2022年(自己整理)圆锥曲线常考题型总结——配有大题和练习精编版

1、精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -最新资料举荐圆锥曲线大综合第一部分圆锥曲线常考题型和热点问题一常考题型题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系题型二：弦的垂直平分线问题题型三：动弦过定点问题题型四：过已知曲线上定点的弦的问题题型五：共线向量问题题型六：面积问题题型七：弦或弦长为定值的问题题型八：角度问题题型九：四点共线问题题型十：范畴为题（本质是函数问题）题型十一： 存在性问题 （存在点， 存在直线ykxm ，存在实数， 三角形 （等边、 等腰、直角），四边形（矩形，菱形、正方形），圆 ）二热点问题1. 定义与轨迹方程问题2. 交点与中点弦问题3.

2、 弦长及面积问题4. 对称问题5. 范畴问题6. 存在性问题7. 最值问题8. 定值，定点，定直线问题其次部分学问储备一与一元二次方程ax2bxc0a0 相关的学问（三个“二次”问题）21. 判别式：b 24ac2. 韦达定理：如一元二次方程bcaxbxc0a0 有两个不等的实数根x1, x2 ，就x1x2， x1x2aa3. 求根公式：如一元二次方程ax2bxc0a0 有两个不等的实数根x , x，就12x1, 2bb22a4 ac二与直线相关的学问1. 直线方程的五种形式：点斜式，斜截式，截距式，两点式，一般式1精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 1 页，共 14

3、 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -最新资料举荐2. 与直线相关的重要内容：倾斜角与斜率：ytan，0, ；点到直线的距离公式：dAx0By0C （一般式） 或 dkx0y0b（斜截式）A 2B 212k 23. 弦长公式：直线ykxb 上两点A x1 , y1, B x2 , y2 间的距离：AB1k 2 xx1k 2 xx 24 x x 或 AB11yy12121 2k 2124. 两直线l1 : y1k1x1b1 ,l2 : y2k2 x2b2 的位置关系：l1l2k1k21 l1 / / l2k1k2且b

4、1b25. 中点坐标公式：已知两点A x1 , y1 , B x2, y2，如点Mx,y 线段AB 的中点，就xx12x1 , yy1y2 2三圆锥曲线的重要学问考纲要求：对它们的定义、几何图形、标准方程及简洁性质，文理要求有所不同；文科：把握椭圆，明白双曲线；理科：把握椭圆及抛物线，明白双曲线1. 圆锥曲线的定义及几何图形：椭圆、双曲线及抛物线的定义及几何性质；2. 圆锥曲线的标准方程：椭圆的标准方程双曲线的标准方程抛物线的标准方程3. 圆锥曲线的基本性质：特殊是离心率，参数a,b, c 三者的关系，p 的几何意义等4. 圆锥曲线的其他学问：通径：椭圆2b2 a，双曲线2b2 a，抛物线 2

5、 p焦点三角形的面积：p 在椭圆上时S F1PF2b2tan2p 在双曲线上时四常结合其他学问进行综合考查Sb2 / tanF1PF221 圆的相关学问：两种方程，特殊是直线与圆，两圆的位置关系2 导数的相关学问：求导公式及运算法就，特殊是与切线方程相关的学问3 向量的相关学问：向量的数量积的定义及坐标运算，两向量的平行与垂直的判定条件等4 三角函数的相关学问：各类公式及图像与性质5 不等式的相关学问：不等式的基本性质，不等式的证明方法，均值定理等五不同类型的大题（ 1）圆锥曲线与圆例 1.（本小题共14 分）2精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 2 页，共 14 页

6、 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -最新资料举荐已知双曲线2C : xa 22y1a b 20, b0 的离心率为3 ，右准线方程为x33（）求双曲线C 的方程；（）设直线l 是圆O : x2y22 上动点P x , y x y0 处的切线， l与双曲线 C0000交于不同的两点A, B ，证明AOB 的大小为定值【解法 1】此题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础学问，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算才能a23（）由题意，得c ca3，解得 a31,c3 ，y2 b 2c2a 2

7、2 ，所求双曲线C 的方程为x21 .2（）点Px , yx y0在圆 x2y22 上，0000圆在点Px , y处的切线方程为yyx0x x，y00000化简得x0 xy0 y2 .2x2y122222由2及 x0y02 得x0 xy0 y23x04x4 x0 x82 x00 ，切线l 与双曲线C 交于不同的两点A、B，且 022 ，x0 3x240 ，且16x24 3 x2482 x20 ，0000设 A、B 两点的坐标分别为x1, y1, x2 , y2，就 xx4x0, x x82 x20，4123x21 23x2400 cosAOBOA OB，且OAOBOAOBx1 x2y1 y2x

