数列综合题解答

1、数列练习题（1）1.已知首项为正数的等差数列an满足:a2005+a2006>0,a2005·a2006<0,则使前项Sn>0成立的最大自然数是（ ）A. 4009 B.4010 C. 4011 D.4012解法1：由题意知:等差数列中,从第1项到第2005项是正数,且从第2006项开始为负数,S4010=2005(a1+a4010)=2005(a2005+a2006)>0,S4011=4011a2006<0, 故n的最大值为4010.解法2:由题意可得:等差数列中,从第1项到第2005项是正数,且从第2006项开始是负数,则所有的正项的和为Sn的最大值

2、,即当n=2005时,取得最大值,显然Sn是关于n的缺常数项的二次函数,且开口向下,所以第2005项离对称轴最近,故其对称轴介于2005到2005.5之间,又因为二次函数的图象与x轴的一个交点是(0,0),设另一个交点(x,0),x应介于4010到4011之间.所以使Sn>0的最大自然数是4010,故选B. 本小题结论可以推广成一般结论:等差数列中,a1>0,ak+ak+1>0,且akak+1<0,则使前n项和Sn>0的最大自然数n是2k.2.设数列的前项和为，关于数列有下列三个命题：若数列既是等差数列又是等比数列，则；若，则数列是等差数列；若，则数列是等比数列.

3、这些命题中，真命题的个数是（D）A0 B1C2D3 不妨设数列的前三项为，则其又成等比数列，故，即；由的公式，可求出，故是等差数列；由可求由，故数列是等比数列. 故选.3. 等差数列的公差且，则数列的前项和取得最大值时的项数是（ ）A5B6C5或6D6或7 由，知.，故选C4. 在数列an中，a1=2,an+1=0，则a2008= ( ) A. B. C. D. 由an+1=-为等差数列，且公差为1，首项为0，则.5由函数确定数列，, 若函数的反函数能确定数列，则称数列是数列的“反数列”（1）若函数确定数列的反数列为，求；（2）设，数列与其反数列的公共项组成的数列为（公共项为正整数）求数列前1

4、0项和；（3）对（1）中，不等式对任意的正整数恒成立，求实数的范围 解 （1）（）（为正整数），（）所以数列的反数列的通项（为正整数）。（2）， ，则，有， 所以的前项和 （3）对于（1）中，不等式化为：对任意正整数恒成立 。设，数列单调递增，所以，要使不等式恒成立，只要， ，所以，使不等式对于任意正整数恒成立的的取值范围是：6.(1)已知正项数列an，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列an的通项an . 解: 10Sn=an2+5an+6， 10a1=a12+5a1+6，解之得a1=2或a1=3 又10Sn1=an12+5an1+6(n2)，

5、 由得 10an=(an2an12)+6(anan1)，即(an+an1)(anan15)=0 an+an1>0 ， anan1=5 (n2) 当a1=3时，a3=13，a15=73 a1， a3，a15不成等比数列a13;当a1=2时， a3=12， a15=72， 有 a32=a1a15 ， a1=2， an=5n3(2)已知数列的首项，求的通项公式；，又，是以为首项，为公比的等比数列，（3）（2008陕西）已知数列的首项，（）证明：数列是等比数列；（）数列的前项和解：（） ， ， ，又， 数列是以为首项，为公比的等比数列（）由（）知，即，设， 则，由得 ，又数列的前项和 7.(20

6、09全国卷理)在数列中， （I）设，求数列的通项公式，（II）求数列的前项和分析：（I）由已知有 利用累差迭加即可求出数列的通项公式: ()（II）由（I）知,=而,又是一个典型的错位相减法模型，易得 =8.(2009山东卷文)等比数列的前n项和为， 已知对任意的 ，点，均在函数且均为常数)的图像上. （1）求r的值；（11）当b=2时，记 ，求数列的前项和解:因为对任意的,点，均在函数且均为常数)的图像上.所以得,当时, 当时,又因为为等比数列, 所以, 公比为, 所以（2）当b=2时，, 则 相减,得 所以9.（2008全国II） 设数列的前项和为已知，（）设，求数列的通项公式；（）若，求

