2007年天津市高考数学试卷(文科)

1、2007年天津市高考数学试卷文科、选择题共10小题,每题5分,总分值50分1. 5分集合S=xWR|x+12,T=-2,_1,0,1,2,那么SQT=A.2B.1,2C.0,1,2D.-1,0,1,2x-y-12. 5分设变量x,y满足约束条件Wx+y,4那么目标函数z=2x+4y的最大值为y23.5分“a=2是“直线12C.13D.14ax+2y=0平行于直线x+y=1的A,充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.5分设a=log13,21no1.b=-0,c=2323A.a<b<cB.c：b:二aC. c：二a:二bD. b：a:二c5.

2、 5分函数y=log2x+1+1x>0的反函数为A.y=2xl-1x1B.y=2xJ1x1C.y=2x1-1x0D.y=2x11x06. 5分设a,b为两条直线,P为两个平面,以下四个命题中,正确的命题是A.假设a,b与a所成的角相等,那么a/bB.假设a/o,b/P,«/P,那么a/bC.假设a=ot,buP,a/b,那么a/P口.假设2_1口,b±P,c_LP,是a_Lb227. 5分双曲线与自=1a>0,b>0的一条渐近线方程是y=J3x,它的一个焦点ab在抛物线y2=24x的准线上,那么双曲线的方程为A.C.22士-乂=1361082210836B

3、.D.2x27227298. 5分设等差数列an的公差d不为0,a1=9d.假设ak是21与a2k的等比中项,那么k=C.6D.8冗9. (5分)设函数f(x)=|sin(x+)|(xR),那么f(x)=()3A,在区间至,7L上是增函数36C,在区间三二上是增函数84B.在区间_m勺上是减函数2D.在区间工,史上是减函数3610.5分设fx是定义在R上的奇函数,2且当x-0时,fx=x,假设对任意的xWt,t+2,不等式fx+t2fx恒成立,那么实数t的取值范围是A.立收)B.2,-He)C.(0,2、填空题共6小题,每题4分,总分值24分11.4分从一堆苹果中任取了20只,并得到它们的质量

4、单位：克数据分布表如下:分组90,100)100,110)110,120)120,130)130,140)140,150)频数123101那么这堆苹果中,质量不小于120克的苹果数约占苹果总数的%.12. 4分x+?9的二项展开式中常数项是用数字作答.x13. 4分一个长方体的各顶点均在同一球面上,且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3,那么此球的外表积为.222214. 4分两圆*2+丫2=10和仁12+丫32=20相交于八,B两点,那么直线AB的方程是15. (4分)在MBC中,AB=2,AC=3,D是边BC的中点,那么ADIJbC=16. 4分如图,用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色

5、,每个格子涂一种颜色,要求相邻的两个格子颜色不同,且两端的格子的颜色也不同,那么不同的涂色方法共有种第2页共17页(用数字作答)三、解做题(共6小题,总分值76分)417. (12分)在iABC中,AC=2,BC=3,cosA=.5(I)求sinB的值；(n)求sin(2B+-)的值.65个红球18. (12分)甲盒内有大小相同的3个红土和4个黑球,乙盒内有大小相同的和4个黑球.现从甲、乙两个盒内各任取2个球.(I)求取出的4个球均为红球的概率；(n)求取出的4个球中恰有1个红球的概率.AC1CD,19. (12分)如图,在四棱锥PABCD中,PA_L底面ABCD,AB_LAD,/ABC=60

6、,PA=AB=BC,E是PC的中点.(I)求PB和平面PAD所成的角的大小；(n)证实AE_L平面PCD;(出)求二面角A-PD-C的大小.(出)当a>3时,证实存在kw_1,0,使得不等式f(k-cosx)f(k2-cos2x)对任意的xWR恒成立.22xVFi,F2,A是椭圆上的一点,22.(14分)设椭圆了十自白侬：；.)的左、右焦点分别为1C,原点O到直线AFi的距离为|OFi|.3222(n)求tw(0,b)使得下述命题成立：设圆x+y=t上任意点M(xo,yO)处的切线交椭圆于Qi,Q2两点,那么OQiIOQ2.2007年天津市高考数学试卷文科参考答案与试题解析一、选择题共1

