2013高等数学 C1

1、2013 2013 2013C1. 函数与向量函数与向量C2. 极限与连续极限与连续C4. 中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用C5. 定积分与不定积分定积分与不定积分C3. 导数与微分导数与微分主要内容主要内容C8. 微分方程微分方程C6. 二重积分与曲线积分二重积分与曲线积分C7. 无穷级数无穷级数C9. 概率论基础概率论基础2013第一章函数与向量第三节第三节 向量代数向量代数 数量积与向量积数量积与向量积第一节第一节 函数及其图形函数及其图形 第二节第二节 函数运算与初等函数函数运算与初等函数第四节第四节 几何曲线与空间曲面几何曲线与空间曲面习题课习题课2013 函数及其图形函数及

2、其图形 一、区间与区域概念一、区间与区域概念二、空间直角坐标系二、空间直角坐标系三、函数的概念三、函数的概念四、函数的其他形式四、函数的其他形式20131.1.区间区间: :是指介于某两个实数之间的全体实数是指介于某两个实数之间的全体实数. .这两个实数叫做区间的端点这两个实数叫做区间的端点. .,baRba 且且bxax 称为开区间称为开区间,),(ba记作记作bxax 称为闭区间称为闭区间,ba记记作作一、区间与区域概念一、区间与区域概念bxax bxax 称为半开区间称为半开区间,称为半开区间称为半开区间,),ba记作记作,(ba记记作作),xaxa ),(bxxb 无限区间无限区间有限

3、区间有限区间两端点间的距离两端点间的距离( (线段的长度线段的长度) )称为区间的长度称为区间的长度. .2013 ),(Uxa点的 邻域邻域 ),(xaaxa xaxax0其中, a 称为邻域中心 , 称为邻域半径 .去心 邻域邻域左左 邻域邻域 :, ),(aa右右 邻域邻域 :. ),(aa集合的运算集合的运算并集 xBAAx交集 xBAAxBx且差集 xBAAxBx且Bx或直积 ),(yxBA,AxBy特例:RR记2R为平面上的全体点集20132.2.平面区域平面区域: :(1) 邻域邻域点集, ) ,(0PPU称为点 P0 的 邻域邻域. .例如例如, ,在平面上, ),(),(0y

4、xPU(圆邻域)0PP)()(2020yyxx(2) 聚点聚点E若对任意给定的 , ,点P 的去心去心邻域邻域) ,(PU内总有E 中的点 , 则 称 P 是 E 的聚点聚点.聚点可以属于 E , 也可以不属于 E (因为聚点可以为 E 的边界点 )2013D(3) 开区域及闭区域开区域及闭区域 若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集(； 若点集 E E , 则称 E 为闭集( ； 若集 D 中任意两点都可用一完全属于 D 的折线相连 , 开区域连同它的边界一起称为闭区域.则称 D 是连通的 ; 连通的开集称为开区域 ,简称区域 ;。 。 E 的边界点的全体称为 E 的边界, 记作E ;

5、对区域 D , 若存在正数 K , 使一切点 PD 与某定点 A 的距离 AP K , 则称 D 为有界域有界域 , 界域界域 .否则称为无无2013例如，例如，在平面上0),( yxyx41),(22yxyx0),( yxyx41),(22yxyx开区域闭区域xyo21xyoxyoxyo21整个平面 点集 1),(xyx是开集， 是最大的开域 , 也是最大的闭域；但非区域 .2013xyz二、空间直角坐标系二、空间直角坐标系由三条互相垂直的数轴按右手规则组成一个空间直角坐标系. 坐标原点 坐标轴x轴(横轴)y轴(纵轴)z 轴(竖轴)过空间一定点 o ,o 坐标面 卦限(八个)面xoyyoz面

6、zox面1. 基本概念基本概念2013xyzo向径在直角坐标系下 11坐标轴上的点 P, Q , R ;坐标面上的点 A , B , C点点 M特殊点的坐标 :有序数组),(zyx 11)0 , 0 ,(xP)0 , 0(yQ), 0 , 0(zR)0 ,(yxA), 0(zyB),(zoxC(称为点 M 的坐标坐标)原点 O(0,0,0) ;rrM坐标轴坐标面xyzo2013空间中一点的邻域概念空间中一点的邻域概念: : )(0oPPU00 PP ),(),(0zyxPU(球邻域)说明：说明：若不需要强调邻域半径 , ,也可写成. )(0PU)()()(202020zzyyxx点 P0 的去