8、1 x21y22x0 x120x0 x2，3精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 3 页，共 14 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -最新资料举荐12x x42 xxxx x xx21 22001201 222x282x282x0148x0003x242x23x243x2400002282 x082x00 .3x243x2400AOB 的大小为 90 .【解法 2】（）同解法1.（） 点 Px, yx y0在圆 x2y22 上，圆在点P x , y处的切线方0000002xx2y1程为 y

9、y0xx，化简得x xy y2 . 由及 x2y22y00000200x0 xy0 y2得3 x24x24x x82 x200003x24y28 y x82 x20x000切线l 与双曲线C 交于不同的两点A、B，且 022 ，20 3x040 ，设 A、B 两点的坐标分别为x1 , y1,x2, y2，0就 x x82x2, y y2x280，1 23x24123x2400 OA OBx1x2y1y20 ，AOB 的大小为90 .22222（ x0y02 且 x0 y00 ， 0x02,0y02 ，从而当 3x040 时，方程和方程的判别式均大于零）.练习 1：已知点A 是椭圆22C : x

10、y1 t0的左顶点， 直线l : xmy1mR 与椭9t圆 C 相交于E, F两点，与x 轴相交于点B . 且当 m0 时，AEF16的面积为.3（）求椭圆C 的方程；4精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 4 页，共 14 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -最新资料举荐（）设直线AE ， AF与直线 x3 分别交于M ， N两点，试判定以MN 为直径的圆是否经过点B ？并请说明理由.（ 2）圆锥曲线与图形外形问题2例 2.1 已知 A， B， C 是椭圆 W： x4 y2 1 上的三个点

11、， O 是坐标原点1当点 B 是 W 的右顶点，且四边形OABC 为菱形时，求此菱形的面积；2当点 B 不是 W 的顶点时，判定四边形OABC 是否可能为菱形，并说明理由x22解： 1 椭圆 W： y 1 的右顶点 B 的坐标为 2,042由于四边形OABC为菱形，所以AC与 OB相互垂直平分所以可设 A1 ，m ，代入椭圆方程得14m1，即 m3 .2所以菱形 OABC的面积是12| OB| ·|AC| 12×2×2| m| 3 .2 假设四边形OABC为菱形由于点 B 不是 W的顶点，且直线 AC不过原点， 所以可设 AC的方程为y kx m k0，m0 x2

12、4 y24,222由y kxm消 y 并整理得 1 4k x 8kmx 4m 4 0.设 A x1，y1 ， C x2，y2 ，就 x1x24km， y1y2kx1x2mm.214k 22214k2所以 AC的中点为 M4km14k 2m,14k2.由于 M为 AC和 OB的交点，所以直线OB的斜率为1.4k由于 k·14k 1，所以 AC与 OB不垂直所以 OABC不是菱形，与假设冲突所以当点 B 不是 W的顶点时，四边形OABC不行能是菱形x2y2练习 1： 已知椭圆 C ：a221abb0 过点 2 ， 1，且以椭圆短轴的两个端点和一个焦点为顶点的三角形是等腰直角三角形. 求椭

13、圆的标准方程； 设 M （ x, y 是椭圆 C 上的动点，P（ p,0小值时点 M 的坐标 .是 X 轴上的定点，求MP 的最小值及取最5精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 5 页，共 14 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -最新资料举荐（ 3）圆锥曲线与直线问题例 3.1 已知椭圆C : x22y24 ，（1）求椭圆 C 的离心率 .（2）设 O 为原点， 如点 A 在椭圆 C 上，点 B 在直线 y2 上，且 OAOB，求直线 AB与圆 x2y22 的位置关系，并证明你的结论.解析

14、：椭圆的标准方程为：22xy1 ，42a2 ， b2就 c2 ，离心率 ec2 ;a22直线 AB 与圆 x2y2相切 . 证明如下：法一：设点 AB 的坐标分别为x0y0t2 ，其中x00 .由于 OA OB ，所以2OA OB0 ，即tx02 y00 ，解得 t2 y0 .x0当 x0t 时， y0t，代入椭圆C 的方程，得t2 , 2故直线 AB 的方程为x2 . 圆心 O 到直线 AB 的距离 d2 .2此时直线AB 与圆 x2y2相切 .当 x0t 时，直线AB 的方程为y2y0 x02xt，t即y02 xx0ty2 x0ty 00 .圆心 O 到直线 AB 的距离d2 x0.ty0

