二重积分的概念与性质

1、关于二重积分的概念关于二重积分的概念与性质与性质1现在学习的是第1页，共41页2 重积分是定积分的推广和发展.其同定积分一样也是某种确定和式的极限,其基本思想是四步曲:分割、取近似、求和、取极限. 定积分的被积函数是一元函数,其积分区域是一个确定区间. 而二重、三重积分的被积函数是二元、三元函数,其积分域是一个平面有界闭区域和空间有界闭区域.重积分有其广泛的应用.序 言现在学习的是第2页，共41页3问题的提出二重积分的概念二重积分的性质double integral第一节 二重积分的概念与性质现在学习的是第3页，共41页4一、问题的提出定积分中会求平行截面面积为已知的 一般立体的体积如何求先从

2、曲顶柱体的体积开始.而曲顶柱体的体积的计算问题,一般立体的体积可分成一些比较简单的 回想立体的体积、旋转体的体积.曲顶柱体的体积.二重积分的一个模型.可作为现在学习的是第4页，共41页5),(yxfz 曲顶柱体体积=特点1曲顶柱体的体积D困难曲顶柱体0),( yxf),(yxfz 以xOy面上的闭区域D为底,D的边界曲线为准线而母线平行于z轴的柱面,侧面以顶是曲面且在D上连续).oyxz曲顶顶是曲的现在学习的是第5页，共41页6柱体体积 = 特点 分析曲边梯形面积是如何求以直代曲、 解决问题的思路、步骤与回忆思想是分割、平顶以不变代变.曲边梯形面积的求法类似取近似、求和、取极限. 底面积高现在

3、学习的是第6页，共41页7D),(yxfz xzyO),(ii ),(iif i 现在学习的是第7页，共41页8(1) 分割相应地此曲顶柱体分为n个小曲顶柱体.(2) 取近似iii ),(第i个小曲顶柱体的体积的近似式 iVn ,21(用 表示第i个子域的面积) .i 将域D任意分为n个子域在每个子域内任取一点ni, 3 , 2 , 1 iiif ),(现在学习的是第8页，共41页9(3) 求和 即得曲顶柱体体积的近似值: (4) 取极限)趋于零,iiniifV ),(lim10iiinif ),(1iiinifV ),(1求n个小平顶柱体体积之和令n个子域的直径中的最大值(记作上述和式的极限

4、即为曲顶柱体体积现在学习的是第9页，共41页102. 非均匀平面薄片的质量(1) 将薄片分割成n个小块，看作均匀薄片. iM(2) M(3) M(4)近似 任取小块 i 设有一平面薄片,DxOy面面上上的的闭闭区区域域占占有有),(),(yxyx 处处的的面面密密度度为为在在点点Dyx在在假定假定),( ,上连续上连续求平面薄片的质量M.iii ),(iinii ),(1 iinii ),(1 0lim xyO),(ii i 现在学习的是第10页，共41页11也表示它的面积,),(上的有界函数上的有界函数是有界闭区域是有界闭区域设设Dyxf,个小区域个小区域表示第表示第其中其中ii ),(ii

5、i 上任取一点上任取一点在每个在每个 二、二重积分的概念1. 二重积分的定义定义个小闭区域个小闭区域任意分成任意分成将闭区域将闭区域nD,21n 作乘积 iiif ),(), 2 , 1(ni 并作和 .),(1iiniif 现在学习的是第11页，共41页12,d),( Dyxf 这和式则称此零时,如果当各小闭区域的直径中的最大值 趋近于 的极限存在,iiniif ),(1极限为函数二重积分,上的上的在闭区域在闭区域Dyxf),(记为即iiniiDfyxf ),(limd),(10现在学习的是第12页，共41页13曲顶柱体体积,d),( DyxfV 它的面密度.d),( DyxM 曲顶 即在底

6、D上的二重积分,),(yxfz 平面薄片D的质量即0 ),(yx 在薄片D上的二重积分, 现在学习的是第13页，共41页14 2. 在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D, Dyxf d),(二重积分可写为注1.重积分中, 0d yxdd Dyxf),(则面积元素为Oxyyxddd现在学习的是第14页，共41页15中中iiniiDfyxyxf ),(limdd),(10(A) 最大小区间长;(B) 小区域最大面积;(C) 小区域直径;(D)最大小区域直径.D选择题).(是是 现在学习的是第15页，共41页162. 二重积分的存在定理 设f(x,y)是有界闭区域D上的连续函数 Dyxf

7、 d),(存在.连续函数一定可积注今后的讨论中,积分区域内总是连续的.或是分片连续函数时,则都假定被积函数在相应的现在学习的是第16页，共41页17(2)3. 二重积分的几何意义(3) (1)在D上的二重积分就等于二重积分是二重积分是而在其它的部分区域上是负的. 这些部分区域上的柱体体积的代数和.那末,),(yxf,0),(时时当当 yxf,0),(时时当当 yxf柱体体积的负值;柱体体积;在D上的若干部分区域上是正的,),(yxf当当现在学习的是第17页，共41页18例 设D为圆域222Ryx 二重积分 DyxR d222=解 222yxRz 上述积分等于 DyxR d222332R 由二重

8、积分的几何意义可知，是上半球面上半球体的体积：RyxzOD现在学习的是第18页，共41页19性质为常数, 则(二重积分与定积分有类似的性质)三、二重积分的性质 Dyxgyxf d),(),( 、设设 DDyxgyxf d),(d),(现在学习的是第19页，共41页20根据二重积分的几何意义,确定积分值,d)(22 Dyxb0 ab222ayxD 为为其其中中ba2 332a 现在学习的是第20页，共41页21以1为高的 性质2 将区域D分为两个子域 Dyxf d),(性质3 若 为D的面积)(21DDD oxyD1D2 注 D d既可看成是以D为底,柱体体积. 对积分区域的可加性质.D1与D2

