极坐标和参数方程知识点总结

1、精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 第一部分：坐标系与参数方程第一部分：坐标系与参数方程 【考纲知识梳理】 1平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点 P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换0,0,:yyxx的作用下,点yxP,对应到点yxP,称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换. 2.极坐标系的概念 (1)极坐标系 如图(1)所示,在平面内取一个定点O,叫做极点,自极点O引一条射线Ox,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系. 注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂

2、直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系. (2)极坐标 设M是平面内一点,极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为;以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角xOM叫做点 M 的极角,记为.有序数对,叫做点 M 的极坐标,记作 M,.一般地,不作特殊说明时,我们认为, 0可取任意实数.特别地,当点 M 在极点时,它的极坐标为R, 0。和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定20 , 0,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标,表示;同时,极坐标,表示的点也是唯一确定的. 3.极坐标和

3、直角坐标的互化 (1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图(2)所示: (2)互化公式:设 M 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是yx,极坐标是0,于是极坐标与直角坐标的互化公式如表: 点 M 直角坐标yx, 极坐标, 互化公式 sincosyx 0tan222xxyyx 在一般情况下,由tan确定角时,可根据点 M 所在的象限最小正角. 4.常见曲线的极坐标方程 精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 曲线 图形 极坐标方程 圆心在极点,半径为r的圆 20 r 圆心为0 , r,半径为r的圆 222r 圆心为2,r,半径

4、为r的圆 0sin2r 过极点,倾斜角为的直线 (1)RR或 (2) 00或 过点0 , a,与极轴垂直的直线 22cosa 过点2,a,与极轴平行的直线 0sina 注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即 ,2 ,都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少 有 一 个 能 满 足 极 坐 标 方 程 即 可 . 例 如 对 于 极 坐 标 方 程点4,4M可 以 表 示 为45,424,424,4MMM或或等多种形式,其中,只有4,4M的极坐标满足方程. 精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 二、参数方程 1.参数

5、方程的概念 一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标yx,都是某个变数t的函数 tgytfx,并且对于t的每一个允许值,由方程组所确定的点yxM,都在这条曲线上,那么方程就叫做这条曲线的参数方程,联系变数yx,的变数t叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程. 2.参数方程和普通方程的互化 (1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程. (2)如果知道变数yx,中的一个与参数t的关系,例如 tfx ,把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系 tgy ,那么 tgytfx就是曲线的参数

6、方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使yx,的取值范围保持一致. 注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。 3圆的参数 如图所示，设圆O的半径为r，点 M 从初始位置0M出发，按逆时针方向在圆O上作匀速圆周运动，设Myx,，则为参数sincosryrx。这就是圆心在原点O，半径为r的圆的参数方程，其中的几何意义是0OM转过的角度。圆心为ba,，半径为r的圆的普通方程是222rbyax， 它的参数方程为：为参数sincosrbyrax。 4椭圆的参数方程 以坐标原点O为中心，

7、焦点在x轴上的椭圆的标准方程为012222babyax其参数方程为为参数sincosbyax， 其 中 参 数称 为 离 心 角 ； 焦 点 在y轴 上 的 椭 圆 的 标 准 方 程 是012222babxay其参数方程为为参数sincosaybx其中参数仍为离心角， 通常规定参数的范围为2 , 0。 注：椭圆的参数方程中，参数的几何意义为椭圆上任一点的离心角，要把它和这一点的旋转角区分开精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 来，除了在四个顶点处，离心角和旋转角数值可相等外（即在 0 到2的范围内） ，在其他任何一点，两个角的数值都不相等。但当20时，相应地也有20，在其他象限内类似

8、。 5双曲线的参数方程 以坐标原点O为中心，焦点在x轴上的双曲线的标准议程为0, 012222babyax其参数方程为为参数tansecbyax，其中23,22 , 0且。 焦点在y轴上的双曲线的标准方程是0, 012222babxay其参数方程为为参数csccotaybx， 其中且2 . 0 以上参数都是双曲线上任意一点的离心角。 6抛物线的参数方程 以坐标原点为顶点，开口向右的抛物线022ppxy的参数方程为为参数tptyptx222 7直线的参数方程 经过点000, yxM， 倾斜角为2的直线l的普通方程是00tanxxyy而过000, yxM，倾斜角为的直线l的参数方程为为参数ttyy

