记作ab,即ab=

2、|a|b|cos.(2)空间向量数量积的运算律结合律:(a)b=(ab);交换律:ab=ba;分配律:a(b+c)=ab+ac.课前篇基础梳理知识网络要点梳理5.向量的坐标运算 课前篇基础梳理知识网络要点梳理b.如图,n1,n2分别是二面角-l-的两个半平面,的法向量,则二面角的大小满足cos =cos或-cos.课堂篇专题整合专题归纳高考体验专题一空间向量概念及运算 (2)求向量a与向量b的夹角的余弦值;(3)若ka+b与ka-2b互相垂直,求实数k的值.课堂篇专题整合专题归纳高考体验(2)a=(1,1,0),b=(-1,0,2),ab=(1,1,0)(-1,0,2)=-1. (3)法一:k

3、a+b=(k-1,k,2),ka-2b=(k+2,k,-4),且ka+b与ka-2b互相垂直,(k-1,k,2)(k+2,k,-4)=(k-1)(k+2)+k2-8=0.课堂篇专题整合专题归纳高考体验反思感悟数量积的应用(1)求夹角:设向量a,b所成的角为,则cos = ,进而可求两异面直线所成的角.(2)求长度(距离):运用公式|a|2=aa,可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题.(3)解决垂直问题:利用abab=0(a0,b0),可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题.课堂篇专题整合专题归纳高考体验跟踪训练1已知空间向量a=(0,-1,1),b=(4,1,0).(1)若(ka-

4、b)b,则k=.(2)若|a+b|= ,且0,则的值为.解析(1)因为(ka-b)b,所以(ka-b)b=0,即kab-|b|2=0,因此-k-17=0,解得k=-17.(2)因为a=(0,-1,1),b=(4,1,0),所以a+b=(0,-1,1)+(4,1,0)=(4,1-,).因为|a+b|= ,所以42+(1-)2+2=29,整理得2-6=0,解得=3或=-2,又因为0,故=3.答案(1)-17(2)3课堂篇专题整合专题归纳高考体验专题二利用空间向量证明位置关系例2 如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,ABC=90,BC=2,CC1=4,EB1=1,D,F,G分别为CC1,B1

5、C1,A1C1的中点,EF与B1D相交于点H.求证:(1)B1D平面ABD;(2)平面EGF平面ABD.思路分析建立空间直角坐标系,通过坐标运算,结合线面垂直,面面平行的判定定理进行证明.课堂篇专题整合专题归纳高考体验证明(1)如图所示,建立空间直角坐标系,设A1(a,0,0),则B1(0,0,0),C1(0,2,0),F(0,1,0),E(0,0,1),A(a,0,4),B(0,0,4),D(0,2,2),G课堂篇专题整合专题归纳高考体验反思感悟向量法证明空间中的位置关系 课堂篇专题整合专题归纳高考体验跟踪训练2如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD底面ABCD,P

6、D=DC,E是PC的中点,作EFPB于点F.求证:(1)PA平面EDB;(2)平面PBD平面EFD.课堂篇专题整合专题归纳高考体验证明以D点为坐标原点, 所在的方向为x,y,z轴建立空间直角坐标系D-xyz(如图所示).设DC=a.(1)连接AC,交BD于G,连接EG.课堂篇专题整合专题归纳高考体验由已知EFPB,且EFDE=E,所以PB平面EFD.又因为PB平面PBD,所以平面PBD平面EFD.课堂篇专题整合专题归纳高考体验专题三利用空间向量求空间角例3 (2018全国高考)如图,四边形ABCD为正方形,E,F分别为AD,BC的中点,以DF为折痕把DFC折起,使点C到达点P的位置,且PFBF

7、.(1)证明:平面PEF平面ABFD;(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值.解(1)由已知可得,BFPF,BFEF,所以BF平面PEF.又BF平面ABFD,所以平面PEF平面ABFD.课堂篇专题整合专题归纳高考体验(2)作PHEF,垂足为H.由(1)得,PH平面ABFD.以H为坐标原点, 的方向为y轴正方向,| |为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系H-xyz.课堂篇专题整合专题归纳高考体验反思感悟向量法求解空间角 课堂篇专题整合专题归纳高考体验跟踪训练3如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是棱BB1的中点.(1)求直线A1M与平面AMC1所成角的正弦值.(2)求二面角A-MC1

8、-A1的余弦值.课堂篇专题整合专题归纳高考体验解以B为坐标原点,BC,BA,BB1所在的直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,课堂篇专题整合专题归纳高考体验课堂篇专题整合专题归纳高考体验考点一空间向量及其运算1.(2018全国高考)已知向量a,b满足|a|=1,ab=-1,则a(2a-b)=()A.4B.3C.2D.0解析a(2a-b)=2a2-ab=2-(-1)=3.答案B课堂篇专题整合专题归纳高考体验考点二利用空间向量求空间角 A.30B.45C.60D.120 答案A 课堂篇专题整合专题归纳高考体验3.(2019全国高考)如图,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形,AA

