反比例函数与实际问题

1、反比例函数与实际问题教学设计说明:通过对本节课的学习,学生将进一步理解掌握反比例函数的图像及其性质、运用其解决实际问题.在本节课的活动1中,通过问题引入学生熟悉的反比例函数的概念和性质及图像,进行知识的铺垫与运用作好准备.在活动中通过创设实际问题让学生得到在运用反比例函数解决实际问题的过程中,进一步体会数学建模思想,培养学生的数学应用意识,在“实际问题一建立模型一拓展应用的过程中,开展学生分析问题、解决问题的水平(1)教材分析在上一节,教材研究了反比例函数的概念、图像和性质.这一节也是本章的重要内容,重点介绍反比例函数在现实世界中无处不在,以及如何应用反比例函数的知识解决现实世界中的实际问题.

2、通过4个生活中的常见问题设计,更好地表达反比例函数概念的实际背景,反映数学与实际的关系,即数学理论来源于实际又反过来效劳实际(2)学情分析学生的知识技能根底：学生在八年级上册已学过正比例函数、一次函数、体会感受到了他们的应用,经历过由具体问题抽象出一次函数的过程,具备了学习函数的根本技能.学生活动经验根底：在相关知识的学习过程中,学生已经经历了很多合作学习的过程,具有了一定的合作学习的经验和数学思考,具备了一定的合作与交流的水平教学目标1 .利用反比例函数解决实际问题的关键是建立反比例函数的模型2 .自变量的值求出函数值,或函数值求出自变量的值3 .利用待定系数法确定k的值,进一步得到函数解析

3、式.4 .能够结合反比例函数的图像和性质解题.5 .反比例函数在其他学科中的应用.教学重点、难点重点：运用反比例函数的概念和性质解决实际问题.难点：如何把实际问题转化为数学问题,利用反比例函数的知识解决实际问题.关键：进一步体会数学建模思想,培养学生的数学应用意识课时设计4课时.教学策略本节课主要通过创设问题情境,引导学生合作交流、讨论探究为主的教学方法、以练习法为辅的教学方法.教学过程一、复习引入1 .请同学们回忆一下反比例函数的意义、图像及性质2 .y是x的反比例函数,当x=3时,y=-8,(1) 写出y与x之间的函数关系式；(2) 求当x=8时y的值；32.(3) 求当y=一时x的值.3

4、【设计意图】教师提出问题,学生逐一解答,然后教师点评教师需注意：1、学生掌握的反比例函数的知识情况；2、学生对问题2的解答如何,同时是否明白两个变量之间依存关系温故而知新,由实际例子入手,设置情境问题,稳固了反比例函数的意义、图像及其性质,我们应当学以致用,今天我们开始研究如何利用反比例函数来解决实际问题,激发学生的求知欲望.二、探索新知探究活动一：例1市煤气公司要在地下修建一个容积为104m3的圆柱形煤气储存室.(1)储存室的底面积S(单位：m)与其深度d(单位：m)有怎样的函数关系？2(2)公司决定把储存室的底面积S定为500m,施工队施工时应向下掘进多深？(3)当施工队按(2)中的方案掘

5、进到地下15m时碰上了坚硬的岩石.为了节约建设资金,公司临时改变方案,把储存室的深改为15m,相应的储存室的底面积应改为多少才能满足要求(保存两个有效数字)？104老师点评：圆枉体的体积公式：体积=底面积x局,可以求得s=这一反比例函数d104104当s一定时,代入s=7可求得d,同理当d一定时,代入s=二1可以求得s.这样就可以解决问题了.【设计意图】通过上述情景分析,让学生小组合作,得出解析式.在学生得出解析式后,充清楚白两个变量之间依存关系,自变量的值求出函数值,或函数值求出自变量的值创设学生熟悉的生活情境,由学生自主探索反比例函数的知识,教师深入学生当中去听取学生的思路,对有困难的学生

6、给予适当的指导,学生讨论后,发表见解,教师点评讲解然后学生完成解题过程.表达出一种“问题情景-数学卞II型-概念归纳的模式,有方案的逐步展示知识的产生过程.稳固练习：一场暴雨过后,一洼地存雨水20立方米,如果将雨水全部排空需t分钟,每分钟排水量为a立方米；(1) 能否把t表示成a的函数,是什么函数？(2) 当每分钟排水量为3立方米时,排水为多少分钟？(3) 当排水时间为4.5分钟时,每分钟排水量是多少立方米？20,一2040答案：(1)t=,是反比例函数.(2),(3).学生带着对例1的掌握情况去完成此题,教师组组织学生进行小组内订正和评析探究活动二例2.码头工人以每天30吨的速度往一艘轮船上

