2018年人教版中考压轴题汇编《因动点产生的面积问题》含答案

1、1.6因动点产生的面积问题例12021年河南省中考第23题如图1,边长为8的正方形ABCD的两边在坐标轴上,以点C为顶点的抛物线经过点A,点P是抛物线上A、C两点间的一个动点(含端点),过点P作PFLBC于点F.点D、E的坐标分别为(0,6)、(-4,0),联结PD、PE、DE.(1)直接写出抛物线的解析式；(2)小明探究点P的位置发现：当点P与点A或点C重合时,PD与PF的差为定值.进而猜测：对于任意一点P,PD与PF的差为定值.请你判断该猜测是否正确,并说明理由；(3)小明进一步探究得出结论：假设将“使PDE的面积为整数的点P记作“好点,那么存在多个“好点,且使PDE的周长最小的点P也是一

2、个“好点.请直接写出所有“好点的个数,并求出PDE周长最小时“好点的坐标.图1备用图如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx3(aw0)与x轴交于A(2,0)、B(4,0)两点,与y轴交于点C.(1)求抛物线的解析式；(2)点P从点A出发,在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向点B运动,同时点Q从点B出发,在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动.其中一个点到达终点时,另一个点也停止运动.当PBQ存在时,求运动多少秒时PBQ的面积最大,最大面积是多少？(3)当PBQ的面积最大时,在BC下方的抛物线上存在点K,使Sacbk:Sapbq=5:2,求点K的坐标.1 O如图1,抛物线y

3、=x+bx+cb、c是常数,且c<0与x轴交于A、B两点2点A在点B的左侧,与y轴的负半轴交于点C,点A的坐标为一1,0.（1） b=,点B的横坐标为上述结果均用含c的代数式表示；2连结BC,过点A作直线AE/BC,与抛物线交于点E.点D是x轴上一点,坐标为2,0,当C、D、E三点在同一直线上时,求抛物线的解析式；3在2的条件下,点P是x轴下方的抛物线上的一动点,连结PB、PC.设4PBC的面积为S.求S的取值范围；假设PBC的面积S为正整数,那么这样的PBC共有个.图1A(0,1)、B(2,0)、O(0,0),P,使四边形PBAB的面积是请说明理由；如图1,在平面直角坐标系中放置一直角

4、三角板,其顶点为将此三角板绕原点O逆时针旋转90.,得到三角形ABO.(1)一抛物线经过点A'、B'、B,求该抛物线的解析式；(2)设点P是第一象限内抛物线上的一个动点,是否存在点ABO面积的4倍？假设存在,请求出点P的坐标；假设不存在,(3)在(2)的条件下,试指出四边形PB'A'B是哪种形状的四边形？并写出它的两条性质.如图1,在平面直角坐标系中,直线y=1x+1与抛物线y=ax2+bx3交于A、B两2点,点A在x轴上,点B的纵坐标为3.点P是直线AB下方的抛物线上的一动点(不与点A、B重合),过点P作x轴的垂线交直线AB于点C,作PDLAB于点D.(1)求

5、a、b及sin/ACP的值；(2)设点P的横坐标为m.用含m的代数式表示线段PD的长,并求出线段PD长的最大值；连结PB,线段PC把4PDB分成两个三角形,是否存在适合的m的值,使这两个三角形的面积比为9：10?假设存在,直接写出m的值；假设不存在,请说明理由.图1例62021年南通市中考第28题如图1,直线l经过点A(1,0),且与双曲线y=m(x>0)交于点B(2,1).过点P(p,p-1)(px>1)作x轴的平行线分别交曲线y=m(x>0)和y=_m(xv0)于M、N两点.xx(1)求m的值及直线l的解析式；(2)假设点P在直线y=2上,求证：PMBAPNA;(3)是否

6、存在实数p,使得Saamn=4Saamp?假设存在,请求出所有满足条件的p的值；假设不存在,请说明理由.例72021年广州市中考第25题如图1,四边形OABC是矩形,点A、C的坐标分别为(3,0),(0,1).点D是线段BC上1的动点(与端点B、C不重合),过点D作直线y=x+b交折线OAB于点E.2(1)记ODE的面积为S,求S与b的函数关系式；(2)当点E在线段OA上时,假设矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O1A1B1C1,试探究四边形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠局部的面积是否发生变化？假设不变,求出重叠局部的面积；假设改变,请说明理由.1.6因动点产生的面积问题答案例1