7、的取值范围（）依题意，即，由此得因此，所求通项公式为，（）由知，于是，当时，当时，又综上，所求的的取值范围是设数列的前项和为，对任意的正整数，都有成立，记。 （I）求数列与数列的通项公式；（II）设数列的前项和为，是否存在正整数，使得成立？若存在，找出一个正整数；若不存在，请说明理由；（III）记，设数列的前项和为，求证：对任意正整数都有；解：（I）当时， 又数列是首项为，公比为的等比数列， （II）不存在正整数，使得成立。证明：由（I）知 当n为偶数时，设 当n为奇数时，设对于一切的正整数n，都有 不存在正整数，使得成立。 （III）由得 又， 当时，当时， 10.（2009全国卷理）设数列

8、的前项和为 已知（I）设，证明数列是等比数列 （II）求数列的通项公式。解：（I）由及，有由， 则当时，有得又，是首项，公比为的等比数列（II）由（I）可得，数列是首项为，公差为的等比数列， 11.已知，点在函数的图象上，其中（1）证明数列是等比数列；（2）设，求及数列的通项；（3）记，求数列的前项，并证明解：（）由已知，两边取对数得，即是公比为2的等比数列.（）由（）知 （*）= 由（*）式得（） 又 又.12蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图. 其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以表示第

9、个图的蜂巢总数.(1) 试给出的值，并求的表达式（不要求证明）；(2) 证明：.解： 由于因此，当时，有所以.又，所以. 当时，. 所以.13已知数列，设 ，数列。（1）求证：是等差数列；（2）求数列的前n项和Sn；（3）若一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围。解：（1）由题意知，数列的等差数列（2）由（1）知，于是两式相减得（3）当n=1时，当当n=1时，取最大值是，又即14已知a、b、m、，是首项为a，公差为b的等差数列；是首项为b，公比为a的等比数列，且满足（1）求a的值；（2）数列与数列的公共项，且公共项按原顺序排列后构成一个新数列，求的前n项之和（1），由已知abababa2b，由

10、a2bab，a、得，a2又得，而，b3再由aba2b，b3，得2a3a2（2）设，即，b3，故15数列的前n项和记为，已知，（1）证明数列是公比为2的等比数列。（2）求关于n的表达式。（3）请猜测是否存在自然数，对于所有的有恒成立，并证明。（1）证明由已知 （2） （3）猜测：存在 16 已知函数满足2+，对x0恒成立，在数列an、bn中，a1=1，b1=1，对任意xN+，。 （1）求函数解析式； （2）求数列an、bn的通项公式；（3）若对任意实数,总存在自然数k,当nk时,恒成立，求k的最小值。解：（1），联立解得 （2），是以1为首项、2为公差的等差数列， 又 ，相加有， （3）对任意实

11、数0，1时，恒成立，则恒成立，变形为，恒成立。设， ， 或，nN+故kmin=317.已知在（1，1）上有定义，=1，且满足对数列 （1）证明：在（1，1）上为奇函数； （2）求的表达式； （3）是否存在自然数m，使得对于任意成立？若存在，求出m的最小值.（1）当x=y=0时，；令x=0，得对任意的故在（1，1）上为奇函数. （2）满足 在（1，1）上为奇函数.；由 （3）假设存在自然数m，使得对于任意成立.即恒成立. 解得.存在自然数，使得对于任意成立.此时，m的最小值为16.数列练习题（2）1.已知函数，数列满足（1）求数列的通项公式；（2）令，求及；（3）令若对一切成立，求最小正整数。解

12、：（1） 是以为公差的等差数列又（2）（3）当时，又 又对一切成立，即对一切成立，又单调递增，所以 最小正整数为2.在数列中，已知，（1）证明数列为等比数列，并求数列的通项公式；（2）求证：，解：（1）注意到，所以原式整理得：由，得对，从而由，两边取倒数得：，即 ，数列是首项为，公比为的等比数列 . 故数列的通项公式是.（2）证法1：， 当时，+.证法2：， 当时， .3设数列的前项和为，已知（）证明：当时，是等比数列；（）求的通项公式解：由题意知，且； 两式相减得 即 （）当时，由知，于是 又，所以是首项为1，公比为2的等比数列。（）当时，由（）知，即 当时，由由得因此得4数列an中，a18

13、，a42且满足an22an1an nN（1）求数列an的通项公式；（2）设bn ( nN)，Tnb1b2bn( nN)，是否存在最大的整数m，使得对任意nN，均有Tn成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由。解 ：（1）由an22an1anÞan2an1an1an可知an成等差数列，d2 an102n（2）由an102n0得n5 当n5时，Snn29n当n>5时，Snn29n40 故Sn （nN）（3）bn() Tn b1b2bn (1)()()()(1)=Tn1Tn2T1.要使Tn>总成立，需<T1恒成立，即m<8，（mZ）。故适合条件的m的最大值为7