7、装卸货物,把轮船装卸完毕恰好用了8天时间.(1)轮船到达目的地后开始卸货,卸货的速度v(单位为：吨/天)与卸货的时间t(单位：天)有怎样的函数关系？(2)由于遇到紧急情况,船上的货物必须在不超过5日内卸载完毕,那么平均每天至少要卸多少吨货物？教师分析：(1)由题意知轮船上的货物总量为：30X8=240,这是方程中的常量,所以240根据v与t的关系可以得到vt=240,即v=-,所以v是t的反比例函数,与例1不同的是常数k是不知道的,所以要求出常数k.240.2根据反比例函数v=-,当t=5时得v=48,即每天至少要卸载48吨.题目中的“至少为不等关系,为了简化问题,就按等式去解决师生活动：学生

8、先思考,然后将自己的看法表述出来,教师进行归纳分析,然后学生再讨论例2,完成解题过程,体会两例的不同解答过程及把不等关系转化为等式解答的简便性【设计意图】进一步利用反比例函数的知识解决实际问题.探究活动三一提出问题1.如何翻开一个未开封的奶粉桶？2 .都知道开啤酒的开瓶器,它蕴含了什么科学道理,说说看？3 .同样的一块大石头,力量不同的人都可以撬起来,是真的吗？二解决问题不管是开启奶粉盖,还是我们使用的开并S器都蕴含了杠杆这一物理模型.使用起来,有时费力,有时很容易,它其中还有一个“杠杆定律：假设两个物体与支点的距离反比与其重量,那么杠杆平衡,通俗来说：阻力X阻力臂=动力X动力臂例3小伟欲用撬

9、棍撬动一块大石头,阻力和阻力臂不变,分别为1200牛顿和0.5米.1动力F与动力臂L有怎样的函数关系？2假设想使动力F不超过1中所用的一半,那么动力臂至少要加长多少？分析：1首先求出常数k的值,即阻力和阻力臂的乘积600,那么有F=变0,即动力FL与动力臂L成反比例函数.撬动大石头至少需要多大的力,从外表上看是不等关系,但是用相等的关系解决更方便.2当F=400X1=200时,代入F6求出l=3,要明白F与2LL的反比例关系.因此想用力不超过400牛的一半,那么动力臂至少要加长31.5米.思考：1用反比例函数的知识解释,我们在使用撬棍时,为什么动力臂越长就越省力？2希腊科学家阿基米德发现“杠杆

10、定律后豪言壮志地说：给我一个支点,我能撬动这个地球.请同学们帮他计算一下：假定地球的质量的近似值是6X1025牛顿,假设阿基米德有500牛顿的力量,阻力臂为2000千米,计算多长的动力臂才能把地球撬动？26答案：动力臂=2.410.【设计意图】教师引导学生自主探索,多种途径寻找动力和动力臂存在的函数关系,利用待定系数法求出,在此根底上让学生进行总结反比例函数的性质应用.三、稳固练习几位小朋友要撬动挡在路上的一块大石头,石头的重量阻力和阻力臂不变,分别是1200牛顿和0.5米,设动力为F,动力臂为L,答复以下问题：1动力F与动力臂L之间有怎样的函数关系式？(2)假设几位小朋友的力量分别是200牛

11、顿、300牛顿、400牛顿,那么他们应中选取动力臂是多少的撬棍？答案：(1)F=晒；L(2)他们应中选取动力臂分别是3米、2米、1.5米.【设计意图】检查学生对反比例函数知识应用掌握情况,对此有更深刻的理解.探究活动四(一)提出问题1、一封闭电路中,电流I(A)与电阻R(的图像如图,答复下列问题：(1)写出电路中电流I(A)与电阻R(之间的函数关系式.(2)如果一个用电器的电阻为5,其准许通过的最大电流为1A,那么这个用电器接在这个封闭电路中,会不会烧毁？说明理由2、想一想为什么收音机的音量、台灯的亮度及电风扇的转速可以调节？4.学生先独立思考,再小组交流讨论,最好教师点评补充,师生一起过渡到