7、2021年河南省中考第23题如图1,边长为8的正方形ABCD的两边在坐标轴上,以点C为顶点的抛物线经过点A,点P是抛物线上A、C两点间的一个动点(含端点),过点P作PFLBC于点F.点D、E的坐标分别为(0,6)、(-4,0),联结PD、PE、DE.(1)直接写出抛物线的解析式；(2)小明探究点P的位置发现：当点P与点A或点C重合时,PD与PF的差为定值.进而猜测：对于任意一点P,PD与PF的差为定值.请你判断该猜测是否正确,并说明理由；(3)小明进一步探究得出结论：假设将“使PDE的面积为整数的点P记作“好点,那么存在多个“好点,且使PDE的周长最小的点P也是一个“好点.请直接写出所有“好点

8、的个数,并求出PDE周长最小时“好点的坐标.B_rcBc图1备用图动感体验请翻开几何画板文件名“15河南23,拖动点P在A、C两点间的抛物线上运动,观察S随P变化的图像,可以体验到,“使PDE的面积为整数的点P共有11个.思路点拨1 .第(2)题通过计算进行说理.设点P的坐标,用两点间的距离公式表示PD、PF的长.2 .第(3)题用第(2)题的结论,把PDE的周长最小值转化为求PE+PF的最小值.总分值解答3 1)抛物线的解析式为y=1x2+8.84 2)小明的判断正确,对于任意一点P,PD-PF=2.说理如下：1c1C设点P的坐标为(x,-X2+8),那么PF=yF-yP=-X2.88221

9、22212212212而FD=X+(-x+8-6)=x+(x-2)=(-x+2),所以FD=-X+2.8888因此PDPF=2为定值.(3)“好点共有11个.在PDE中,DE为定值,因此周长的最小值取决于FD+PE的最小值.而PD+PE=PF+2+PE=PF+PE+2,因此当P、E、F三点共线时,PDE的周长最小如图2.此时EF,x轴,点P的横坐标为一4.所以PDE周长最小时,“好点P的坐标为4,6.图2图3考点伸展第3题的11个“好点是这样求的：如图3,!结OP>那么S/pde=S/POD+$POE$DOE.1 112由于*podODxP=3x,8ApoeOEyP=x+16,Sadoe

10、12,所以2 24121212Sapde=-3x-x+1612=x3x+4=-x+6+13.444因此8是x的二次函数,抛物线的开口向下,对称轴为直线x=6.如图4,当8<x<0时,4W8W13.所以面积的值为整数的个数为10.1当8=12时,万程一x+62+13=12的两个解8,4都在8WxW0范围内.4所以“使PDE的面积为整数的“好点P共有11个.s随P_图4例22021年昆明市中考第23题如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx3(aw0)与x轴交于A(2,0)、B(4,0)两点,与y轴交于点C.(1)求抛物线的解析式；(2)点P从点A出发,在线段AB上以每秒3个

11、单位长度的速度向点B运动,同时点Q从点B出发,在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动.其中一个点到达终点时,另一个点也停止运动.当PBQ存在时,求运动多少秒时PBQ的面积最大,最大面积是多少？(3)当PBQ的面积最大时,在BC下方的抛物线上存在点K,使Sacbk:Sapbq=5:2,求点K的坐标.动感体验请翻开几何画板文件名“14昆明23,拖动点P从A向B运动,可以体验到,当P运动到AB的中点时,PBQ的面积最大.双击按钮“PBQ面积最大,再拖动点K在BC下方的抛物线上运动,观察度量值,可以体验到,有两个时刻面积比为2.5.思路点拨1. APBQ的面积可以表示为t的二次函数,求二次函数

12、的最小值.2. APBQ与PBC是同高三角形,4PBC与CBK是同底三角形,把CBK与PBQ的比转化为CBK与PBC的比.总分值解答(1)由于抛物线与x轴交于A(2,0)、B(4,0)两点,所以y=a(x+2)(x-4).所以8a=-3.解得a=3.8所以抛物线的解析式为y=3(x+2)(x-4)=3x2-x-3.884(2)如图2,过点Q作QHx轴,垂足为H.在RtBCO中,OB=4,OC=3,所以BC=5,sinB=3.53在RtABQH中,BQ=t,所以QH=BQsinB=3t5所以Sapbq=1BPQH=1(63t)M3t=-(t-1)2+.2251010由于0wtw2,所以当t=1时