7、心邻域去心邻域记为推广到推广到 n 维空间维空间 概念概念n 元有序数组),(21nxxx的全体称为 n 维空间维空间,Rn记作即RRRRn),(21nxxxn 维空间中的每一个元素称为空间中的kx数称为该点的第 k 个坐标坐标 .一个点点, 2013的距离距离记作2222211)()()(),(nnyxyxyxyx中点 a 的 邻域邻域为),(21nyyyy与点),(,R),(axxxaUn),(R21nnxxxx中的点,),(yxyx或规定为 ),(R21nnxxxx中的点与零元 O 的距离为22221nxxxx.,3, 2, 1xxn通常记作时当0Raxaxn满足与定元中的变元. ax

8、记作nR2013三、函数的概念三、函数的概念定义定义1.设 X , Y 是两个非空集合, 若存在一个对应规则 f , 使得,Xx有唯一确定的Yy与之对应 , 则称 f 为从 X 到 Y 的映射映射, 记作.:YXfXYfxy引例引例1.xxysinRxRy引例引例2.oxy1QP1),(22yxyxC11), 0(yyY(点集)(点集)CP点向 y 轴投影YQ投影点2013X (数集 或点集 ) 说明说明:在不同数学分支中有不同X ( ) Y (数集)f f 称为X 上的泛函X ( ) X f f 称为X 上的变换 R f f 称为定义在 X 上的为函数映射又称为算子. 的惯用名称. 例如,

9、元素 y 称为元素 x 在映射 f 下的 像像 , 记作).(xfy 元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的 原像原像 .集合 X 称为映射 f 的定义域定义域 ;Y 的子集)(XfXxxf)(称为 f 的 值域值域 .注意注意: 元素 x 的像 y 是唯一的, 但 y 的原像不一定唯一 . 2013定义域考虑一元函数的概念 设数集,RD则称映射R:Df为定义在D 上的函数 , 记为Dxxfy, )( f ( D ) 称为值域 函数图形函数图形: ),(yxC Dx, )(xfy xy) ,(baDabxy)(DfD自变量因变量 定义域定义域 对应规律对应规律的表示方法: 解析法、图象法、列

10、表法使表达式及实际问题都有意义的自变量集合.2013例如, 反正弦主值xxfyarcsin)(, 1, 1D,)(22Df定义域值域xyoxy xxf)(又如, 绝对值函数0,xx0,xx定义域RD值 域),0)(Df 1,110,2)(xxxxxfy分段函数定义域 ),0D值域 ),0)(Df2013推广到一般多元函数的概念 引例引例: : 圆柱体的体积 三角形面积的海伦公式,2hrV)2(cbapcba0, 0),(hrhrcbacbacba, 0, 0, 0),( )()(cpbpappS设非空点集,RnD DPPfu, )(或映射R:Df称为定义在 D 上的 n 元函数元函数 , 记作

11、),(21nxxxfu点集 D 称为定义域定义域 ; 值域值域DP,Pfuu)(2013特别地 , 当 n = 2 时, 有二元函数2R),(),(Dyxyxfz当 n = 3 时, 有三元函数3R),(),(Dzyxzyxfu例如, 二元函数221yxz定义域为1),(22 yxyx圆域图形为中心在原点的上半球面.xzy1o, )sin(,yxz 又如2R),(yxxyz2013说明说明: 二元函数 z = f (x, y), (x, y) D的图形一般为空间曲面 .三元函数 )arcsin(222zyxu定义域为1),(222zyxzyx图形为4R空间中的超曲面.单位闭球2 , 0,2 ,

12、 0,cossinyxyxz02460246-1-0.500.510246如:2013三、函数的其他形式三、函数的其他形式只要附加一些条件, 就可以将它化为单值的, 这样得到的单值函数称为多值函数的单值分支单值分支。“单值”函数 “多值”函数例如方程122 yx211)(xxyy 221)(xxyy 常称之存在的某种单值分支形式为由隐函数方程确定的函数. 又如方程1222 zyx可以确定单值分支2211),(yxyxzz 2221),(yxyxzz 2013x yexy2221xyz( , )0F x y ( , , )0F x y z 表示 x 和y 有依赖关系的方程:表示三元关系的方程:例

