1995考研数二真题及解析

1、1995年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分.把答案填在题中横线上.).991(1)设y=cos(x)sin一，贝Uy=.x(2)微分方程y"+y=2x的通解为.Ix=1t(D)ox(x-1)(2-x)dx设f(x)在(，收)内可导，且对任意x1,x2，当x1>“时，都有f(x1)>f(x2),则()(A)对任意x,f'(x)A0(B)对任意x,f'(x)E0(C)函数f(x)单调增加(D)函数f(-x)单调增加(4)设函数f(x)在0,1上f”(x)A0,则f'(1卜f'(0)、f(1)-

2、f(0)或f(0)f(1)的大小.,工曲线Vq在t=2处的切线方程为y=t(4)，12,n、lim(2-2L)二J：nn1nn2nnn2曲线y=x2e.的渐近线方程为二、选择题(本题共5小题，每小题3分，满分15分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)设f(x)和9(x)在(叫十无)内有定义，f(x)为连续函数，且f(x)#0,中(x)有间断点则()(A)中f(x)必有间断点(B)中(x)2必有间断点(x)(C)fp(x)必有间断点(D)_Lx_必有间断点f(x)(2)曲线y=x(x-1)(2x)与x轴所围图形的面积可表示为()2(A) -(

3、x(x-1)(2-x)dx1 2(B) °x(x-1)(2-x)dx-x(x-1)(2-x)dx12(C) -ox(x-1)(2-x)dx1x(x-1)(2-x)dx三、(2)(4)(6)四、五、解.六、顺序是(A)f(1),f(0),f(1)-f(0)(B)f(1).f(1)f(0).f(0)(C)f(1)-f(0).f(1).f(0)(D)f(1).f(0)-f(1).f(0)设f(x)可导，F(x)=f(x)(1+|sinx|),若使F(x)在x=0处可导，则必有()(A)f(0)=0(B)f(0)=0(C)f(0)f(0)=0(D)f(0)f(0)=0(本题共6小题，每小题5

4、分，满分30分.)1 -COSx求lim.x)0x(1-cos、x)f()d2y设函数y=y(x)由万程xe=e确定,其中f具有二阶导数，且f#1，求一2-.dx2设f(x2一1)=ln，且fW(x)=lnx,求"(x)dx.x2t设f(x)=xtxx0,试讨论f(x)在x=0处的连续性.0,x=0,x=1-costcc求摆线i一拱(0EtW2n)的弧长.y=t-sint设单位质点在水平面内作直线运动，初速度vt=0=v0,已知阻力与速度成正比(比例常数为1),问t为多少时此质点的速度为?并求到此时刻该质点所经过的路程.(本题满分8分)2x+求函数f(x)=J0(2t)e,dt的最大

5、值和最小值.(本题满分8分)设y=ex是微分方程xy'+p(x)y=x的一个解，求此微分方程满足条件yx+2=0的特(本题满分8分)如图，设曲线L的方程为y=f(x)，且y">0,又MT,MP分别为该曲线在点3(1Vc2)2.M(x0,y0)处的切线和法线，已知线段MP的长度为(一也上(其中y0=y'(x0),V。y0'=y"(),试推导出点P伐木)的坐标表达式.七、(本题满分8分)设f(x)=xsint。二-t出，计算，f(x)dx.八、(本题满分8分)设lim'(x)=1,且f"(x)A0,证明f(x)之x.1995年全国

6、硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分.)221 cos(x)sin一(1)【答案】-2xsin(x2)sin2-2xxx【解析】该函数是由两个复合函数的乘积构成，满足复合函数求导法则，2 -2.-I*.21,.2.2y=cos(x)Isin+cos(x)isin-x221,2111=-sin(x)2xsin一cos(x)2sin-cos(-1)xxxxz221cos(x)sin-2xsin(x2)sin2-2x.xx【相关知识点】复合函数求导法则：y=(f(x)的导数为y'=邛'(f(x)f'(x).(2)【答案】y=gc

7、osx+c2sinx2x【解析】微分方程y*+y=-2x对应的齐次方程y*+y=0的特征方程为r2+1=0,特征根为1,2=古，故对应齐次方程的通解为C1cosx+C2sinx.设非齐次方程的特解Y=ax+b,则Y'=a,Y"=0,代入微分方程y“+y=2x,得0axb-2x,比较系数得a=-2,b=0,故Y=-2x.所以通解为y=C1cosxC2sinx-2x.【相关知识点】1.二阶线性非齐次万程解的结构：设y(x)是二阶线性非齐次方程y"+P(x)y'+Q(x)y=f(x)的一个特解.Y(x)是与之对应的齐次方程_-.、.*、一y+P(x)y+Q(x)y