13、,PBQ的面积最大,最大面积是(3)如图当Sa10当PBQ的面积最大时,t=1,此时P是AB的中点,P(1,0),BQ=1.3,由于PBC与PBQ是同高三角形,Spbc:Sapbq=BC:BQ=5:CBK:SaPBQ=5：2时,SApbc:SaCBK=2：1o1.由于PBC与CBK是同底三角形,所以对应高的比为2：1.1.如图4,过x轴上的点D画CB的平行线交抛物线于K,那么PB:DB=2:由于点K在BC的下方,所以点D在点B的右侧,点D的坐标为(U0).2,过点K作KEx轴于E.设点K的坐标为(x3(x+2)(x_4).,83-(x2)(x-4)由生二CO,得JDEBO9x23.整理,得x2

14、-4x+3=0.4解得x=1,或x=3.所以点o图2K的坐标为(1,_27)或(3,竺).考点伸展第(3)题也可以这样思考:由Saqbk:Sapbq=5：2,Sapbq=-,得Saqbk=-/32(KJ104如图5,过点K作x轴的垂线交BC于F.设点K的坐标为33由于点F在直线BC:y=x-3上.所以点F的坐标为(x,-x-3).44所以KF=(x3)(x2x3)=x2x.48482CBK被KF分割为CKF和BKF,他们的高的和为OB=4.所以Sacbk=-x4(x2+'x)=.解得x=1,或x=3.2824例32021年苏州市中考第29题如图1,抛物线y=1x2+bx+c(b、c是常

15、数,且c<0)与x轴交于A、B两点2(点A在点B的左侧),与y轴的负半轴交于点C,点A的坐标为(一1,0).(1)b=,点B的横坐标为(上述结果均用含c的代数式表示)；(2)连结BC,过点A作直线AE/BC,与抛物线交于点E.点D是x轴上一点,坐标为(2,0),当C、D、E三点在同一直线上时,求抛物线的解析式；(3)在(2)的条件下,点P是x轴下方的抛物线上的一动点,连结PB、PC.设4PBC的面积为S.求S的取值范围；假设PBC的面积S为正整数,那么这样的PBC共有个.图1动感体验请翻开几何画板文件名“13苏州29,拖动点C在y轴负半轴上运动,可以体验到, EHA与ACOB保持相似.点

16、击按钮“C、D、E三点共线,此时EHDACOD.拖动点P从A经过C到达B,数一数面积的正整数值共有11个.请翻开超级画板文件名“13苏州29,拖动点C在y轴负半轴上运动,可以体验到, EHA与ACOB保持相似.点击按钮“C、D、E三点共线,此时EHDACOD.拖动点P从A经过C到达B,数一数面积的正整数值共有11个.思路点拨1 .用c表示b以后,把抛物线的一般式改写为两点式,会发现OB=2OC.2 .当C、D、E三点共线时,EHAACOB,EHDACOD.3 .求PBC面积的取值范围,要分两种情况计算,P在BC上方或下方.4 .求得了S的取值范围,然后罗列P从A经过C运动到B的过程中,面积的正

17、整数值,再数一数个数.注意排除点A、C、B三个时刻的值.总分值解答1 .,一,(1) b=c+,点B的横坐标为一2c.21211一1(2)由y=x+(c十±)x+c=3(x+1)(x+2c),设E(x,-(x+1)(x+2c).过点E作EH,x轴于H.由于OB=2OC,当AEBC时,AH=2EH.所以x+1=(x+1)(x+2c).因此x=12c.所以E(12c,1c).当C、D、E三点在同一直线上时,里=里,所以1一.二/DH整理,得2c2+3c2=0.解得c=2或DO1c2-2c-12(舍去).(3)当P在BC下方时,过点P作x轴的垂线交BC于F.直线BC的解析式为y=1x2.2

18、103一.11O设P(m,5m-m-2),那么F(m,-m-2),FP=m+2m.122所以$pbc=Sapbf+Sapcf=3FP(xBxC)=2FP=m+4m=(m2)+4.因此当P在BC下方时,PBC的最大值为4.当P在BC上方时,由于SAABC=5,所以SAPBCV5.综上所述,0VSV5.假设PBC的面积S为正整数,那么这样的PBC共有11个.考点伸展点P沿抛物线从A经过C到达B的过程中,4PBC的面积为整数,依次为(5),4,3,2,1,(0),1,2,3,4,3,2,1,(0).当P在BC下方,S=4时,点P在BC的中点的正下方,F是BC的中点.如图1,在平面直角坐标系中放置一直