13、如:xyxysin22 例如:方程确定的函数图形方程确定的函数图形:一般来说，二元之间（一元函数）的图形关系在二维平面上可以观察，三元之间（二元函数）要在三维空间中观察直观图形。20132 , 0 : f2R2cos,0,2 3sinxy19422yx又如即为平面上椭圆的参数方程表示可以用一个向量函数来表示即为平面上椭圆的参数方程表示( ), ,( )xttyt 一般地,方程确定x ,y 的二元关系,习惯上称 参数方程确定 y 是 x 的函数.2 , 0),sin3 ,cos2( r2013 在自变量的不同变化范围中, 对应关系用不同算式来表示的函数，对一元函数，称为分段函数分段函数；对二元函

14、数，称为分片函数。分片函数。五、分段函数与分片函数五、分段函数与分片函数例如，1110 2xxxxy 是一个分段函数,定义域为D 0,).122xxy可化为 0120 1222xxxxxxy 为分段函数xy-8-6-4-202468012110222222yxyxyxz为分片函数二元函数2013 函数运算与初等函数函数运算与初等函数一、基本初等函数及其图形一、基本初等函数及其图形二、函数的运算二、函数的运算三、初等函数三、初等函数四、函数的几种特性四、函数的几种特性2013一、基本初等函数及其图形一、基本初等函数及其图形(1) 基本初等函数幂函数、 指数函数、 对数函数、 三角函数、 反三角函

15、数(2) 基本初等函数图形见教材P8-102013二、函数的运算二、函数的运算1. 函数的四则运算 两个函数可以通过实数的四则运算可以构造新的函数, 但要注意定义域可能会减少一些。例如：多项式函数是由幂函数经过和运算和乘积运算得到的。2012( )nnf xaa xa xa x20122012( )nnmmaa xa xa xR xbb xb xb x也可以看作幂函数经过和、积、商运算得到的。有理函数( )( )( ),( ) ( ),( )f xf xg xf x g xg x20132. 反函数与复合函数运算反函数与复合函数运算(1) 反函数的概念及性质若函数)(:DfDf为一一对应关系,

16、则存在对应DDff)(:1习惯上,Dxxfy, )(的反函数记成)(,)(1Dfxxfy称此1f为 f 的反函数 .其反函数(减)(减) .1) yf (x) 单调递增,)(1存在xfy且也单调递增 性质: 2) 函数)(xfy 与其反函数)(1xfy的图形关于直线xy 对称 .2013(2) 复合函数 1),(Duufy,),(Dxxgu1)(DDg且则Dxxgfy, )(设有函数链称为由, 确定的复合函数 , u 称为中间变量. 注意: 构成复合函数的条件 1)(DDg不可少. 例如例如, 函数链 :,arcsinuy ,122xu函数,12arcsin2xyDx,1231,23但函数链2

17、2,arcsinxuuy不能构成复合函数 .可定义复合2013两个以上函数也可构成复合函数. 例如, 0,uuy可定义复合函数:,2cotxy ,) 12( ,2(kkxZn02cot,22xkxk时),2, 1, 0(,cotkkvvu),(,2xxv2013三、三、 初等函数初等函数由常数及基本初等函数否则称为非初等函数 . 例如 ,2xy y0,xx0,xx并可用一个式子表示的函数 ,经过有限次四则运算和复合步骤所构成 ,称为初等函数 .可表为故为初等函数.又如 , 双曲函数与反双曲函数也是初等函数 .（P11）2013非初等函数举例:符号函数xysgn当 x 0,1当 x = 0,0当

18、 x 0,1xyo11取整函数xy 当Znnxn,1,nxyo1342122013例例1. 求y的反函数及其定义域.解解:01x当时,2xy 则1,0(,yyx10 x当时,xyln则0,(,yexy21 x当时,12xey则2,2(,ln12eyxy反函数y1,0(,xx0,(,xex2,2(,ln12exx定义域为2,2(1,(e21,210 ,ln01, 12xexxxxx212e21yox1, 1,0(, 0,(, 2,2(e2013四、四、 函数的几种特性函数的几种特性设函数, )(Dxxfy且有区间.DI (1) 有界性有界性,Dx,0M使,)(Mxf称 )(xf, Ix,0M使,