12、例(二)例题讲解例题4一个用电器的电阻是可调节的,其范围是110220欧姆,电压是220伏,(1)输出功率P与电阻R有怎样的函数关系？(2)用电器输出功率的范围多大？分析：在讲解例4之前,教师要让学生明白：用电器的输出功率P(瓦)、两端的电压U(伏)2U及用电器的电阻R(欧姆)有如下关系：PR=U2这个关系式也可以写成：P=或RU2收音机的音量、台灯的亮度及电风扇的转速都是由这些用电器的输出功率决定的.当电压一定时,车出功率P与电阻R成反比例函数,也就是电阻R增大时,输出功率P减小；当电阻R减小时,输出功率P增大.通过改变电阻来改变输出功率,到达调节收音机的音量、台灯的亮度及电风扇的转速的目的

13、.(三)稳固拓展制作一种产品,需先将材料加热到达60c后,再进行操作.设该材料温度为y(C),从加热开始计算的时间为x(分钟).据了解,设该材料加热时,温度y与时间x完成一次函数关系；停止加热进行操作时,温度y与时间x成反比例关系(如下图).该材料在操作加工前的温度为15C,加热5分钟后温度到达60C.(心(1)分别求出将材料加热和停止加热进行操作时,y与x的函数关系式；60-飞(2)根据工艺要求,当材料的温度低于15c时,须停止操作,»A那么从开始加热到停止操作,共经历了多少时间？如：八.300势/：分析：(1)分段函数：当x<5时：y=9x+15,当x>5时：y=.却

14、'；x,加6卤*>钟；(2)当y=15时,代入y=300得x=20,所以从开始加热到停止操作共经历了20分钟.【答案】1将材料加热时的关系式为：y=9x+150<x<5,?停止加热进行操作时的关系式为y=300x>5;220分钟.x【设计意图】教师要注意不同层次的学生接受的情况,学生解答完此题后进行反思,理清解题思路,进一步稳固已学知识,并进行举一反三的练习探究活动五本节课你学到了什么知识？从中得到了什么启发？1、自变量的值求出函数值,或函数值求出自变量的值2、利用待定系数法确定k的值,进一步得到函数解析式.3、理解题目中表示“最多、“至少不等关系的词语,在这里

15、我们用相等的关系去解答4、利用反比例函数解决实际问题的关键是建立反比例函数的模型5、能够结合反比例函数的图像和性质解题.6、反比例函数在其他学科中的应用.【设计意图】教师引导学生归纳小结知识与技能,方法与思想,引导学生反思学习和解决问题的过程.三课后作业1.一水桶的下底面积是上盖面积的2倍,如果将其底朝下放在桌上,它对桌面的压强是600Pa,翻过来放,对桌面的压强是.2.电压=电流父电阻当电压为220伏时,通过电路的电流姆之间的函数关系为.220RA.I=220B,I=220RC.I=旦R220I安培与电路中电阻R欧D.220I=R3.某厂现有300吨煤,这些煤能烧的天数y与平均每天烧的吨数x

16、之间的函数关系式为.300A. y=(x>0)300B. y=(x>0)C.y=300x(x>0)D.y=300x(x>0)4 .某闭合电路中,电源的电压为定值,电流IA与电阻RC成反比例.如图表示的是该电路中电流I与电阻R之间的图像,那么用电阻R表示电流I的函数解析式为2A.I二一R6C. I=R3B.I二一R,6D. I=-一RAA)R(Q5 .如果变阻器两端电压不变,那么通过变阻器的电流y与电阻x的函数关系图像大致是ABCD6 .一个长方体的产品包装盒,其体积为100cm,它的长为ycm,宽为5cm,高为xcm.(1)写出长ycm与高xcm之间的函数关系式；(2)

17、当x=5cm时,求高y的值.7 .在压力不变的情况下,某物体承受的压强p(Pa)是它的受力面积S(m2)的反比例函数,其图像如下图.(1)求p与S之间的函数关系式；(2)求当S=0.5m2时,物体承受的压强p.8 .一司机驾驶汽车从甲地去乙地,以80千米/小时的平均速度用6小时到达目的地.(1)当他按原路匀速返回时,求汽车速度v(千米/小时)与时间t(小时)之间的函数关系式；(2)如果该司机匀速返回时,用了48小时,求返回时的速度.9 .某商场出售一批进价为2元的贺卡,在市场营销中发现此商品的日销售单价x(元)与日销售量y(个)之间有如下关系：日销售单价x(元)3456日销售量y(个)20151210(1)猜想并确定y与x之间的函数关系式；(2)设经营此贺卡的销售利润为W元,求出W与x之间的函数关系式.假设物价局规定此贺卡的售价最高不能超过10元/个,请你求出当日销售单价x定为多少时,才能获得最大