21.1第一类曲线积分的计算

1、§21.1 第一类曲线积分的计算1 .定义定积分研究的是定义在直线段上函数的积分.本节将研究定义在平面曲线或空间曲线段上函数的积分.定义1设L为平面上可求长度的曲线段，f(x,y)为定义在L上的函数.对曲线L作分割T,它把L分成n个可求长度的小曲线段L(i1,2,n),Li的弧长记为Si,分割T的细度为ITIImaxSi,在Li上任取一点(i,i)(i1,2,n).若存在极限1innlimf(i,i)siJlTl0i1且J的值与分割T及点(i,的取法无关，则称此极限为f(x,y)在L上的第一型曲线积分，记作Lf(x,y)ds.(1)定义2若L为空间可求长曲线段，f(x,y,z)为定义

2、在L上的函数，则可类似地定义nf(x,y,z)在空间曲线L上的第一型曲线积分为Tim0f(i,i,i)SiJ,(此处Si为i1Li的弧长，|T|maxs,J为一常数，并且记作1inLf(x,y,z)ds.(2)2 .物理意义1)设某物体的密度函数f(P)是定义在上的连续函数.当是直线段时，应用定积分就能计算得该物体的质量，现在研究当是平面上某一可求长度的曲线段时物体的质量的计算问题.首先对作分割，把分成n个可求长度的小曲线段i(i=1,2,，n),并在每一个i上任取一点Pi由于f(P)为上的连续函数，故当i的弧长都很小时，每一小段i的质量可近似地等于f(Pi)i,其中i为小曲线段i的长度.于是

3、在整个上的质量就近似地等于和式nf(P)ii1当对的分割越来越细密(即dmaxi0)时，上述和式的极限就应是该物体的1in质量.2)空间曲线L的重心坐标为x(x,y,z)dlL(x,y,z)dlLy(x,y,z)diL，(x,y,z)dl'Lz(x,y,z)dlL(x,y,z)dlL3)曲线L的绕z轴(x,y轴)的转动惯量是22Jz(xy)(x,y,z)dlL3:几何意乂1)当被积函数为1时，积分的值恰为曲线的长度.2)当f(x,y)0,f(x,y)dl表示以L为准线，以平行于z轴的线为母线的曲柱面的面积。4性质第一型曲线积分具有下述一些重要性质：k1) .若Lfix,ydsi1,2,

4、k存在，qi1,2,k为常数，则lgfix,ydsi1kk也存在，且lg片x,ydscilfix,yds.Li1i12) .若曲线段L由曲线Li,L2,Lk首尾相接而成，且,fx,yds(i1,2,k)都Lik存在，贝Ufx,yds也存在，且fx,ydsfx,yds.LLi1L3) .若Lfx,yds与lgx,yds者B存在，且在Itfx,ygx,y,贝ULfx,ydsLgx,yds.4) .若Lfx,yds存在，贝uLfx,yds.也存在，且lfx,ydslfx,yds.5) .若fx,yds存在，L的弧长为s,则存在常数c,使得fx,ydscs,这里inffx,ycsupfx,y.LL5第

5、一型曲线积分的计算xt.定理1设有光滑曲线L：,t,，函数fx,y为定义在L上的连续函yt,，数，则Lfx,ydsf(2(2t出.(3)证明:由弧长公式知道，L上由tti1到tti的弧长Sti1%一(2(2tdt.ti1ti.(2(2t的连续性与积分中值定理，有(2(2tiSi(2(2'ti1iti.设则有Si令(2(2'ti(4)max,tn,则当|T|0时，必有0.现在证明limt00.因为复合函数ft,关于t连续，所以在闭区间上有界，即存在常数M,使对一切t都有f再由在上连续，所以它在上一致连续，即对任给的0,必存在0,使当t时(此时titi1i,iti.ti，2，2，(

6、2(2(从而nMtii1所以limt00.再由定积分定义(一般定积分的定义)，可得nlimft0i1,(2，2"iiiti=ft(2(2tdt.当在(4)式两边取极限后即得所要证的(3)式Lfx,yds(2(2tdt.xt,注：1）光滑曲线：若曲线,tyt,上都存在连续的导函数，且,2,20,这时称C为光滑曲线.2）该定理说明第一型曲线积分的计算可转换为定积分进行计算定理2当曲线L由方程yx,xa,b给出，且a,b上有连续导函数时,x,yds'2xdx定理3当曲线L由方程xy,yc,d给出，且c,d上有连续导函数时,Lfx,ydscfy,y1c'2ydy.(6)例1设

7、L是半圆周xL:acost,asint,试计算第一型曲线积分2.yds.Lytt0tTx,y,zdst0fxt,yt,zty'2tz'2tdt。证明仿照定理1,或者参考教材。定理5设函数fx,y,z在光滑曲线l上有定义且连续，l的方程为(x,y,z)0(x,y,z)022y'xz'xdx则可化为以x为参数的参数方程。然后化为定理4的形式。1fx,y,zds%fx,yx,zx,1l的方程为定理6设函数fx,y,z在光滑曲线l上有定义且连续,zgi(x,y)zg2(x,y)则在一定的条件下可化为以z为参数的参数方程，再化为定理4的形式。1fx,y,zdsTft0x&

8、#39;2zy123计算x2ds,其中L为球面x22、，一一被平面xyz0所截得的由对称性知x2dsL2.2.ydszdsLL所以x2Lds12-(x3lz2)ds2a.ds3L求(xyLyz2zx)ds,其中L是球面xa与平面x交线。解法(xyyzLzx)ds2l2(xyyzzx)ds解法2l(x(x2L解法求曲线、2/2z)(x22yz)dsy2z2)dsdsL1技巧性强，而不必化为定积分。L的参数方程。由x2y2(xz)/z、2(x-)22(132a2z2),'2-asint,-32a32、a,a.,：2(12a2z)2cost、6s1nt(x、aa.z)costsint,2.6于是得到两组参数方程aacostsint1J2-/6aacostsint,2.6aa.costsint2.6aa.costsint,2.6,2asint3,2asint3我们可任选一组,例如第一组。显然，被积函数和L都具有轮换对称性，则(xyLyzzx)ds3zxdsL23a2sint(cos