9、txxsincos00。 注：直线参数方程中参数的几何意义：过定点000, yxM，倾斜角为的直线l的参数方程为为参数ttyytxxsincos00，其中t表示直线l上以定点0M为起点，任一点yxM,为终点的有向线段MM0的数量，当点M在0M上方时，t0；当点M在0M下方时，t0；当点M与0M重合时，t=0。我们也可以把参数t理解为以0M为原点，直线l向上的方向为正方向的数轴上的点M的坐标，其单位长度与原直角坐标系中的单位长度相同。 【要点名师透析】 一、坐标系 （一）平面直角坐标系中的伸缩变换 例在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换yyxx/23: （1）求点2,31A经过变换所得的点A的坐

10、标； 精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 （2）点 B 经过变换得到点1( 3, )2B ，求点B的坐标； （3）求直线:6l yx经过变换后所得到直线的l方程； （4）求双曲线22:164yC x 经过变换后所得到曲线C的焦点坐标。 （二）极坐标与直角坐标的互化 例 2在极坐标系中，如果5(2,), (2,)44AB为等边三角形 ABC 的两个顶点，求顶点 C 的极坐标(0,02 )。 （三）求曲线的极坐标方程 例已知 P，Q 分别在AOB 的两边 OA，OB 上，AOB=3，POQ 的面积为 8，求 PQ 中点 M 的极坐标方程。 （四）极坐标的应用 例如图，点 A 在直线 x=

11、4 上移动，OPA 为等腰直角三角形，OPA 的顶角为OPA（O，P，A 依次按顺时针方向排列） ，求点 P 的轨迹方程，并判断轨迹形状。 二、参数方程 （一）把参数方程化为普通方程 例已知曲线 C ： （t 为参数） ， C ：（为参数） 。 （1）化 C ，C 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （2）若 C 上的点 P 对应的参数为2t，Q 为 C 上的动点，求中点到直线tytxC223:3 （t 为参数）距离的最小值。 （二）椭圆参数方程的应用 精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 在平面直角坐标系中，点是椭圆上的一个动点，求的最大值 解答： （三）直线参数方程的应

12、用 例 过点作倾斜角为的直线与曲线交于点， 求的值及相应的的值。 解析： （四）圆的参数方程的应用 例已知曲线 C 的参数方程是为参数)，且曲线 C 与直线=0 相交于两点 A、B （1）求曲线 C 的普通方程； （2）求弦 AB 的垂直平分线的方程（3）求弦 AB 的长 【感悟高考真题】 1在极坐标系中，点（2，3）到圆2cos 的圆心的距离为( ) （A）2 (B) 249 (C) 219 （D) 3 2在极坐标系中，圆2sin 的圆心的极坐标是（ ） （A）(1,)2 （B）(1,)2 （C）(1,0) （D）(1, ) 3在直角坐标系 xOy 中，曲线1C的参数方程为sin1cosyx

13、,).( 为参数在极坐标系（与直角坐标系xOy 有相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴）中，曲线2C的方程为21, 01)sin(cosCC 与则的交点个数为_ 4直角坐标系 xOy 中，曲线1C的参数方程为sin3cos2yx).( 为参数在极坐标系（与直角坐标系 xOy精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 取 相 同 的 长度 单 位 ，且 以 原点 O 为 极点 ， 以 x 轴 正 半轴 为 极 轴） 中， 曲 线2C的 方 程 为21, 01)sin(cosCC 与则的交点个数为_ 5.（1） （坐标系与参数方程选做题）若曲线的极坐标方程为=2sin4c

14、os，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为 . 6 （2011陕西高考理科T15C）直角坐标系xoy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点 A， B 分别在曲线1C：3cos4sinxy（为参数） 和曲线2C：1上， 则|AB的最小值为 7 （坐标系与参数方程选做题）直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点 A， B 分别在曲线1C：3cossinxy（为参数） 和曲线2C：1上， 则|AB的最小值为 8.（2011.天津高考理科.T11）.已知抛物线C的参数方程为tytx882（t为参数）若斜率为 1 的直线经