19、)(Mxf称 )(xf说明说明: 还可定义有上界、有下界、无界 (2) 单调性单调性为有界函数.在 I 上有界. ,Dx使若对任意正数 M , 均存在 ,)(Mxf则称 f ( x ) 无界无界.称 为有上界有上界称 为有下界有下界,)(,Mxf),(,xfM 当,21Ixx21xx 时, )()(21xfxf若称 )(xf为 I 上的, )()(21xfxf若称 )(xf为 I 上的单调增函数 ;单调减函数 .xy1x2x2013xyoxx(3) 奇偶性奇偶性,Dx且有,Dx若, )()(xfxf则称 f (x) 为偶函数;若, )()(xfxf则称 f (x) 为奇函数. 说明说明: 若)

20、(xf在 x = 0 有定义 ,. 0)0(f)(xf为奇函数奇函数时,则当必有例如,2)(xxeexfyxch 偶函数yoxexexych双曲余弦 记2013(4) 周期性周期性,0,lDx且,Dlx)()(xflxf则称)(xf为周期函数 ,to)(tf22xo2y2若称 l 为周期 ( 一般指最小正周期最小正周期 ).周期为 周期为2注注: 周期函数不一定存在最小正周期 .例如, 常量函数Cxf)(狄里克雷函数)(xfx 为有理数x 为无理数, 1,02013 向量代数向量代数 数量积与向量积数量积与向量积一、向量及其运算一、向量及其运算二、向量的坐标二、向量的坐标三、向量的数量积与向量

21、积三、向量的数量积与向量积2013.a或表示法:向量的模 : 向量的大小,21MM记作一、向量的概念及其计算一、向量的概念及其计算向量:(又称矢量). 1M2M既有大小, 又有方向的量称为向量向径 (矢径):自由向量: 与起点无关的向量.起点为原点的向量.单位向量: 模为 1 的向量,.a或记作 a零向量: 模为 0 的向量,.00或，记作有向线段 M1 M2 ,或 a ,a或.a或1. 向量的概念2013规定: 零向量与任何向量平行 ;若向量 a 与 b大小相等, 方向相同, 则称 a 与 b 相等,记作 ab ;若向量 a 与 b 方向相同或相反, 则称 a 与 b 平行, ab ;与 a

22、 的模相同, 但方向相反的向量称为 a 的负向量,记作因平行向量可平移到同一直线上, 故两向量平行又称 两向量共线 .若 k (3)个向量经平移可移到同一平面上 , 则称此 k 个向量共面 .记作a ;20132、向量的线性运算、向量的线性运算(1). 向量的加法向量的加法三角形法则:平行四边形法则:运算规律 : 交换律结合律三角形法则可推广到多个向量相加 .bbabbacba )()(cbacbaabcba cb)(cbacba )(aaba ba 2013aa(2). 向量与数的乘法向量与数的乘法 是一个数 ,.a规定 :时，0，同向与aa,0时,0时.0a;aa;1aa可见;1aa;aa

23、 与 a 的乘积是一个新向量, 记作，反向与aa总之:运算律 : 结合律)(a)(aa分配律a)(aa)(baba, 0a若a则有单位向量.1aa因此aaa 2013(3). 向量的减法向量的减法三角不等式ab)( ab有时特别当,ab aa)( aababaabababa0baba2013定理定理1. 设 a 为非零向量 , 则( 为唯一实数)证证: “ ”., 取 且再证数 的唯一性 .则,0故.即abab设 abba取正号, 反向时取负号, a , b 同向时则 b 与 a 同向,设又有 b a ,0)(aaa baab.ab故,0a而则,0 时当,0 时当,0 时当已知 b a ,b0

24、a , b 同向a , b 反向ab 2013例例1. 设 M 为MBACD解解:ABCD 对角线的交点,ba,aAB ,bDAACMC2MA2BDMD2MB2.,MDMCMBMAba表示与试用baab)(21baMA)(21abMB)(21baMC)(21abMD2013二二. 向量的坐标向量的坐标1.向量在轴上的投影.上的有向线段上的有向线段是轴是轴，设有一轴设有一轴uABuuAB.ABABABuuABuABAB ，即，即的值，记作的值，记作上有向线段上有向线段叫做轴叫做轴那末数那末数是负的，是负的，轴反向时轴反向时与与是正的，当是正的，当向时向时轴同轴同与与，且当，且当满足满足如果数如果