15、22又 x22 y24 ， ty022 y0，故x0t002 y 2x04x22x0d00x0x02 .4y 2x48x 2162yx2040000x 22x 200此时直线AB 与圆 x 2y22 相切 .法二：由题意知，直线OA 的斜率存在，设为k ，就直线 OA 的方程为ykx ， OA OB ，6精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 6 页，共 14 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -最新资料举荐当 k0 时， A20 ，易知 B 02，此时直线AB 的方程为xy2 或xy2 ，原

16、点到直线AB 的距离为2 ，此时直线AB 与圆 x2y 22 相切；当 k0 时，直线 OB 的方程为y1 x ， k222222k22kykx联立得点 A 的坐标12k12k或1 2k12k；x22 y24y1联立ky2x得点 B 的坐标2k2，由点 A 的坐标的对称性知，无妨取点A2 2k进行运算，于是直线AB 的方程为：y22k212k212k22x12k22kk2x12k22k，22k12k1k12 k即 k12k 2x1k12k 2y2k 220 ，2 k22d2原点到直线AB 的距离22,k12k 21k12k 22此时直线 AB 与圆 x2相切；y2综上知，直线AB 肯定与圆x2

17、y22 相切 .法三：当 k0 时， A20 ，易知 B 02，此时 OA2OB2 ，AB222222 ，原点到直线AB 的距离 dOAOB22AB222 ， 、此时直线AB 与圆 x 2y22 相切；当 k0 时，直线 OB 的方程为y1 x ， k设 A x1y1B x2y 2，就 OA1k2 x1， OB12ky22 1k，72精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 7 页，共 14 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -最新资料举荐或；22k22kykx联立22得点 A 的坐标12k21

18、2k 212k212k2x2 y4A于是 OA1 k2 x2 1k2， OB21k2 ,12k22224 1kAB4 1k22 1k，212k212k22 1k2221kOAOB所以 dAB12k 2222 1k2 , 直线 AB 与圆 x2相切；y212k 222综上知，直线AB 肯定与圆 xy2 相切x2y2练习 1：已知椭圆C : a2b21ab0 过点 0,1 ，且长轴长是焦距的2 倍. 过椭圆左焦点F 的直线交椭圆C 于 A，B 两点， O 为坐标原点 .（）求椭圆C 的标准方程；（）如直线 AB 垂直于 x 轴，判定点 O 与以线段AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由；（）如点O

19、 在以线段AB 为直径的圆内，求直线AB 的斜率 k 的取值范畴 .（ 4）圆锥曲线定值与证明问题例 4.1 已知椭圆 C 的中心在原点O ，焦点在 x 轴上，离心率为32，且椭圆 C 上的点到两个焦点的距离之和为4 （）求椭圆C 的方程；（）设A 为椭圆 C 的左顶点，过点A 的直线 l 与椭圆交于点M ，与 y 轴交于点N ，过原点与 l 平行的直线与椭圆交于点P 证明：| AM| | AN|2 |OP |2 x2y 2解：（）设椭圆C 的标准方程为221ab ab0 ，由题意知a2b2c3 ,a22a4,c2 ,解得 a2 ， b18精选名师 优秀名师 - - - - - - - - -

20、 -第 8 页，共 14 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -最新资料举荐所以椭圆 C 的标准方程为x22y415 分（）设直线AM 的方程为：yk x2 ，就N 0,2 k yk x2，2222由22得 1+4k x16kx16k40 （ * ）x4 y4,设 A2,0 ， M x1 , y128k 2，就2 ， x1 是方程（ * ）的两个根，所以 x12 14k28k 24k所以 M 14k 2,14k2 28k228k 24k1616k 241k 2| AM|214k 2214k 214k 2 214k 2

21、| AN|44k 24121k 2 k 221k281k 2 | AM| AN |14k214k 2设直线 OP 的方程为：ykx ykx，由22得 14k2 x240 x4 y4,44k 2设 P x , y ，就 x 2， y 200014k 2014k 2所以 | OP |244k 214k 2， 2 | OP |288k 214k22所 以 | AM | | AN |2 | OP | X 2y23例 4.2: 已知椭圆C：0）， OAB的面积为1.221ab（ a>b>0）的离心率为，A（ a,0 ）,B0,b，O（ 0，2（I ）求椭圆C 的方程；I I设 P的椭圆 C上

