两个极限的简单证明

1、页眉两个重要的极限的证明引言：两个重要极限是高等数学极限理论中的经典内容，第一个重要极限lim sin x1的证明，现行教材中x 0xsin x通常采用在单位圆中利用面积关系构造不等式cos x1，再用夹逼原理证明得到结论。用极限理xlim sin xlim sin x论计算圆或扇形面积都涉及到1的结论运用，或者运洛比达法则证明极限1 ，要利x0xx 0x用导数公式sin xcos x，而这个公式恰是利用 lim sin x1，因此，这些方法都有循环证明的嫌疑；x 0x1x第二个主要极限 lime 的证明，通常作法是，先考虑x 取正整数n 而趋于的情形，设xx 0x1nxnx，用牛顿二项式证明

2、xn 单调有界，再用单调有界数列必有极限的准则，证明数列xn 的n极限存在，方法比较复杂，特别是有界性的证明需要一定的技巧，所以本文只对两个重要极限作一个简单的证明。1 证明： lim sin x1x0x证明： 如图（ a）作单位圆。当 0<x< 时，显然有OAD面积 <扇形 OAD2面积 < OAB面积。B即 111 tan x ， sinx<x<x1Dsin xxtanx 。除以 sinx ，得到 1222sin xcos x或 1sin xcos x 。（ 1） 由偶函数性质，上式对x 0时也成立。OxAx2C图（ a）故（ 1）式对一切满足不等式0

3、| x |的 x 都成立。2ylim sin x由 lim cos x=1 及函数极限的迫敛性定理立刻可得1 。x0x 0x函数 f(x)=sin x 的图象如图（ b）所示。Oxx2 证明： lim(11) n 存在。图（ b）nn证明： 先建立一个不等式，设b>a>0，于是对任一自然数n 有b n 1an1(n1)bn 或 b n 1a n 1(n1)bn (ba) ，整理后得不等式an 1bn ( n1)a nb 。 （1）ba令 a=1+1， b=1+ 1，将它们代入（ 1）。由于 (n1)anb(n 1)(11)n(11)1 ，n1nn1n1/31页眉故有 (11) n

4、1(11) n ，这就是说 (11)n 为递增数列。n1nn再令 a=1，b=1+ 1代入（1）。由于 ( n1)anb(n 1) n(11)1，故有1 (11)n 1 ，2(11)n 。2n2n22n22n不等式两端平方后有412nn 成立。联系数列的单调性， 由此又推得数列(11n(1) ，它对一切自然数n) 2n是有界的。于是由单调有界定理知道极限lim(11)n 是存在的。nn3 证明： lim(11 ) x e 。x x证明： 所求证的极限等价于同时成立下述两个极限：lim (11x（ 1）lim (11 xe（ 2）)e)xxxx现在先应用2 中数列极限 lim(11)ne ，证明

5、（ 1）式成立。nn设 nx <n+1，则有 1111111及(1n1 )n(11 ) x(11 )n1 ，（3）nxn1xn作定义在 1 ， +) 上的阶梯函数。1n ，nx<n+1，1 n 1，n。f ( x)(1)g( x)(1)x <n+1n1n1 x1(11) n 1由（ 3）有 f(x)<(1g (x) ，x 1 ，) 。由于 limf ( x)lim(1)nlimn1e)1xxnn1n1n1lim g ( x)lim(11) n 1lim(11) n (11)e ，根据迫敛性定理便得（1）式。xnnnnn现在证明（2）式。为此作代换x=-y ，则 (11 x(11)y1)y(11y11)y(1yy)(1)x11y 1因为当 x - 时，有 y-1+，故上式右端以 e 为极限，这就证得lim (11) xe 。xx11 ，则 x和 a0是等价的，以后还常常用到e 的另一种极限形式lim(1a) ae ，（ 4）因为， 令 aa 0x1) x1所以， lim(1lim(1a )a 。xxa 0结语 :两个重要极限是极限理论中的重要内容，两个重要极限的证明是学习的重点，极限不及时基本的数学基础，而且是数学分析的基石