7、0小题,每题5分,总分值50分1. 5分集合S=xWR|x+12,T=-2,_1,0,1,2,那么SQT=A.2B.1,2C.0,1,2D.-1,0,1,2【解答解：S=xeR|x+1-2,那么二S=xwR|x1,又：T=_2,-1,0,1,2,故sQtH1,2.应选：B._|Lx-y-12. 5分设变量x,y满足约束条件Wx+y,4那么目标函数z=2x+4y的最大值为y2A.10B.12C.13D.14xy-1【解答】解析：先画出约束条件?x+y,4的可行域,如图,y23535得到当x=,y=一时目标函数z=2x+4y有取大值为,Zmax=2父一+4M-=13.2222应选：C.3. 5分“

8、a=2是“直线ax+2y=0平行于直线*+丫=1的A,充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解答】解：a=2=直线2x+2y=0平行于直线x+y=1充分条件；直线ax+2y=0平行于直线x+y=1=a=2必要条件.所以是充分必要条件,应选：C.114. (5分)设a=logi3,b=(_)°1c=2>那么()3A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<a<c1【解答】解析：:由指、对函数的性质可知：a=log13M10gl1=0,0cb=(1)0.2<1,c=23>122

9、3.有a<b<c应选：A.5. (5分)函数y=1og2(x+1)+1(x>0)的反函数为()A.y=2xA-1(x>1)B.y=2x-+1(x>1)C.y=2x1-1(x0)D.y=2、11(x.0)【解答】解：由y=1og2(x+1)+1,解得x=2y,-1即：y=2x,-1函数y=1og2(x+1)+1(x>0)的值域为y|y>1,x1J.函数y=1og2(x+1)+1(x>0)的反函数为y=2-1(x>1).6.(5分)设a,b为两条直线,ot,P为两个平面,以下四个命题中,正确的命题是()A.假设a,b与a所成的角相等,那么a/b

10、B,假设a/a,b/P,a/P,那么a/bC.假设aUa,buP,ot/b,那么ot/P口.假设2_16,b_LP,口_L口,是a_Lb【解答】解：A、直线a,b的方向相同时才平行,不正确；B、用长方体验证.如图,设AB1为a,平面AC为a,BC为b,平面AG为P,显然有a/a,b/P,a/口,但得不到a/b,不正确；C、可设A1B1为a,平面AB1为a,CD为b,平面AC为P,满足选项C的条件却得不到a/P,不正确；D、7ala,«_LP,J.aU口或a/P7.5分双曲线22xy了一声=1a>0,b>0的一条渐近线方程是y=v'3x,它的一个焦点在抛物线y2=2

11、4x的准线上,那么双曲线的方程为A.C.22z,=13610822二-E=110836B.D.22x.x=192722xy_27-92【解答】解：由于抛物线y=24x的准线方程为x=-6,那么由题意知,点F-6,0是双曲线的左焦点,所以a2+b2=c2=36,又双曲线的一条渐近线方程是y=J3x,所以=用,a解得a2=9,b2=27,22所以双曲线的方程为=1.927应选：B.=9d.假设ak是a1与a2k的等比中项,那么8. 5分设等差数列4的公差d不为0,a1A.2B.4C.6D.8【解答】解：由于ak是a与a2k的等比中项,那么a2=a1a2k,9d+(k-1)d2=9d19d+(2k-

12、1)d,又d#0,那么k22k8=0,k=4或k=-2(舍去).应选：B.9. (5分)设函数f(x)=|sin(x+)|(xeR),那么f(x)=()3A.在区间至,71上是增函数36C.在区间"上是增函数84B.在区间_m工上是减函数2D.在区间4,5L上是减函数36【解答】解：函数f(x)Tsin(x+)|(xWR)图象如下图:3一、.210.(5分)设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x-0时,f(x)=x,假设对任意的xWt,t+2,不等式f(x+t)2f(x)恒成立,那么实数t的取值范围是()A.乏/)B.2,收)C.(0,2D.乏iJ三向【解答】解：(排除法)当t=J2

13、那么xWJ2,J2+2得f(x+J2)2f(x),即(x+/22厘xf3x27-2)2-在x电J2,J2+2时恒成立,而x22&x2最大值,是当x=72+2时出现,故x2-2夜x-2的最大值为0,那么fxt)2f(x)恒成立,排除B项,同理再验证t=3时,f(x+t)-2f(x)恒成立,排除C项,t=1时,f(x+t)-2f(x)不成立,故排除D项应选：A.二、填空题(共6小题,每题4分,总分值24分)11.(4分)从一堆苹果中任取了20只,并得到它们的质量(单位：克)数据分布表如下:分组90,100)100,110)110,120)120,130)130,140)140,150)频数