22、一点，直线PA 与 Y 轴交于点M，直线 PB 与 x 轴交于点N；求证：ANBM为定值；9精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 9 页，共 14 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -最新资料举荐2练习 1：已知椭圆 C : xa2y2b 21ab0 的离心率为6, 椭圆短轴的一个端点与两个352焦点构成的三角形的面积为.3 求椭圆C 的方程 ; 已知动直线yk x1 与椭圆C 相交于A 、B 两点.如线段AB 中点的横坐标1为, 求斜率2k 的值; 如点M 7 ,03, 求证 :MAMB为

23、定值 .练习 2：已知抛物线 C : y 2 2 px （ p 0），其焦点为 F， O为坐标原点，直线AB （不垂直于x 轴）过点 F 且抛物线 C交于A ， B两点，直线 OA 与OB 的斜率之积为p （1）求抛物线 C 的方程；（2）如 M为线段 AB的中点，射线 OM交抛物线 C于点D，求证：| OD | 2| OM |10精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 10 页，共 14 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -最新资料举荐练习 3： 动点P x, y到定点F 1,0的距离与它到

24、定直线l : x4 的距离之比为1 .2 求动点 P 的轨迹 C 的方程；（）已知定点A2,0 ，B2,0，动点Q 4, t 在直线 l 上，作直线AQ 与轨迹 C 的另一个交点为M ,作直线 BQ 与轨迹 C 的另一个交点为N ，证明： M , N , F 三点共线 .（ 5）圆锥曲线最值问题x2y23例 5： 已知椭圆| AB |2 .C :221abab0 的离心率为，椭圆 C 与 y轴交于 A，B 两点，2（）求椭圆C 的方程；（）设点 P 是椭圆 C 上的一个动点，且点 P 在 y 轴的右侧 . 直线 PA， PB 与直线 x4 分别相交于 M ， N两点 . 如以 MN 为直径的圆

25、与x 轴交于两点E， F，求点 P 横坐标的取值范畴及 | EF | 的最大值 .解：（）由题意可得，b1，1 分ec3a2，2 分a213得，3 分a24解 a 24 ，4 分2椭圆 C 的标准方程为x4y21.5 分（）设P x0 , y0 0x02， A0,1 ， B 0,1 ，所以 kPAy01，直线 PA 的方程为 yx0y01 xx01 ，6 分同理：直线PB 的方程为yy01x1 ，x0直线 PA 与直线 x4 的交点为M 4,4 y01x01 ，7 分11精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 11 页，共 14 页 - - - - - - - - - -

26、精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -最新资料举荐直线 PB 与直线 x4 的交点为N 4,4 y01x01 ，线段 MN 的中点4,4 y0 x0，8 分所以圆的方程为 x4 2 y4 y0 2x014x0 2 ，9 分令 y0，就 x4 216 y20x201x0 24，10 分x2y0由于0421 ，所以211y20x04，11 分所以 x42850 ，x0由于这个圆与x 轴相交 , 该方程有两个不同的实数解，所以58 x00 ，解得 x0 8 , 25.12 分设交点坐标 x1 ,0, x2,0 ，就| x1x2|2588（x05x02 ）所以该圆被

27、x 轴截得的弦长为最大值为2.14 分x2y26练习1：已知椭圆 C：221 ab ab的一个焦点为F2，0，离心率为；过焦3点F 的直线 l 与椭圆 C交于A，B两点，线段AB中点为 D，O为坐标原点，过 O，D的直线交椭圆于 M ，N 两点；（1）求椭圆 C 的方程；（2）求四边形 AMBN 面积的最大值；练习 2： 已知椭圆 C ： mx23my21m0 的长轴长为26 ， O 为坐标原点 .（）求椭圆C 的方程和离心率；（）设点A3,0，动点 B 在 y 轴上，动点P 在椭圆 C 上，且 P 在 y 轴的右侧，如| BA | | BP | ，求四边形OPAB 面积的最小值 .12精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 12 页，共 14 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -最新资料举荐（ 6）圆锥曲线存在性问题2例 6. 已知椭圆 C ：xa 22y1 ab b20 的离心率为2 ，点 P20,1 和点A m, nm0都在椭圆 C 上，直线 PA 交 x 轴于点 M （）求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标（用m n 表示）；（）设 O 为原点