19、角三角板,其顶点为A(0,1)、B(2,0)、O(0,0),将此三角板绕原点O逆时针旋转90.,得到三角形ABO.(1) 一抛物线经过点A'、B'、B,求该抛物线的解析式；(2)设点P是第一象限内抛物线上的一个动点,是否存在点P,使四边形PBAB的面积是ABO面积的4倍？假设存在,请求出点P的坐标；假设不存在,请说明理由；(3)在(2)的条件下,试指出四边形PB'A'B是哪种形状的四边形？并写出它的两条性质.动感体验请翻开几何画板文件名“12荷泽21,拖动点P在第一象限内的抛物线上运动,可以体验到,当四边形PBAB是等腰梯形时,四边形PBA'B的面积是A

20、BO面积的4倍.请翻开超级画板文件名“12荷泽21,拖动点P在第一象限内的抛物线上运动,可以体验到,当四边形PBAB是等腰梯形时,四边形PBA'B的面积是ABO面积的4倍.思路点拨1 .四边形PB'A'B的面积是ABO面积的4倍,可以转化为四边形PBOB的面积是ABO面积的3倍.2 .联结PO,四边形PBOB可以分割为两个三角形.3 .过点向x轴作垂线,四边形PBOB也可以分割为一个直角梯形和一个直角三角形.总分值解答(1) 4AOB绕着原点O逆时针旋转90°,点A'、B的坐标分别为(1,0)、(0,2).由于抛物线与x轴交于A'(1,0)、B

21、(2,0),设解析式为y=a(x+1)(x-2),代入B'(0,2),得a=1.所以该抛物线的解析式为y=(x+1)(x-2)=x2+x+2.(2) S>aABO=1-女口身乏S四边形pbAB=4SaaBo=4,UB么>S四边形pbOB=3Saabo=3.如图2,作PDXOB,垂足为D.设点P的坐标为(x,x2+x+2).1 1o1.1oS弟形PB,ODDO(B'OPD)-x(2-x2x2)-x31x22x.一11o1Q30Spdb=,DBPD=1(2-x)(-x2x2)=2x3-3x22.2 222所以S四边形PB'A'D=S梯形PB'OD

22、+SgDB=X+2x+2-解方程一x2+2x+2=3,得x1=x2=1.所以点P的坐标为1,2.图2图3图43如图3,四边形PBAB是等腰梯形,它的性质有：等腰梯形的对角线相等；等腰梯形同以底上的两个内角相等；等腰梯形是轴对称图形,对称轴是经过两底中点的直线.考点伸展第(2)题求四边形PB0B的面积,也可以如图4那样分割图形,这样运算过程更简单.-11八SpB,O=B0xP=2x=x-221122SpBO=-BOyP=-2(-xx2)-xx2-所以S四边形PB'A'D=S揖B'O+Sabo=x+2x+2甚至我们可以更大胆地根据抛物线的对称性直接得到点P:作AOB'

23、;关于抛物线的对称轴对称的BOE,那么点E的坐标为1,2.而矩形£30口与4人03'、ABOP是等底等高的,所以四边形EB'A'B的面积是ABO面积的4倍.因此点E就是要探求的点P.如图1,在平面直角坐标系中,直线y=1x+1与抛物线y=ax2+bx3交于A、B两2点,点A在x轴上,点B的纵坐标为3.点P是直线AB下方的抛物线上的一动点不与点A、B重合,过点P作x轴的垂线交直线AB于点C,作PDLAB于点D.1求a、b及sin/ACP的值；2设点P的横坐标为m.用含m的代数式表示线段PD的长,并求出线段PD长的最大值；连结PB,线段PC把4PDB分成两个三角形