9、1=4,AB=2,BAD=60,E,M,N分别是BC,BB1,A1D的中点.(1)证明:MN平面C1DE;(2)求二面角A-MA1-N的正弦值.解(1)连接B1C,ME.因为M,E分别为BB1,BC的中点,所以MEB1C,且ME= B1C.又因为N为A1D的中点,所以ND= A1D.由题设知A1B1DC,可得B1CA1D,故MEND,因此四边形MNDE为平行四边形,MNED.又MN平面EDC1,所以MN平面C1DE.课堂篇专题整合专题归纳高考体验(2)由已知可得DEDA.以D为坐标原点, 的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,课堂篇专题整合专题归纳高考体验课堂篇专题整合专

10、题归纳高考体验4.(2017课标高考)如图,四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC= AD,BAD=ABC=90,E是PD的中点.(1)证明:直线CE平面PAB;(2)点M在棱PC上,且直线BM与底面ABCD所成角为45,求二面角M-AB-D的余弦值.课堂篇专题整合专题归纳高考体验解(1)取PA的中点F,连接EF,BF.因为E是PD的中点,所以EFAD,EF= AD.由BAD=ABC=90得BCAD,又BC= AD,所以EFBC,四边形BCEF是平行四边形,CEBF,又BF平面PAB,CE平面PAB,故CE平面PAB.课堂篇专题整合专题归纳高考体验因为BM

11、与底面ABCD所成的角为45,而n=(0,0,1)是底面ABCD的法向量,课堂篇专题整合专题归纳高考体验课堂篇专题整合专题归纳高考体验5.(2019全国高考)图1是由矩形ADEB,RtABC和菱形BFGC组成的一个平面图形,其中AB=1,BE=BF=2,FBC=60.将其沿AB,BC折起使得BE与BF重合,连结DG,如图2.(1)证明:图2中的A,C,G,D四点共面,且平面ABC平面BCGE;(2)求图2中的二面角B-CG-A的大小. 课堂篇专题整合专题归纳高考体验(1)证明由已知得ADBE,CGBE,所以ADCG,故AD,CG确定一个平面,从而A,C,G,D四点共面.由已知得ABBE,ABB

12、C,故AB平面BCGE.又因为AB平面ABC,所以平面ABC平面BCGE.(2)解作EHBC,垂足为H.因为EH平面BCGE,平面BCGE平面ABC,所以EH平面ABC.由已知,菱形BCGE的边长为2,EBC=60,可求得以H为坐标原点, 的方向为x轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系H-xyz,课堂篇专题整合专题归纳高考体验课堂篇专题整合专题归纳高考体验6.(2018全国高考)如图,在三棱锥P-ABC中,AB=BC=2 ,PA=PB=PC=AC=4,O为AC的中点.(1)证明:PO平面ABC;(2)若点M在棱BC上,且二面角M-PA-C为30,求PC与平面PAM所成角的正弦值.课堂篇专题

13、整合专题归纳高考体验解(1)因为AP=CP=AC=4,O为AC的中点,所以OPAC,且 由OP2+OB2=PB2知POOB.由OPOB,OPAC知PO平面ABC.(2)如图,以O为坐标原点, 的方向为x轴正方向,建立空间直角坐标系O-xyz.课堂篇专题整合专题归纳高考体验课堂篇专题整合专题归纳高考体验课堂篇专题整合专题归纳高考体验7.(2018北京高考)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1平面ABC,D,E,F,G分别为AA1,AC,A1C1,BB1的中点,AB=BC= ,AC=AA1=2.(1)求证:AC平面BEF;(2)求二面角B-CD-C1的余弦值;(3)证明:直线FG与平面BC

14、D相交.(1)证明在三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1平面ABC,四边形A1ACC1为矩形.又E,F分别为AC,A1C1的中点,ACEF.AB=BC,ACBE,AC平面BEF.课堂篇专题整合专题归纳高考体验(2)解由(1)知ACEF,ACBE,EFCC1.CC1平面ABC,EF平面ABC.BE平面ABC,EFBE.建立如图所示的空间直角坐标系E-xyz.课堂篇专题整合专题归纳高考体验课堂篇专题整合专题归纳高考体验考点三利用空间向量解决综合问题8.(2018天津高考)如图,ADBC且AD=2BC,ADCD,EGAD且EG=AD,CDFG且CD=2FG,DG平面ABCD,DA=DC=DG=2.(

15、1)若M为CF的中点,N为EG的中点,求证:MN平面CDE;(2)求二面角E-BC-F的正弦值;(3)若点P在线段DG上,且直线BP与平面ADGE所成的角为60,求线段DP的长.课堂篇专题整合专题归纳高考体验课堂篇专题整合专题归纳高考体验课堂篇专题整合专题归纳高考体验课堂篇专题整合专题归纳高考体验9.(2019北京高考)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA平面ABCD,ADCD,ADBC,PA=AD=CD=2,BC=3.E为PD的中点,点F在PC上,且 .(1)求证:CD平面PAD;(2)求二面角F-AE-P的余弦值;(3)设点G在PB上,且 ,判断直线AG是否在平面AEF内,说明理由.课堂篇专题整合专题归纳高考体