14、123101那么这堆苹果中,质量不小于120克的苹果数约占苹果总数的70%.【解答】解：,-由表中可知这堆苹果中质量不小于120克的苹果数为：20_1_2_3=14二约占苹果总数的一=0.70=70%.20故答案为：70.1 C12. 4分x+=9的二项展开式中常数项是84用数字作答x【解答】解：二项式展开式通项是：Tr+=09x9-x-r=C9X9-r,令9-3r=0得r=3,故有：C3=84故答案为8413. 4分一个长方体的各顶点均在同一球面上,且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3,那么此球的外表积为_14n_.【解答】解：长方体外接球直径长等于长方体体对角线长,即2R122232&

15、#39;=.；14,由S=4nR2=14n.故答案为：14-：14. 4分两圆*2+丫2=10和*12+丫32=20相交于八,B两点,那么直线AB的方程是_x+3y=0_.【解答】解：由于两圆相交于A,B两点,那么A,B两点的坐标坐标既满足第一个圆的方程,又满足第二个圆的方程将两个圆方程作差,得直线AB的方程是：x+3y=0,故答案为x+3y=0.15. 4分在MBC中,AB=2,AC=3,D是边BC的中点,那么器JBC=_勺_.2【解答】解：根据向量的加减法法那么有:BCAC-AB,AD1-CC1AB,22此时BClaD(Ac-Ab)_1(AcAb)-Ab2)21=2(9-4)5-2故答案为

16、：(n)解：:cosA=4,所以角A为钝角,从而角B为锐角,.216. (4分)如图,用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色,每个格子涂一种颜色,要求相邻的两个格子颜色不同,且两端的格子的颜色也不同,那么不同的涂色方法共有630【解答】解：根据题意种(用数字作答).,分为三类:第一类是只用两种颜色那么为：cjA；：?.种,第二类是用三种颜色那么为：C；C；c2c2=240种,第三类是用四种颜色那么为：C4A4=360种,由分类计数原理,共计为30+240+360=630种,故答案为630.三、解做题(共6小题,总分值76分)一一417. (12分)在MBC中,AC=2,BC=3,cosA=.5(

17、I)求sinB的值；(n)求sin(2B+-)的值.6【解答】(I)解:在欣BC中,sinA=Jicos2A=x|1-()2=',由正弦定理,55sinAsinBAC232所以sinB=sinA=一父一=一.BC355c.2-/2221221cosB=jl-sinB=J1-()=,cos2B=2cosB-1=2x-15551725,221421sin2B=2sinBcosB=2-=5525sin(2B)=sin2Bcoscos2Bsin一666252252_12717一5018.(12分)甲盒内有大小相同的3个红土和4个黑球,乙盒内有大小相同的5个红球和4个黑球.现从甲、乙两个盒内各任

18、取2个球.(I)求取出的4个球均为红球的概率；(n)求取出的4个球中恰有1个红球的概率.【解答】解：(I)解：设“从甲盒内取出的2个球均为红球为事件A,“从乙盒内取出个球均为红球为事件dA,B相互独立,且P(A)=一C7P(B)6-5C92-is'故取出的4个球均为红球的概率是155P(ALB)=P(A)_P(B)=718126(n)解：设“从甲盒内取出的2个球中,1个是红球,1个是黑球；从乙盒内取出的球为黑球为事件C,“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中,1个是红球,1个是黑球为事件D.由于事件C,D互斥,且PXCCjCC7C24T9221,P(D)clc5c；10

19、C7C563故取出的4个红球中恰有4个红球的概率为P(C+D)=P(C)+P(D)=+=,1636319. (12分)如图,在四棱锥PABCD中,PA_L底面ABCD,AB_LAD,AC_LCD,/ABC=60>PA=AB=BC,E是PC的中点.(I)求PB和平面PAD所成的角的大小;(n)证实AE_L平面PCD;(出)求二面角A-PD-C的大小.【解答】解：(I)解：在四棱锥P-ABCD中,因PA_L底面ABCD,AB二平面ABCD,故PA_LAB.又AB_LAD,PA|AD=A,从而AB_L平面PAD.故PB在平面PAD内的射影为PA,从而/APB为PB和平面PAD所成的角.在RtA

20、PAB中,AB=PA,故/APB=45,所以PB和平面PAD所成的角的大小为45°.(II)证实：在四棱锥P-ABCD中,因PA_L底面ABCD,CD仁平面ABCD,故CD_LPA.由条件CD_LPA,PAQAC=A,二CD,面PAC.又AEU面PAC,二AE_LCD.由PA=AB=BC,/ABC=60.,可得AC=PA.'E是PC的中点,:AE_LPC,PC|CD=C.综上得AE_L平面PCD.(m)解：过点E作EM_LPD,垂足为M,连接AM.由(H)知,AE_L平面PCD,AM在平面PCD内的射影是EM,那么AM_LPD.因此ZAME是二面角A-PD-C的平面角.2.3