25、数ABjuPr.BA 向向量量AB在在轴轴u上上的的投投影影记记为为2013设有两非零向量 ,ba任取空间一点 O ,aOA作,bOBOAB称 =AOB (0 ) 为向量 ba,的夹角. ),(ab或类似可定义向量与轴, 轴与轴的夹角 . 记作),(ba 向向量量AB在在轴轴u上上的的投投影影等等于于向向量量的的模模乘乘以以轴轴与与向向量量的的夹夹角角的的余余弦弦：ABjuPr cos| AB 向量的向量的投影定理投影定理两两个个向向量量的的和和在在轴轴上上的的投投影影等等于于两两个个向向量量在在该该轴轴上上的的投投影影之之和和. .PrPr)(Pr2121a ja jaaj 20132. 向

26、量在坐标轴上的分向量与向量xyzo 1MPNQR 2M以以kji,分分别别表表示示沿沿zyx,轴轴正正向向的的单单位位向向量量.ijkkajaiaazyx 向量在向量在 轴上的投影轴上的投影x 向量在向量在 轴上的投影轴上的投影y 向量在向量在 轴上的投影轴上的投影z12xxax 12yyay 12zzaz kzzjyyixxMM)()()(12121221 2013在空间直角坐标系下,设点 M , ),(zyxM则沿三个坐标轴方向的分向量分向量.kzjyixr),(zyxxoyzMNBCijkA,轴上的单位向量分别表示以zyxkji的坐标为此式称为向量 r 的坐标分解式坐标分解式 ,rkzj

27、yix称为向量,r任意向量 r 可用向径 OM 表示.NMONOMOCOBOA, ixOA, jyOBkzOC20133. 向量的模与方向余弦222zyx),(zyxr 设则有OMr 222OROQOPxoyzMNQRP由勾股定理得向量的模：, rOM作OMr OROQOP),(111zyxA因AB得两点间的距离公式:),(121212zzyyxx212212212)()()(zzyyxx对两点与, ),(222zyxBBABAOAOBBA2013例例2. 求证以)3,2,5(, )2, 1 ,7(, ) 1 ,3,4(321MMM证证:1M2M3M21MM 2)47( 2)31 ( 2) 1

28、2( 1432MM 2)75( 2) 12( 2)23( 631MM 2)45( 2)32( 2) 13( 63132MMMM即321MMM为等腰三角形 .的三角形是等腰三角形 . 为顶点2013例例3. 在 z 轴上求与两点)7, 1 ,4(A等距解解: 设该点为, ),0,0(zM,BMAM因为 2)4(212)7(z 23252)2(z解得,914z故所求点为及)2,5,3(B. ),0,0(914M思考思考: (1) 如何求在 xoy 面上与A , B 等距离之点的轨迹方程?(2) 如何求在空间与A , B 等距离之点的轨迹方程 ?离的点 . 2013oyzx方向角与方向余弦方向角与方

29、向余弦,0),(zyxr给定与三坐标轴的夹角 , , rr称为其方向角方向角.cosrx222zyxx方向角的余弦称为其方向余弦方向余弦. oyzxrcosry222zyxycosrz222zyxz1coscoscos222方向余弦的性质:2013例例4. 已知两点)2,2,2(1M和, )0,3, 1(2M的模 、方向余弦和方向角 . 解解:,21,23)20计算向量)2, 1, 1(222)2(1) 1(2,21cos,21cos22cos,32,34321MM(21MM21MM20131M三、两向量的数量积与向量积三、两向量的数量积与向量积沿与力夹角为的直线移动,W设向量的夹角为 ,称

30、记作数量积 (点积) .物理意义物理意义. 设一物体在常力 F 作用下, F位移为 s , 则力F 所做的功为cossFsFW2Mbacosba的与为baba,s1. 向量的数量积2013,0时当a上的投影为在ab记作故,0,时当同理babj rPb性质：性质：为两个非零向量, 则有baj rPcosbbabaaj rPbaaa) 1 (2aba,)2(0baba ba0ba则2),(ba0,0ba2013数量积运算规律数量积运算规律(1) 交换律(2) 结合律),(为实数abbaba)()( ba)(ba)()(ba)(ba)(ba(3) 分配律cbcacba数量积的坐标表示数量积的坐标表示