14、。5.设数列的前n项和为，点均在函数的图上。 （）求数列的通项公式； （）设，是数列的n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m。解：（I）依题意得，即。当n2时，a;当n=1时，×-2×1-1-6×1-5所以。（II）由（I）得，故=。因此，使得成立的m必须满足，即m10,故满足要求的最小整数m为10。6.已知数列中，其前n项和为 满足（1）试求数列的通项公式（2）令是数列的前n项和，证明：（3）证明:对任意的，均存在，使得（2）中的成立解：（1）由得，即又， 故数列的通项公式为（2）（3）证明：由（2）可知若,则得,化简得，当，即当，取即可,综上可知,对任意的均

15、存在使得时（2）中的成立7.已知两个等差数列5，8，11，和3，7，11，都有100项，问它们有多少相同的项？并求所有相同项的和.分析一：两个等差数列的相同的项按原来的先后次序组成一个等差数列，且公差为原来两个公差的最小公倍数.解法一：设两个数列相同的项按原来的前后次序组成的新数列为an，则a1=11.数列5，8，11，与3，7，11，公差分别为3与4，an的公差d=3×4=12，an=12n1.又5，8，11，与3，7，11，的第100项分别是302与399，an=12n1302，即n25.5.又nN*，两个数列有25个相同的项.其和S25=11×25+×12=

16、3875.分析二：由条件可知两个等差数列的通项公式，可用不定方程的求解方法来求解.解法二：设5，8，11，与3，7，11，分别为an与bn，则an=3n+2，bn=4n1.设an中的第n项与bn中的第m项相同，即3n+2=4m1，n=m1.又m、nN*，设m=3r（rN*），得n=4r1.根据题意得 解得1r25（rN*）.从而有25个相同的项，且公差为12，其和S25=11×25+×12=3875.8.2002年底某县的绿化面积占全县总面积的40%，从2003年开始，计划每年将非绿化面积的8%绿化，由于修路和盖房等用地，原有绿化面积的2%被非绿化.（1）设该县的总面积为1

17、，2002年底绿化面积为a1=，经过n年后绿化的面积为an+1，试用an表示an+1；（2）求数列an的第n+1项an+1；（3）至少需要多少年的努力，才能使绿化率超过60%.（lg2=0.3010，lg3=0.4771）剖析：当年的绿化面积等于上年被非绿化后剩余面积加上新绿化面积.解：（1）设现有非绿化面积为b1，经过n年后非绿化面积为bn+1.于是a1+b1=1，an+bn=1.依题意，an+1是由两部分组成，一部分是原有的绿化面积an减去被非绿化部分an后剩余的面积an，另一部分是新绿化的面积bn，于是an+1=an+bn=an+（1an）=an+.（2）an+1=an+，an+1=（a

18、n）.数列an是公比为，首项a1=的等比数列.an+1=+（）（）n.（3）an+160%，+（）（）n，（）n，n（lg91）lg2，n6.5720.至少需要7年，绿化率才能超过60%.9. 由市场调查得知：某公司生产的一种产品，如果不作广告宣传且每件获利元，那么销售量为件；如果作广告宣传且每件售价不变，那么广告费用千元比广告费用（）千元时的销售量多件（）（1）试写出销售量与的函数关系式；（2）当时公司应作几千元广告，销售量为多少件时，才能使去掉广告费用后的获利最大？（1）设不做广告宣传销售量为，广告费用千元时的销售量为，依题意， 所以= （2），设获利为元，则有 ，当时，；当时，；即数列先

19、增后减，； 所以时，最大，此时即该厂家应做5千元的广告，销售量为7875件产品时，能使获利最大10.某城市年末汽车保有量为万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的，并且每年新增汽车数量相同。为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过万量，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？思路分析：如果设每年新增汽车数为万辆，则递推或归纳出各年汽车保有量的关系，即有。 从而。， 。下面要求的取值范围是在的前提下：当为递减函数（或常数），即，这时，符合题意；当时，递增，而，因而限定，得（万辆），这样二者求并集即可。要注意。11.等差数列的前n项和为Sn，且满足数列是公比为的等比数列，且满足（1）求数列，的通项公式；（2）记中的最大项。（1） 当当n=1时，