21、21a,PD=a,AE33在rmadp中,7am_lpd,am|_pd=pAad,那么AM23paLad山3aPD2v7a.7在RtMEM中,sinAME=-AEAM14由,可得/CAD=30*.设后a,可得PA=a,ADLL,、,一.A-,14所以面角APDC的大小arcsin.420. (12分)在数列aj中,4=2,=4%3n+1,nWN.(I)证实数列ann是等比数列；(n)求数列an的前n项和Sn;(出)证实不等式5+4Sn,对任意nWN皆成立.【斛答】斛：(I)证实：由题设an.=4an3n+1,得an+-(n+1)=4(an-n),nN.又&-1=1,所以数列an-n是首

22、项为1,且公比为4的等比数列.(n)由(I)可知an-n=4nA,于是数列an的通项公式为an=4n+n.所以数列an的前n项和Sn=J.32(出)证明：对任息的nWN,4n1-1(n1)(n2)4n-1n(n1)12Sn+4&=+()()-4(+-()=(3n+n4),0.32322所以不等式Sn由4Sn,对任意nWN*皆成立.221. (14分)设函数f(x)=x(xa)(x=R),其中aR.(I)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(2,f(2)处的切线方程；(n)当a00时,求函数f(x)的极大值和极小值；(出)当a>3时,证实存在kW-1,0,使得不等式f(k-cosx)

23、f(k2-cos2x)对任意的xwR恒成立.【解答】解：(I)解：当a=1时,f(x)=x(x1)2=x3+2x2x,得f(2)=2,且f'(x)=3x2+4x-1,f'(2)=-5.所以,曲线y=x(x1)在点(2,2)处的切线万程是y+2=-5(x2),整理得5x+y-8=0.2322.22(n)斛：f(x)=e(x-a)=e+2ax-axf(x)=-3x+4ax-a=_(3x-a)(x-a).令f*(x)=0,解得x=-或x=a.3由于a#0,以下分两种情况讨论.(1)假设a>0,当x变化时,(x)的正负如下表：x,a、(i.)3a3壹a)a(a,ef(x)0+0因

24、此,函数f(x)在x=a处取得极小值f(a),且f(a)=,a3;函数f(x)在x=a处取得极大值f(a),且f(a)=0.(2)假设a<0,当x变化时,f'(x)的正负如下表：x(g,a)a(W)3a3(-,收)3f(x)0+0因此,函数f(x)在x=a处取得极小值f(a),且f(a)=0;函数f(x)在x=a处取得极大值f(-),且f(a)=2a3.33327(m)证实：由a>3,得a>1,当kW1,0时,k-cosx,1,k2-cos2x,1.3由(n)知,f(x)在(,1上是减函数,要使f(k-cosx)f(k2-cos2x),xWr只要k-cosx,k2-c

25、os2x(xR)22即cosx-cosx,k-k(x=R)设glxXcoJxfosxKssx-H,那么函数g(x)在R上的最大值为2.要使式恒成立,必须k2-k-2,即k-2或k,-1.所以,在区间一1,0上存在k=-1,使得f(k-cosx)f(k2-cos2x)对任意的xR恒成立.2222. (14分)设椭圆xr+与=1(a>bA0)的左、右焦点分别为F1,F2,A是椭圆上的一点,ab-一一八,1C,原点.到直线A'的距离为|OFi|.3(I)证实a=T2b;y.)处的切线交椭圆(n)求tw(0,b)使得下述命题成立：设圆x22(n)圆x+y=t上的任息点M(Xo,y

26、6;)+y2=t2上任意点M(x0,于Qi,Q2两点,那么OQiIOQ2.【解答】解：(I)证法一：由题设AF2_LEF2及F(-c,0),F2(c,0),不妨设点A(c,y),其中y>0,由于点A在椭圆上,22222上cy/a-by/有-22=1,22=1abab22解得y=,从而得到A(c,),直线AF2的方程为y=整理得b2x-2acy+b2c=0.,一、一一一一一.1由题设,原点O到直线AFi的距离为1|OF1|,即b2c3b44a2c2将c2=a2b2代入原式并化简得a2=2b2,即a=瓦.b2证法二：同证法一,得到点A的坐标为(c,b-),a过点O作OB_LAFi,垂足为H,易知FiBCsFF2A,故LBO|F2A|OF|l|FA|1由椭圆7E