8、=0的通解，则y=Y(x)+y(x)是非齐次方程的通解.2.二阶常系数线性齐次方程通解的求解方法：对于求解二阶常系数线性齐次方程的通解Y(x)，可用特征方程法求解：即y”+P(x)y'+Q(x)y=0中的P(x)、Q(x)均是常数，方程变为y"+py'+qy=0.其特征方程写为r2+pr+q=0,在复数域内解出两个特征根r1，口；分三种情况：(1)两个不相等的实数根r1,r2,则通解为y=C1erx1+C2er2x;(2)两个相等的实数根r1=r2,则通解为y=(C1+C2x)e%;(3)一对共轲复根ri,2=o(士i0,则通解为y=&x(CiCosPx+C2

9、sinPx).其中Ci,C2为常数.3.对于求解二阶线性非齐次万程y*+P(x)y'+Q(x)y=f(x)的一个特解y(x),可用待定系数法，有结论如下：如果f(x)=Pm(x)e拈,则二阶常系数线性非齐次方程具有形如y*(x)=xkQm(x)e*的特解，其中Qm(x)是与R(x)相同次数的多项式，而k按九不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0、1或2.如果f(x)=eP(x)cosox+Pn(x)sincox,则二阶常系数非齐次线性微分方程y"+p(x)y'+q(x)y=f(x)的特解可设为y=xke?"Rrm1)(x)cosox+R

10、m2)(x)sin©x,其中R1)(x)与R?(x)是m次多项式，m=maxL,n,而k按九十心(或九商)不是特征方程的根、或是特征方程的单根依次取为0或1.(3)【答案】y-3x+7=0【解析】切线的斜率为dydxydydtdxdtt=23t23=一t2t=2当t=2时，x=5,y=8.故所求切线方程为y8=3(x-5).化简彳导y3x+7=0.【相关知识点】参数方程所确定函数的微分法：如果L则也"y=(t)dx(t)-1(4)【答案】12【解析】应用夹逼准则求数列的极限.令_1.2ann2n1n2n212an.2_2.nnnnnn12Inin(n1)所以an1nnn1:

11、二an2lim1n2n2由夹逼准则，得limann?二(5)【答案】y=0【解析】函数yn22nn1.n2n22n2-2nn1:二一,2+111+1.=一：liman2n:1-.即21lim(2n-;nn-12_x=xe的定义域为全体实数2limy=limxxL：xL：所以曲线只有一条水平渐近线y=0.12|n-2n(n1)，且f(x)=6,则【相关知识点】铅直渐近线：如函数y=f(x)在其间断点x=x0处有limx漩x=%是函数的一条铅直渐近线;水平渐近线：当四f(x)=a(a为常数)，则y=a为函数的水平渐近线.二、选择题(本题共5小题，每小题3分，满分15分.)【答案】(D)【解析】方法

12、一：反证法，利用连续函数的性质，即有限多个在同一点处连续的函数之乘积，仍然在该点处连续.3()设函数一凶无间断点，因为f(x)是连续函数，则%x)=-,f(x)必无间断点，这与f(x)f(x)平(x)有间断点矛盾,故应选择(D).方法二：排除法，举出反修排除.-1,x:0,f(x)三1,(x)=,1,x-0,则%f(x)三1,f严(x)三1,9(x)2三1都处处连续，排除(A),(B),(C).故应选择(D).(2)【答案】(C)D2DI【解析】方法一：利用定积分的求面积公式有220x(x-1)(2-x)dx=0x(x-1)(2-x)dx12-x(x-1)(2-x)dx1x(x-1)(2-x)

13、dx应选择(C).方法二：画出曲线y=x(x1)(2x)的草图，所求面积为图中两面积之和，即12_x(x1)(2x)dxx(x1)(2x)dx,故应选(C).【答案】(D)【解析】因为对任意x,x2，当x1Ax2时，一x1<-x2，则函数f(一x1)<f(-x2)，即f(x)Af(x2)，故f(x)是单调增加的.应选择(D).对于(A)(B)(C)可令f(x)=x3,则对任意x1,“，当x1Ax2时，都有f(x1)>f(x2),但f=3x2=0,x_.2f(-x)=3(-x)-0,f(-x)=-x3,在其定义域内单调减少.故排除(A)(B)(C).(4)【答案】(B)【解析】

14、由f"(x)>0可知f'(x)在区间0,1上为严格的单调递增函数，故f(1)f(x)f(0),(0:二x：二1)由微分中值定理，f(1)f(0)=f'代),(0<之<1).所以ff(1)-f(0)=f()f(0),(0：二：二1)应选择(B).【答案】(A)【解析】函数f(x)在x=x°处可导的充分必要条件是fx。)与fK%)存在且相等由于F(x)=f(x)+f(x)|sinx|,而f(x)可导，所以F(x)在x=0处可导等价于f(x)|sinx|在x=0可导.令中(x)=f(x)|sinx|,则.(0)=limx_0I。)=limX0f(