31、设则zzyyxxbababa,kajaiaazyx,kbjbibbzyxba两向量的夹角公式 当为非零向量时,ba,cos zzyyxxbababa222zyxaaa222zyxbbbba ba2013)(MB, )(MA BM例例5. 已知三点, )2,1 ,2(),1 ,2,2(, )1 , 1 , 1(BAM AMB . A解解:, 1, 1 0, 1,0 1则AMBcos10022213AMB求MBMAMA MB故20132. 向量积向量积定义向量方向 :(叉积)记作且符合右手规则模 :向量积 ,，的夹角为设ba,c,acbccsinabbac称c的与为向量babacba物理意义：物理

32、意义：设O 为杠杆L 的支点 , 有一个与杠杆夹角为杠杆上的力矩是一个向量 M :的力 F 作用在杠杆的 P点上 ,则力 F 作用在FOPM思考思考: 右图三角形面积abba21S2013性质性质为非零向量, 则aa) 1 (0ba,)2(0baba向量积向量积 运算律运算律(2) 分配律(3) 结合律abcba )(cbcaba )()( ba)(baba) 1 (2013)(kajaiazyx)(kbjbibzyx向量积的坐标表示式向量积的坐标表示式设则,kajaiaazyx,kbjbibbzyxbaibabayzzy)(jbabazxxz)(kbabaxyyx)(ijkkjixayaza

33、xbybzbkajaiaazyxkbjbibbzyx行列式计算法行列式计算法,zyzybbaa,zxzxbbaayxyxbbaa2013例例6. 已知三点, )7,4,2(),5,4,3(, )3,2, 1(CBA角形 ABC 的面积 解解: 如图所示,CBASABC21kji222124)(21,4,622222)6(42114sin21AB AC21ACAB求三201322343cos322)2(17例例7. 已知向量的夹角且解：解：,43ba ,. |ba 求, 2|a, 3|b2ba)()(babaaaba2bb22cos2bbaa17ba2013 几何曲线与空间曲面几何曲线与空间曲面

34、一、几何曲线一、几何曲线二、空间曲面二、空间曲面2013一、几何曲线一、几何曲线1.平面上的曲线与直线方程平面曲线的一般形式为0),( yxF确定的隐式(二元关系).通常讨论的一元函数显式表示)(xfy 或极坐标形式)( 平面直线有如下特殊形式: 一般式一般式 参数式参数式 , 0 CByAxCBA,不全为零)(,00 ymtyyltxx2013121121yyyyxxxx01112211yxyxyx)(-0ttarr 两点式两点式 或 向量式向量式 * * 这里考虑二维向量常见平面曲线参见附录2013)()()(thztgytfx0tt )(00tfx )(00tgy )(00thz 类似平

35、面曲线，空间曲线也可用参数方程来表示:，2 2空间中的空间中的曲线曲线与直线与直线对应 有),(000zyx于是得到空间上的一点t当随变动，便可得到曲线上的全部点。上述方程称为曲线的参数方程,亦可用向量函数表示( )( ), ( ), ( )r tf tg th t2013zyxo例如,圆柱螺旋线vbt,令bzayaxsincos,2 时当bh2taxcostaysin t vz 的参数方程为上升高度, 称为螺距螺距 .M空间曲线的特殊形式空间曲线的特殊形式: :空间直空间直线线参数式方程tmxx0tnyy0tpzz0tpzznyymxx000对称式方程2013说明说明: 某些分母为零时, 其

36、分子也理解为零.00yyxx直线的对称式方程对称式方程也称为点向式方程点向式方程直线方程为例如, 当,0, 0时pnm),(0000zyxM 对称式方程对称式方程 mxx0),(zyxMnyy0pzz0s已知直线上一点),(0000zyxM和它的方向向量 , ),(pnms 20132L1L两直线的夹角两直线的夹角 则两直线夹角 满足21, LL设直线 两直线的夹角指其方向向量间的夹角(通常取锐角)的方向向量分别为212121ppnnmm212121pnm222222pnm),(, ),(22221111pnmspnms2121cosssss 1s2s特别有特别有:21) 1(LL 21/)2

37、(LL0212121ppnnmm212121ppnnmm21ss 21/ss2013二、空间曲面二、空间曲面1.曲面及其方程定义定义. 如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系:(1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程;(2) 不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程,0),(zyxFSzyxo则 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面曲面 S 的的方程方程, 曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的图形图形.2013空间中特殊的二次曲面形式空间中特殊的二次曲面形式:三元二次方程 研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法截痕法 其基本类型与图形见附