9、除分界线外无公共点.D 1d),(Dyxf 2d),(Dyxf 21,DD D d1 D d又可看成是D的面积.现在学习的是第21页，共41页22),(yxf若若在有界闭区域D1上可积,且,21DD 则必有.dd),(dd),(21 DDyxyxfyxyxf现在学习的是第22页，共41页23 Dyxf d),(特殊地性质4(比较性质),(),(yxgyxf 设 ,),(Dyx 则 Dyxg d),( Dyxf d),( Dyxf d),( 现在学习的是第23页，共41页24例 41222222ddsinyxyxyxyx 的值 ( ).(A) 为正(B) 为负(C) 等于0(D) 不能确定为负B

10、现在学习的是第24页，共41页25选择题 比较与与 d)(21 DyxI, 1)1()2(:22 yxD其其中中(D) 无法比较.oxy 1 12C(2,1)性质4(比较性质).)()(32yxyx d)(32 DyxI的大小,则( ).)(21IIA .)(21IIB .)(21IIC 1 yx,),(Dyx , 1 yx现在学习的是第25页，共41页26220yx 0)ln(22 yx解例判断的正负号. 1|22dd)ln(yxryxyx| 1rxy当时 2|)|(|yx 1 故)ln(22yx 0 1|22dd)ln(yxryxyx于是0 又当,1|时时 yx现在学习的是第26页，共41

11、页27 DMyxfm d),(几何意义以m为高和以M为高的两个证 D d再用性质1和性质3, 性质5(估值性质)则,),(Myxfm 设设为D的面积,Myxfm ),(,),( , 0),(Dyxyxf 设设则曲顶柱体的体积介于以D为底,平顶柱体体积之间.证毕. D d D d现在学习的是第27页，共41页2822yxe d)(22 Dyxe222d)(aDyxeabeab 解估值性质 DMyxfm d),(区域D的面积 ab 在D上220yx 例不作计算,d)(22的值的值估计估计 DyxeI).0( , 1:2222abbyaxD 是是椭椭圆圆闭闭区区域域其其中中2a 2ae 0e 12a

12、e mM现在学习的是第28页，共41页29性质6(二重积分中值定理),( Dyxf d),(体积等于),( f以以 显然 DMyxfm d),(几何意义证在闭区域在闭区域设设),(yxfD上连续,为D的面积,则在D上至少存在一点使得 ),(f,),( , 0),(Dyxyxf 设设则曲顶柱体以D为底 为高的平顶柱体体积.将性质5中不等式各除以 DMyxfm d),(1. 0 , 有现在学习的是第29页，共41页30 DMyxfm d),(1的最大值M与最小值m之间的. Dyxf d),(1由闭区域上连续函数的介值定理. Dyxf d),(1两端各乘以 ),( 点的值证毕.即是说, 确定的数值是

13、介于函数),(yxf在D上至少存在一点使得函数在该),( f 与这个确定的数值相等,即, 现在学习的是第30页，共41页31选择题222 yx).(d),(1lim22220是是极限极限 yxyxf(A)(B)(C) (D)提示:B是有界闭区域D:),(yxf设设上的连续函数,不存在.).0 , 0(f).1 , 1(f).0 , 1(f利用积分中值定理.现在学习的是第31页，共41页32利用积分中值定理,),(lim0 f 解即得: 222d),(1lim20 yxyxf求求 222222d),(d),( yxyxfyxf222 yx),( 222d),(1lim20 yxyxf).0 ,

14、0(f ,0时时当当 ),( 点点由函数的连续性知,),(2 f显然,).0 , 0(其中点是圆域内的一点. ),(d),(fyxfD 现在学习的是第32页，共41页33 补充在分析问题和算题时常用的设区域D关于x轴对称,如果函数 f(x, y)关于坐标y为偶函数. Dyxf d),(oxyD1性质7）即即),(),(yxfyxf 则D1为D在x轴上方的部分,对称性质 1d),(2Dyxf 坐标y为奇函数0d),( Dyxf ),(),(yxfyxf 即即则设区域D关于x轴对称,如果函数 f (x, y)关于现在学习的是第33页，共41页34这个性质的几何意义如图:OxyzOxyz 区域D关于

15、x轴对称f(x,y)关于坐标y为偶函数 区域D关于x轴对称f(x,y)关于坐标y为奇函数现在学习的是第34页，共41页35 Dyxf d),(如果函数 f(x,y)关于坐标x为奇函数0d),( Dyxf oxyD1如果函数 f(x,y)关于坐标x则,),(),(）即即yxfyxf 为偶函数,),(),(）即即yxfyxf 则类似地,设区域D关于y轴对称,且D1为D在Y轴右边的部分, 1d),(2Dyxf 现在学习的是第35页，共41页36设D为圆域(如图) d2Dy d212 Dy d3Dy0 d2Dx d222 Dx d3Dx0D1为上半圆域D2为右半圆域yxOyxO现在学习的是第36页，共41页37 今后在计算重积分利用对称性简化计算时, 注意被积函数的奇偶性. 积分区域的对称性,要特别注意考虑两方面:现在学习的是第37页，共41页38二重积分的定义二重积分的性质二重积分的几何意义(曲顶柱体的体积)(四步:分割、取近似