24、,是否存在适合的m的值,使这两个三角形的面积比为9：10?假设存在,直接写出m的值；假设不存在,请说明理由.图1动感体验请翻开几何画板文件名“12河南23,拖动点P在直线AB下方的抛物线上运动,可以体验到,PD随点P运动的图象是开口向下的抛物线的一局部,当C是AB的中点时,PD到达最大值.观察面积比的度量值,可以体验到,左右两个三角形的面积比可以是9：10,也可以是10：9.思路点拨1 .第1题由于CP/y轴,把/ACP转化为它的同位角.2 .第2题中,PD=PCsinZACP,第1题已经做好了铺垫.3 .APCD与4PCB是同底边PC的两个三角形,面积比等于对应高DN与BM的比.4 .两个三

25、角形的面积比为9：10,要分两种情况讨论.总分值解答1(1)设直线y=1x+1与y轴交于点E,那么A(2,0),B(4,3),E(0,1).2在RtAEO中,OA=2,OE=1,所以AE=#.所以sin/AEO：255由于PC/EO,所以/ACP=ZAEO.因此sin/ACP=R55将A(2,0)、B(4,3)分别代入y=ax2+bx3,得14a-2b-3二0,16a4b-3=3.解得a=l,b=22121八1(2)由P(m,-m_.m_3),C(m,.m+1),112112得PC=(-m+1)_(mm-3)=m+m+4-222225所以PD=PCsin.ACPPC=5所以PD的最大值为9叵.

26、52.512八5/、29.5(-mm4)=_(m-1).5255(3)当SaPCD:Sapcb=9：10时,m=5；2当Sapcd:SPCB=10:9时,mWE考点伸展第3题的思路是：DN与BM的比.PCD与4PCB是同底边PC的两个三角形,面积比等于对应高而DN=PDcosPDN=PDcosZACP=5(-m2+m+4)=-(m+2)(m4),5525当SxPCD:SaPCB当Sapcd'Sapcb195=910时,(m+2)(m-4)=一(4-m)-斛得m=-5102=10：9时,(m+2)(m-4)=10(4-m)-解得m=599如图1,直线l经过点A(1,0),且与双曲线y=m

27、(x>0)交于点B(2,1).过点P(p,p-1)(px>1)作x轴的平行线分别交曲线y=m(x>0)和y=_m(xv0)于M、N两点.xx(1)求m的值及直线l的解析式；(2)假设点P在直线y=2上,求证：PMBAPNA;(3)是否存在实数p,使得Saamn=4Saamp?假设存在,请求出所有满足条件的p的值；假设不存在,请说明理由.个¥图1动感体验请翻开几何画板文件名“11南通28,拖动点P在射线AB上运动,可以体验到,当直线MN经过(0,2)点时,图形中的三角形都是等腰直角三角形；AMN和AMP是两个同高的三角形,MN=4MP存在两种情况.思路点拨1 .第(2

28、)题准确画图,点的位置关系尽在图形中.2 .第(3)题把伞AMN=4S"mp转化为MN=4MP,根据点M与线段NP的位置关系分两种情况讨论.总分值解答(1)由于点B(2,1)在双曲线y=m上,所以m=2.设直线l的解析式为y=kx+b,x一.kfk=1代入点A(1,0)和点B(2,1),得kb0,解得<kl,所以直线l的解析式为y=x-1.2kb=1.b=-1.(2)由点P(p,p1)(p>1)的坐标可知,点P在直线y=x1上x轴的上方.如图2,当y=2时,点P的坐标为(3,2).此时点M的坐标为(1,2),点N的坐标为(一1,2).由P(3,2)、M(1,2)、B(2,

29、1)三点的位置关系,可知PMB为等腰直角三角形.由P(3,2)、N(-1,2)、A(1,0)三点的位置关系,可知PNA为等腰直角三角形.所以PMBAPNA.3AMN和AMP是两个同高的三角形,底边MN和MP在同一条直线上.因此隆_2=4'x1工卜解当Saamn=4Saamp时,MN=4MP.如图3,当M在NP上时,Xm-Xn=4(Xp-Xm).P在x轴下方,舍去的延长线上时,.此时p=Xm-Xn=4(XmXp).得x=1+、历或x=1-M此时点22如图4,当M在NP'2_一2=4'-2-X_1隔导x=1+"或X一行此时点P在x轴下方,舍去.此xxx221.5考点伸展在此题情景下,AMN能否成为直角三角形？情形一,如图5,/AMN=90°,此时点M的坐标为1,2,点P的坐标为3,2.情形二,如图6,/MAN=90°,此时斜边MN上的中线等于斜边的一半.不存在/ANM=90°的情况.如图1,四边形OABC是矩形,点A、C的坐标