15、x)|sinx|xf(x)|sinx|=limx0-f(x)sinx=f(0),-lim-x小0-xf(x)sinx=-f(0),x于是要使F(x)在x=0处可导，当且仅当f(0)=f(0)，即f(0)=0.故选择(A).三、(本题共6小题，每小题5分，满分30分.)(1)【解析】利用等价无穷小计算，即当xt0时，sinxx.原式=limx01一cosxx1-cos.x1”cosx12sin2-=一lim2_2x工.2x2xsin2mOx_2xo2.x22xI2J(2)【解析】这是一个由复合函数和隐函数所确定的函数方法一：将方程两边对x求导，得ef(y)exef(y)f(y)y=eyy,-f(

16、y)eey-xf(y)ef(y)将xef(y)=ey代入并化简，得yx(i-f(y)两边再对x求导，得-0一x(1_f(y)l1x(1-f(y)I2-I(1-f(y)x(-f(y)y)l1x(1-f(y)2yf(y)+.(1-f(y)x1(1-f(y)fy=-：xx(1-f(y)(1-f(y)上f”(y)方法二：方程两边先取对数再对x求导.方程两边取对数得m1求导得f(y)y=y,x一，1因为#1,所以y=1.x(i-f(y)以下同方法一.【相关知识点】复合函数求导法则：y=呼(f(x)的导数为y=¥1f(x)f，(x).(3)【解析】首先应求出9(x)的表达式.由-2f(x-1)=

17、lnx2-2,x2-11=In-2x-1-1人2.-t-1一令x1=t，得f(t)=ln-.又t-1:(x)1f(x)=In=Inx,(x)-1：(x)1.Ix1则(x)1=x.解得9(x)=工.因此(x)-1x-1x+12中(x)dx=Jdx=f(1+)dx=x+2lnx-1+C.x1.x-1(4)【解析】函数f(x)在x=%处的导函数连续的充分必要条件是匚()与f*(x。)存在且必与f(x。)相等.12x,一当x#0时，f(x)=arctan-4,由于x1x12x2Ilimf(x)=lim+f(x)=limf(x)=1|arctan-4=-0=-f(x)-f(0).f(x)1.1二f(0)

18、=lim=lim=limarctan=一,x0x-0Ixx0x2所以Ijn0_fr(x)=)lim+fx)=f'(0).故f(x)在x=0处连续.(5)【解析】由弧微分公式得ds-x(t)2l-y(t)2dt"；sin2t(1-cost)2dt=沼2(1-cost)dt,所以2-2=0；2(1-cost)dt=0212二22sin25dt=21。sindt=2rsin-dt202乂cos-=-4(-1-1)=8.(6)【解析】设质点的运动速度为v(t),由题设，阻力为v(t),按牛顿第二定律有dt二v(t),其中质量mnldPMv(t).dt这是简单变量可分离的微分方程，解之

19、得v(t)=Ce.另有初始条件v(0)=v0，得v(t)=v0e.当此质点的速度为包时，有3到此时刻该质点所经过的路程为Vo=v0e;得t=ln3.ln3上s=0v°edt2v0.3四、(本题满分8分)一，一，x2【解析】对函数f(x)=(2t)edt两边求导并令f(x)=0,得22f(x)=2x(2-x2)e=0,'f'(x)A0,g<x<&，f(x)严格单调增jf'(x)<0,J2cx<0,f(x)严格单调减f'(x)A0,0<x<J2,f(x)严格单调增J'(x)<0,J2<x<

20、;g,f(x)严格单调减所以f(J2),f(J2)为函数f(x)的极大值点，f(0)为函数f(x)的极小值点，且f(土扬=j(2t)e'dt=(2t)e'2一je"dt=1+e”，0上f(0)=0(2-t)e%t=0,又Jjmf(x)=JLmf(x)=1(2t)e*dt=-(2t)e*°-*e*dt=1,所以f(土J2)=1+e，为函数“*)最大值，"0)=0为函数f(x)的最小值.【相关知识点】积分上限函数的求导公式：d1x,一而“ftdt=f：x:x.f二x二x.五、（本题满分8分）【解析】把y=ex和yr=ex代入所给的一阶线性微分方程,得x

21、exp(x)ex二x,解得p(x)=xe,-x.线性方程被确定为xy*+(xeq-x)y=x,即y(e、1)y=1.这是一阶线性非齐次微分方程，通解为_(e*)dx(e*)dxy=e!edxCexIxx_i_1axIx=一也(fe上一*dx+C)=ee一七(Jdx+C=ee一七f(e")dx+CIeJc=ee”x(e",C)=exCee*x.1再由yx±2=0得e1n2+Ceeww2=0,IPC=-e.xe-x2故所求的特解为y=e-e2.【相关知识点】一阶线性非齐次微分方程y'+p(x)y=q(x)的通解公式为：-p(x)dxp(x)dxy=e(Jq(x)edx十C),其中C为常数.六、（本题满分8分）【解析】要求点P的坐标，也就是说，要用小,y0,y0,y0,表示出5c32由MP=(1+y0)，有(-x。)2(-y。)2U+y02)32y。又由法线的斜率与切线斜率互为负倒数的关系，知y。,-y。把式,即（匕x0）=-y；（ny0）代入消去却得到y.1y02一y°F(。y。)2=(i+y02)2/y0'2，由y">0,知曲线