从平面向量到空间向量

1、从平面向量到空间向量第一页，共26页。一一. 复习平面向量复习平面向量1.向量向量定义：既有既有大小大小又有又有方向方向的量叫做向量的量叫做向量。几何表示法几何表示法: :用有向线段表示用有向线段表示字母表示法字母表示法：用小写字母表示，或者用表示向量的用小写字母表示，或者用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示。有向线段的起点和终点字母表示。如如: a 或或AB2.向量的表示方法：向量的表示方法：3.相等向量： 方向相同且模相等的向量方向相同且模相等的向量.第二页，共26页。相反向量相反向量：平行向量平行向量：共线向量共线向量：单位向量单位向量：零向量零向量：方向相反且模相等的向量方向相反且

2、模相等的向量.方向相同或相反的向量方向相同或相反的向量.平行向量也叫共线向量平行向量也叫共线向量.模为模为1个单位的向量个单位的向量.模为模为0的向量的向量.a a 相反向量相反向量a b c 共线向量或平行向量共线向量或平行向量3、第三页，共26页。ABCDABCDaABCDA1B1C1D1b空间向量的客观存在第四页，共26页。物理中的事例 如图F1F2F3一个放在水平面上物体，受到不在同一平面内的三个力的作用，如何求它们的合力？第五页，共26页。南上东住处学校小明从学校大门口出发,向北行走100m,再向东行走200m,最后上电梯15m到达住处.实际问题第六页，共26页。在一个平面内来考虑既

3、有大小又有方向的量称为平面向量在一个空间内来考虑既有大小又有方向的量称为空间向量1.空间向量的概念空间向量的概念可以看出: 平面向量与空间向量只是研究的范围不同.平面向量扩展到空间就是空间向量。第七页，共26页。2.空间向量的表示空间向量的表示表示方法1: 用有向线段表示表示方法2: 用字母表示a, b, c或者 a, b, c如 , A叫做向量的起点, B叫做向量的终点;AB注意：数学中所讨论的向量与向量的起点无关称之为自由向量。AB第八页，共26页。3.空间向量的模：空间向量的大小也叫做向量的长度或模用 或 表示。ABa第九页，共26页。4.空间两向量的夹角abbaBOA第十页，共26页。

4、当=/2时,向量 与 垂直,a babab记作: 当=0或时,向量 与 平行,a babab记作: /4.空间两向量的夹角注意：a,b=b,a第十一页，共26页。aABABaaABaAB平面向量平面向量空间向量空间向量具有大小和方向的量具有大小和方向的量具有大小和方向的量具有大小和方向的量 几何表示法几何表示法几何表示法几何表示法字母表示法字母表示法 字母表示法字母表示法 向量的大小向量的大小 向量的大小向量的大小 长度为零的向量长度为零的向量 长度为零的向量长度为零的向量模为模为1的向量的向量模为模为1的向量的向量长度相等且方向长度相等且方向相反的向量相反的向量长度相等且方向长度相等且方向相

5、反的向量相反的向量长度相等且方向相同长度相等且方向相同 的向量的向量长度相等且方向相同的向量长度相等且方向相同的向量定义定义表示法表示法向量的模向量的模零向量零向量单位向量单位向量相反向量相反向量相等向量相等向量类比平面向量与空间向量的基本概念类比平面向量与空间向量的基本概念思考交流：第十二页，共26页。ba、|ba ba pnnm 、. pm 3,4第十三页，共26页。第十四页，共26页。AFEDCBADCBCACDAEFBCCBADADCBBCDAAD,) 3(.,)2(,) 1 (:平行的向量有与的相反向量有向量相等的向量有与解第十五页，共26页。平面直线的方向向量是如何定义的？直线的方

6、向向量唯一吗？如何表示空间直线的方向向量？三 空间直线的方向向量L在平面内与直线L共线的向量叫直线的方向向量。直线的方向向量有无数条。a第十六页，共26页。 定义： 对于空间任意一条直线L,我们把与直线平行的非零向量d叫做直线的一个方向向量。 空间直线的方向向量 2.空间一条直线的方向向量是唯一的吗？ B1.M0B是直线的方向向量吗?思考：.过一点A和一个方向向量a可以确定几条空间直线？思考：第十七页，共26页。过空间中一定点A，作方向向量为 的空间直线。aaA结论：过一点A,做方向相量为a的直线只有唯一一条。第十八页，共26页。四四.空间向量与平面空间向量与平面Al在空间一直线与平面的位置关

7、系有几种相交：垂直和斜交平行或重合第十九页，共26页。2.向量与平面向量与平面Aal定义：如果直线定义：如果直线L垂直于平面垂直于平面 ,那么把直线那么把直线L的方向向量的方向向量叫做叫做平面平面 的法向量的法向量.a几点注意：几点注意：1.法向量一定垂直该平面法向量一定垂直该平面; 2.平面的法向量不唯一，有无数条法向量。平面的法向量不唯一，有无数条法向量。3.一个平面的所有法向量都互相平行。一个平面的所有法向量都互相平行。思考：思考：过一定点A，且法向量为a的平面确定吗？的平面确定吗？第二十页，共26页。过空间中一定点A，作法向量为 的平面。aaA结论：过一点只能做一个平面和已知法向量垂直

8、。第二十一页，共26页。ababOABb结论：结论：1.空间任意两个向量都是共面向量，但不确定唯一平面。空间任意两个向量都是共面向量，但不确定唯一平面。 2.平面向量中两个向量的有关结论如加、减、数乘、内积平面向量中两个向量的有关结论如加、减、数乘、内积仍适用于空间向量。这也是我们后面学习空间向量运算的基础。仍适用于空间向量。这也是我们后面学习空间向量运算的基础。思考：空间任意两个向量是否共面？思考：空间任意两个向量是否共面？ 是否确定唯一的平面？是否确定唯一的平面？第二十二页，共26页。练习1. .下列说法正确的是：（下列说法正确的是：（ ）A.A.平面内的任意两个向量都共线平面内的任意两个

9、向量都共线B.B.空间的任意三个向量都不共面空间的任意三个向量都不共面C.C.空间的任意两个向量都共面空间的任意两个向量都共面D.D.空间的任意三个向量都共面空间的任意三个向量都共面C第二十三页，共26页。练习2中：如图正方体DCBAABCD 以顶点为端点的所有向量中，直线AB的方向向量有 A. 8个 B. 7个 C. 6个 D. 5个AFEDCBADCB答案 A第二十四页，共26页。中：如图正方体DCBAABCD 相等吗？与向量向量ABCDBADC, ,) 1 (是相反向量吗？与向量, BABACDDC平行的向量吗？个与找到的中点，在正方体中能和分别是和）（EFBBABFE33练习3.A B C D DCBAEF（1）是相等