15、过抛物线C的焦点，且与圆()2224(0)xyrr-+=相切，则r=_. 9.（坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别为5cos(0)sinxy 和25()4xttRyt，它们的交点坐标为 . 10 （2）在直角坐标系 xOy 中，直线l的方程为 x-y+4=0，曲线 C 的参数方程为x3cosysin（ 为参数）.（I）已知在极坐标系（与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴）中，点 P 的极坐标为2, 4，判断点 P 与直线 l 位置关系； （II）设点 Q 是曲线 C 上的一个动点，求它到直线 l 的距离的最小值. 11.选修 4-4：

16、 坐标系与参数方程 （本小题满分 10 分） 在平面直角坐标系xOy中， 求过椭圆5cos3sinxy（为参数）的右焦点，且与直线423xtyt（t为参数）平行的直线的普通方程。 12.（2011 新课标全国高考理科 23）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为2cos22sinxy（为参数）M 是 C1 上的动点，P 点满足2OPOMuuu vuuuv,P 点的轨迹为曲线 C2 精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 ()求 C2 的方程 ()在以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3与 C1 的异于极点的交点为 A，与 C2的异于极点的交点为 B，求AB.

17、 13.（2011 新课标全国高考文科 23）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 2cos22sinxy（为参数）M 是 C1 上的动点，P 点满足2OPOMuuu vuuuv,P 点的轨迹为曲线 C2 ()求 C2 的方程 ()在以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3与 C1 的异于极点的交点为 A，与 C2的异于极点的交点为 B，求AB. 14.（2011辽宁高考理科23） （本小题满分 10 分） （选修 4-4：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系xOy中 ， 曲 线C1的 参 数 方 程 为)(,s i n,c o s为参数yx， 曲 线C2的 参 数

18、 方 程 为), 0(,s i n,c o s为参数babyax.在以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线 l：=a 与C1，C2 各有一个交点当 a=0 时，这两个交点间的距离为 2，当 a=2时，这两个交点重合 （I）分别说明 C1，C2 是什么曲线，并求出 a 与 b 的值； （II）设当=4时，l 与 C1，C2 的交点分别为 A1，B1，当 a=-4时，l 与 C1， C2 的交点为 A2，B2，求四边形 A1A2B2B1 的面积 15. 极坐标cosp和参数方程12xtyt （t 为参数）所表示的图形分别是（D） A. 直线、直线 B. 直线、圆 C. 圆、圆 D.

19、 圆、直线 16极坐标方程（p-1） （）=（p0）表示的图形是 （A）两个圆 （B）两条直线 （C）一个圆和一条射线 （D）一条直线和一条射线 17在极坐标系（，） （0 0，0)可写为_ 4过点2，4平行于极轴的直线的极坐标方程是( ) Acos4 Bsin4 Csin2 Dcos2 答案：C 5曲线的参数方程是 x11ty1t2(t 是参数，t0)，它的普通方程是( ) A(x1)2(y1)1 Byxx21x2 Cyx1x21 Dy11x21 6直线 cos2 关于直线 4对称的直线方程为( ) Acos2 Bsin2 Csin2 D2sin 7已知直线 l 的参数方程为 x122ty2

20、22t(t 为参数)，则直线 l 的斜率为 ( ) A1 B1 C.22 D22 8直线 3x4y90 与圆： x2cos y2sin ，( 为参数)的位置关系是 ( ) A相切 B相离 C直线过圆心 D相交但不过圆心 9设直线过极坐标系中的点 M(2,0)，且垂直于极轴，则它的极坐标方程为_ 10在极坐标系中，直线 sin42 被圆 4 截得的弦长为_ 二、填空题 11在极坐标系中，直线 6截圆 2cos6(R)所得的弦长是_ 精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 12直线 2x3y10 经过变换可以化为 6x6y10，则坐标变换公式是_ 13（皖南八校 2011 届高三第二次联考） 已知平面直角坐标系 xOy 内， 直线 l 的参数方程式为2xtyt （t为参数） ，以为参数） ，以 OxOx 为极轴建立极坐标系（取相同的长度单位） ，圆为极轴建立极坐标系（取相同的长度单位） ，圆 C C 的极坐标方程为的极坐标方程为2 2sin()4，则直线则直线 l l 的圆的圆 C C 的位置关系是的位置关系是 。 14.14.已知曲线的参数方程为已知曲线的参数方程为sincos00tyytxx, ,分别以分别以t t和和为参数得到两