38、录. 的图形通常为二次曲面二次曲面. FzxEyxDxyCzByAx2220JIzHyGx(二次项系数不全为 0 ),(1222222为正数cbaczbyax例如例如. 椭球面椭球面常用特殊情形,即球面球面 )0(2222 RRzyx2013定义定义. . 一条平面曲线旋转曲面和柱面旋转曲面和柱面 绕其平面上一条定直线定直线旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面旋转曲面.该定直线称为旋转轴旋转轴. .绕 z 轴旋转:给定 yoz 面上曲线 C: 0),(zyf), 0(111zyM),(zyxMozyxC, ),(zyxM当绕 z 轴旋转时,0),(11zyf,), 0(111CzyM若点1221,

39、yyxzz则有则有该点转到故旋转曲面方程为0),(22zyxf2013定义定义.平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成的轨迹叫做柱面柱面. C 叫做准线准线, l 叫做母线母线.空间222Ryx方程222Ryx沿曲线C : 平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为圆柱面圆柱面xyzo 表示抛物柱面抛物柱面,母线平行于 z 轴;准线为xoy 面上的抛物线.xy2212222byax表示母线平行于 z 轴的椭圆柱面椭圆柱面.xyzo20132 2、平面及其方程、平面及其方程设有三元一次方程此方程称为平面的一般方程平面的一般方程. .0DzCyBxA)0(222CBA),(CBAn 的平面,

40、 是以法向量法向量为 点法式点法式0)()()(000zzCyyBxxA截距式截距式1czbyax三点式三点式0131313121212111zzyyxxzzyyxxzzyyxx)0(abc2013kji例例1.1.求过三点,1M又) 1,9,14(0)4() 1(9)2(14zyx015914zyx即1M2M3M解解: 取该平面 的法向量为),2,3, 1(),4, 1,2(21MM)3,2,0(3M的平面 的方程. 利用点法式得平面 的方程346231nn3121MMMM2013例例2. 求通过 x 轴和点( 4, 3, 1) 的平面方程.解解: 因平面通过 x 轴 ,0 DA故设所求平面

41、方程为0zCyB代入已知点) 1,3,4(得BC3化简,得所求平面方程03 zy2013两平面两平面, ,平面与直线平面与直线设平面1的法向量为 平面2的法向量为则两平面夹角 的余弦为 cos即212121CCBBAA222222CBA212121CBA两平面法向量的夹角(常为锐角)称为两平面的夹角两平面的夹角.122n1n),(1111CBAn ),(2222CBAn 2121cosnnnn 2013特别有下列结论：特别有下列结论：21) 1 (0212121CCBBAA21/)2(212121CCBBAA),(:),(:2222211111CBAnCBAn2121cosnnnn 21nn

42、21/ nn2013因此有例例3. 一平面通过两点垂直于平面: x + y + z = 0, 求其方程 .解解: 设所求平面的法向量为,020CBA即CA2的法向量,0CBACCAB)()0(0) 1() 1() 1(2CzCyCxC约去C , 得0) 1() 1() 1(2zyx即02zyx0) 1() 1() 1(zCyBxA)1, 1, 1(1M, )1, 1,0(2M和则所求平面故, ),(CBAn方程为 n21MMn且2013外一点,求),(0000zyxP0DzCyBxA例例4. 设222101010)()()(CBAzzCyyBxxA222000CBADzCyBxAd0111Dz

43、CyBxA解解: :设平面法向量为),(1111zyxP在平面上取一点是平面到平面的距离d .0P,则P0 到平面的距离为01PrjPPdnnnPP010P1Pnd, ),(CBAn (点到平面的距离公式点到平面的距离公式)2013xyzo0M例例5.解解: 设球心为求内切于平面 x + y + z = 1 与三个坐标面所构成则它位于第一卦限,且2220001111zyx00331xx , 1000zyxRzyx000因此所求球面方程为000zyx633331, ),(0000zyxM四面体的球面方程.从而)(半径R2222)633()633(633)633(zyx2013当直线与平面垂直时,规定其夹角线所夹锐角 称为直线与平面间的夹角;L直线与平面的夹角直线与平面的夹角当直线与平面不垂直时,设直线 L 的方向向量为 平面 的法向量为则直线与平面夹角 满足.22